第3章 3.2 第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

空间向量长度与夹角的坐标表示 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 进一步熟悉空间向量的坐标表示．能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 基点训练 1．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量与a成60°夹角的是(　 ) A．(－1,1,0) B．(1，－1,0) C．(0，－1,1) D．(－1,0,1) √ √ √ 4．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为(　 ) A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，求线段EF长的最小值． 题型(一)　空间向量长度的坐标表示 解：依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图 所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，D(0,1,0)，B′(0,0,2)，C′(2,0,2)， 则E(2λ，1－λ，2λ)， 设F(0,0，z)，0≤z≤2， 若线段EF的长最小，则必满足EF⊥BB′， 向量法求空间两点间距离的一般步骤 方法技巧 建立坐标系 结合图形建立适当的空间直角坐标系．建立时要充分利用已知的垂直关系，找到(或作出)两两垂直的三条直线 求向量的坐标 依据条件，写出相关点的坐标，进而得到待求向量的坐标 1．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AB1⊥BC1，求AA1. 解：如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐 标原点， 以AB所在直线为x轴， 以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系． 设AA1＝a， 针对训练 解：如图，建立空间直角坐标系，D为坐标原点， 题型(二)　空间向量夹角的坐标表示 求空间向量夹角的一般思路 (1)建系：恰当的构建空间直角坐标系． (2)写坐标：求出所对应点的坐标，及向量的坐标表示． (3)计算：运用夹角公式的坐标表示运算．　　 方法技巧 2．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； (2)求向量a＋c与b＋c夹角的余弦值． 解：(1)∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)， 且a∥b，b⊥c， ∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． (2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， 题型(三)　坐标法在空间几何体中的应用 即BN⊥C1M，BN⊥C1N. 又因为C1M∩C1N＝C1，C1M，C1N⊂平面C1MN， 所以BN⊥平面C1MN. 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．　　 方法技巧 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　 ) A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是______________． 解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4， 设a，b的夹角为θ， 因为θ为钝角， 16 (－∞，－2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又|a|>0，|b|>0， 所以a·b<0， 即2x＋4<0， 所以x<－2，又a，b不会反向， 所以实数x的取值范围是(－∞，－2)． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________． 解析：由题知，b－a＝(1＋t,2t－1,0)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设a＝(x，y，z)， 16 (1,2,2)(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则向量a的一个坐标为(1,2,2). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)． (1)求cos∠BAC； (2)求△ABC中BC边上中线的长度． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设BC的中点为D， 16 又A(－2,0,2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 故可设c＝(2n，n，－2n)， 16 解得n＝±1. 故c＝(2,1，－2)或c＝(－2，－1,2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以ka＋b＝(1－k，－k，－2)． 由于ka＋b与b垂直， 得(1－k，－k，－2)·(1,0，－2)＝1－k＋4＝0，解得k＝5. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ B级——应用创新 12．定义a⊗b＝|a|2－a·B．若向量a＝(1，－2,2)，向量b为单位向量，则a⊗b的取值范围是(　 ) A．[0,6] B．[6,12] C．[0,6) D．(－1,5) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知|a|＝3，|b|＝1. 设〈a，b〉＝θ， 则a⊗b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|·cos θ＝9－3cos θ. 又θ∈[0，π]， ∴cos θ∈[－1,1]， ∴a⊗b∈[6,12]． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：以点A为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又点N在棱CC1上， 可设N(0,2，m)(0≤m≤2)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以在棱CC1上不存在点N， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求B，F两点间的距离； (2)求证：EF∥平面PAB； (3)求证：平面PAD⊥平面PDC． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解：(1)由题可知，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直 线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB， 所以EF∥平面PAB． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 即AP⊥DC，AD⊥DC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 又AP∩AD＝A， 且AP，AD⊂平面PAD， 所以DC⊥平面PAD． 又DC⊂平面PDC， 所以平面PAD⊥平面PDC． 1．空间向量的长度 (1)设向量a＝(x1，y1，z1)，则|a|＝＝______________. (2)若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|＝||＝_________________________________. 微点助解 (1)长度计算公式可以推广为|a±b|＝＝，|a＋b＋c|＝ ＝. (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的长度，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算． 2．空间向量的夹角 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝_________________________ (a≠0，b≠0)． 微点助解 (1)〈a，b〉∈[0，π]． (2)空间两直线的夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|. 2．已知空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，则a与b的夹角为(　 ) A． B． C． D． 解析：因为空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与b的夹角为. 3．已知空间向量a＝(2，－1，x)，b＝(－4,2,6)，若a∥b，则|a|等于(　 ) A．3 B． C．2 D． 解析：由题意得＝＝，解得x＝－3，则|a|＝＝. 解析：由题意得＝6,4＋4y＋2x＝0，解得或则x＋y＝1或x＋y＝－3. 则＝(2，－1，2)，＝(0,0,2)， 设＝λ，λ∈[0,1]， 则＝(－2λ，λ－1，z－2λ)． 则·＝0，可得z＝2λ， 即＝(－2λ，λ－1,0)， 因此，||＝＝ ＝≤， 当且仅当λ＝时等号成立， 所以线段EF长的最小值为. 所以AA1＝. 则A，B1，B，C1， 则＝(1,0，a)，＝. 由AB1⊥BC1，得·＝－＋a2＝0， 解得a＝(舍负)． [例2]　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD．求cos〈，〉． 则有E， F，C1，G，＝，＝， 所以＝，＝，·＝×0＋×＋×＝. 所以cos〈，〉＝＝＝. ∴解得x＝－1，y＝－1，z＝1. |a＋c|＝＝， |b＋c|＝＝， ∴向量a＋c与b＋c夹角的余弦值为＝＝. [例3]　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求证：BN⊥平面C1MN. 解：(1)因为CC1⊥平面ABC，∠BCA＝90°，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B，N， 所以＝， 则＝＝. (2)证明：由(1)得，C1，B，N，M， 则＝，＝，＝， 所以·＝×1＋×＋0×1＝0， ·＝1×1＋0×＋×1＝0， 则⊥，⊥， 3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：⊥； (2)求cos〈，〉的值； (3)求||. 解：(1)证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)， F，G， ∴＝，＝. ∵·＝×＋×＋×0＝0， ∴⊥. (2)由(1)得，＝，＝， ∵·＝×1＋×0＋×＝， 则||＝＝. ||＝＝， ||＝＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. (3)由(1)得，＝， A级——综合提能 1．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b夹角的余弦值为－，则实数x的值为(　 ) A．－3 B．11 C．3 D．－3或11 解析：　由题意得cos〈a，b〉＝＝＝－，即＝－，解得x＝－3. 2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3. 3．已知＝(1,2,3)，＝(a，b，b－2)，若点A，B，C共线，则||＝(　 ) A． B．2 C．3 D．9 解析：因为点A，B，C共线，所以与共线，所以＝＝，解得a＝－2，b＝－4，故＝(－2，－4，－6)，＝－＝(－3，－6，－9)，||＝＝3. 解析：因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)，·＝10－3－7＝0，∴BC⊥AC，而||＝，||＝5，所以△ABC是直角三角形． 解析：设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)．设＝(a，b，c)，则取＝(1,1，－1)．∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1. 6．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(　 ) A．7 B．7 C． D． 解析：因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以||＝，||＝，所以cos∠BAC＝＝＝，所以∠BAC＝60°，平行四边形面积为 2S△ABC，在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝||×||×sin∠BAC，设平行四边形的面积为S，所以S＝××sin 60°＝7. 所以cos θ＝<0， ∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝52＋. ∴(|b－a|2)min＝. ∴|b－a|min＝. 9．在空间直角坐标系中，向量a满足|a|＝3，且与向量b＝(1,1,1)的夹角的余弦值为，请写出一个向量a的坐标：__________________. 由 得 解：(1)＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)， cos∠BAC＝＝＝－. 则点D的坐标为. ∴＝， ∴||＝＝＝， 即△ABC中BC边上中线的长度为. 11．已知空间中三点A(2,0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c； (2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值； (3)求△ABC的面积． 解：(1)由题意得＝(2,1，－2)， 因为c∥， 所以|c|＝＝3|n|＝3， (2)因为a＝＝(－1，－1,0)，b＝＝(1,0，－2)， (3)由(2)得||＝，||＝， 由(1)得||＝3， 故由余弦定理得cos A＝＝－， 所以sin A＝＝. 故△ABC的面积为·||·||sin A＝×××＝. 13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，点N为B1B的中点，则||为(　 ) A． B． C． D． 解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C1(0,1,1)，N，设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，∴(x－1，y，z)＝(－x，1－y,1－z)，∴x＝，y＝，z＝，即M.又N，∴||＝＝. 14．已知向量a＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为__________________． 解析：设＝λ， 所以＝(1，－1，－2)，＝(λ，－λ，－2λ)，＝(3,1，－4)，＝－＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)， 因为⊥a， 解得λ＝，又A(－3，－1,4)，＝， 所以点E的坐标为. 15．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得向量与向量的夹角为45°？ 由题意知A(0,0,0)，B1(，1,2)，C(0,2,0)，B(，1,0)，M. 则＝(，1,2)，＝， 所以||＝2，||＝， ·＝2m－1. 则cos〈，〉＝ ＝＝cos 45°＝， 解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾． 使得向量与向量的夹角为45°. 所以E，F，＝，||＝， 即B，F两点间的距离为. (2)证明：由(1)知，＝，＝(1,0,0)， 所以＝－， 即∥，即EF∥AB， (3)证明：由(1)知，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)， 所以·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， ·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 则⊥，⊥， $$