3.3.2.2空间向量长度与夹角的坐标表示课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 3.3.2.2空间向量长度与夹角的坐标表示 高中数学 南阳市宛城区豫阳外国语学校 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 南阳市宛城区豫阳外国语学校 1.进一步熟悉空间向量的坐标表示. 2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题. @demon 和盘托出 南阳市宛城区豫阳外国语学校 探究1 平面向量长度的坐标表示是否可以推广到空间向量长度的坐标表示？ 提示　可以. @demon 三学理解 南阳市宛城区豫阳外国语学校 4 知识梳理 (1)向量的模(长度)为其坐标平方和的算术平方根； (2)空间两点间的距离可以通过向量模的坐标表示得到. 5 例1 如图，建立空间直角坐标系O－xyz.单位正方体ABCD－A′B′C′D′的顶点A位于坐标原点，其中点B(1，0，0)，点D(0，1，0)，点A′(0，0，1). 因为点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心， 6 7 利用空间向量的坐标运算求长度的一般步骤 (1)建立坐标系：结合图形建立适当的空间直角坐标系.建立时要充分利用已知的垂直关系，找到(或作出)两两垂直的三条直线. (2)求向量的坐标：依据条件，写出相关点的坐标，进而得到待求向量的坐标. (3)代入公式计算. 思维升华 训练1 [1，5] 9 探究2 平面向量夹角的坐标表示是否可以推广到空间向量夹角的坐标表示？ 提示　可以. 10 知识梳理 11 例2 12 思维升华 求空间向量夹角的一般思路 (1)建系：恰当的构建空间直角坐标系. (2)写坐标：求出所对应点的坐标，及向量的坐标表示. (3)计算：运用夹角公式的坐标表示运算. 训练2 A.120° B.150° C.30° D.60° √ 如图，以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 令AB＝BC＝AA1＝2， 则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)， 15 (2)(链接教材P117习题3－3A组T4)已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_____________________. 由题意可知a·b＜0，且a与b不共线， 则a·b＝3×(－1)－2×(x－1)－3×1＝－2x－4＜0， 解得x＞－2. 若a与b共线， 例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 18 (2)求△BMN的面积. 19 思维升华 空间几何体中三角形的面积计算，在具备建系的条件下常通过建系，利用有关向量的模、夹角求解. 训练3 解得n＝±1， 故c为(2，1，－2)或(－2，－1，2). 21 (2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值； ka＋b＝(1－k，－k，－2)， 由于ka＋b与b垂直， 则(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5. (3)求△ABC的面积. 1、背诵记忆空间向量长度与夹角的坐标公式 2、记忆求空间向量夹角的思路与解题步骤 @demon 强化记忆 南阳市宛城区豫阳外国语学校 √ @demon 应用练习 南阳市宛城区豫阳外国语学校 25 √ 根据题意，设b＝ka(k∈R)， 即(3，x，y)＝k(－1，2，1)， 则有k＝－3，则x＝－6，y＝－3， 则b＝(3，－6，－3)， 26 3.向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________. －3或1 27 －3 28 1、把课堂检测习题同桌互批，各组长将检测结果汇总交给老师 2、强化记忆内容没有记住的学生继续进行强化记忆 @demon 检测总结 南阳市宛城区豫阳外国语学校 0号作业：牢记强化记忆内容 1号作业：课本P116 练习1、2 2号作业：课本P116 练习3、4 作业布置 南阳市宛城区豫阳外国语学校 1.设向量a＝(x，y，z)，则|a|＝＝______________. 2.若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|＝||＝____________________________________. (1)若点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心，则分别求出向量，，的坐标； 所以O(0，0，0)，E，F，G， 所以＝，＝，＝－＝. (2)在(1)的条件下，分别求出(＋)·，||的值. 由(1)可得(＋)· ＝· ＝×＋×1＋×0＝， 又由＝， 所以||＝＝. (1)∵a＋b＝(0，1，2)，∴|a＋b|＝， ∴与a＋b同方向的单位向量是， 即. (2)||＝ ＝ ＝∈[1，5]. (1)若a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则a＋b同方向的单位向量是_____________. (2)(链接教材P117习题3－3A组T3)若A，B两点的坐标分别是(3cos α，3sin α，1)，(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围为________. (1)〈a，b〉∈[0，π]. (2)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|. 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0). A，C′，＝. B，C，＝. (教材P118习题改编)如图，将正三棱柱ABC－A′B′C′放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上.若AA′＝2，AB＝1，求与夹角的余弦值. ＝＝＝. 所以cos〈，〉＝ 所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)， (1)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则向量和的夹角为 所以cos〈，〉＝＝＝， 所以向量和的夹角为60°. 则＝＝，得x＝. 因为a与b不共线，所以x≠. 所以实数x的取值范围是∪. ∪ (1)求||，||； 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N. ∵＝(1，－1，1)，＝， ∴||＝＝， ||＝＝. S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN. ∵cos∠MBN＝cos〈，〉 ＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， 故S△BMN＝×××＝. 即△BMN的面积为. ＝(2，1，－2)， 由于c∥， 故可设c＝(2n，n，－2n)， 故|c|＝＝3|n|＝3， 已知空间中三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c； a＝＝(－1，－1，0)，b＝＝(1，0，－2)， 依题意||＝，||＝，||＝3， 故由余弦定理得cos A＝＝－， ∴sin A＝＝. 故△ABC的面积为·||·||sin A＝×××＝. 1.已知空间向量a＝(0，1，1)，b＝(－1，0，1)，则a与b的夹角为 A. B. C. D. 因为空间向量a＝(0，1，1)，b＝(－1，0，1)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以θ＝，即a与b的夹角为. 2.已知向量a＝(－1，2，1)，b＝(3，x，y) ，且a∥b，那么|b|＝ A.3 B.6 C.9 D.18 故|b|＝＝3.故选A. 由题意得＝6，4＋4y＋2x＝0，解得或 则x＋y＝－3或1. 4.若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值为________. 根据题意得cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－， 化简得＝－， 解得x＝－3. $$