精品解析：福建省三明市大田县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

大田县2024-2025学年第一学期期中考试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可能为（　　） A. B. 3 C. 0 D. 3. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 8，15，17 4. 已知，以下对的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象经点，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图所示是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示C点，(-3，2)表示B点，那么A点的位置可表示为（ ） A. (0，-3) B. (2，-3) C. (-3，-2) D. (-3，0) 8. 若点A（a，﹣2）、B（4，b）在正比例函数y＝kx的图象上，则下列等式一定成立的是（　　） A. a﹣b＝6 B. a+b＝﹣10 C. a•b＝﹣8 D. ＝﹣2 9. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 16米 D. 20米 10. 如图，在中，，点是边上的动点．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（ ） A. B. 15 C. 25 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为________． 12. 如果，那么___________． 13. 如图，函数的图象过点，则关于的方程的解______． 14. 已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为________． 15. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 16. 如图，在中，，，点是延长线上一点，，点在上方，且，，则的面积为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 18. 已知：，，求的值． 19. 已知是的正比例函数，且当时，． （1）求该函数的表达式； （2）判断点是否在该函数的图象上． 20. 如图，在中，，，．已知点在上，且． （1）求作点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的长． 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木料的边长分别是________，________； （2）求剩余木料的面积； （3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由． 22. 某小区儿童游泳池的容积为，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止． （1）当注水2小时，此时蓄水量为多少？注水多长时间水量达到总容积的一半？ （2）写出水池中水的体积与进水时间之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图象． 23. 已知点，，． （1）在如图的平面直角坐标系中描出，，三个点，并顺次连接； （2）以轴为对称轴，画出的轴对称图形； （3）判断的形状，并说明理由． 24. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 25. 自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3． 以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为轴、轴建立平面直角坐标系如图4．已知入射光线所在直线经轴上点反射到达轴上的点，再经点反射出的光线所在直线为． （1）证明：； （2）若的函数表达式为，求的函数表达式； （3）在（2）的条件下，求直线与之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大田县2024-2025学年第一学期期中考试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】A.是有理数，故A错误； B、是有理数，故B错误； C、是有理数，故C错误； D、是无理数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可能为（　　） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键． 直接根据第二象限的点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，即可得到答案． 【详解】解：点在第二象限， ， 的值可能为3， 故选：B． 3. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 8，15，17 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理判断三边长能否构成直角三角形，满足最长边的平方与另两边的平方和相等的即可构成直角三角形． 【详解】解：先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 、，故不是直角三角形，符合题意； 、，故是直角三角形，不符合题意； 、，故是直角三角形，不符合题意； 、，故是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断三边长能否构成直角三角形，若满足最长边的平方与另两边的平方和相等即可构成直角三角形． 4. 已知，以下对的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握用放缩法估计无理数大小是解本题的关键．根据，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，根据进行求解即可． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 已知一次函数的图象经点，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将，代入，求解，再比较大小即可． 【详解】解：将，代入， 得：，， ∴． 故选A． 7. 如图所示是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示C点，(-3，2)表示B点，那么A点的位置可表示为（ ） A. (0，-3) B. (2，-3) C. (-3，-2) D. (-3，0) 【答案】C 【解析】 【分析】以C为原点建立坐标系，从而可得答案. 【详解】解：如图，建立坐标系如下： 根据题意，点A的位置为（-3，-2） 故选：C 【点睛】本题考查的是根据位置来确定点的坐标，掌握“根据题意建立坐标系”是解题的关键. 8. 若点A（a，﹣2）、B（4，b）在正比例函数y＝kx的图象上，则下列等式一定成立的是（　　） A. a﹣b＝6 B. a+b＝﹣10 C. a•b＝﹣8 D. ＝﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣2＝ka、b＝4k，用含b的代数式表示出k，将其再代入﹣2＝ka中即可得出结论. 【详解】解：∵点A（a，﹣2）、B（4，b）在正比例函数y＝kx的图象上， ∴﹣2＝ka，b＝4k， ∴k＝，﹣2＝， ∴ab＝﹣8， 故选：C. 【点睛】此题考查正比例函数图象上点的坐标，利用解析式求参数，正确理解点与解析式的关系是解题的关键. 9. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 16米 D. 20米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米， 故选：D． 10. 如图，在中，，点是边上的动点．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（ ） A. B. 15 C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、勾股定理、三角形面积公式等知识，结合函数解析式确定的值是解题关键．首先根据自变量的取值范围确定的值，再根据当，可有，即，进而可解得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点是边上的动点，，且， ∴， 又∵关于的函数表达式为，， ∴当，即点重合时，可有， ∴， ∴，解得， ∴． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据题意即可确定． 【详解】解：第7行第5列用坐标表示为， 故答案为：． 12. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】因为，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根即，称x是a的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 13. 如图，函数的图象过点，则关于的方程的解______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象过点可知时，，即可得到关于x的方程的解是． 【详解】解：由图象可得：关于x的方程的解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 14. 已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，掌握点坐标的特征是解题的关键． 根据点坐标的特征求得，即可求解． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， 则， 故， ∴线段的长为， 故答案为：5． 15. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长．根据题意得，，则是直角三角形，根据勾股定理得的长，得，即可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点是延长线上一点，，点在上方，且，，则的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点A作于点H，连结，先根据等腰直角三角形的性质及勾股定理，求得，，进一步得，然后根据全等三角形的判定，证明，得到，，再分别计算，，的值，即可求得答案． 【详解】过点A作于点H，连结， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 的面积为． 故答案为：1． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，掌握二次根式混合运算法则和顺序是解题关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先化简，再进行合并计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知：，，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值和二次根式的乘法，熟练掌握整式的混合运算和二次根式乘法的运算法则是解题的关键．先化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， 当，时， 原式， ． 19. 已知是的正比例函数，且当时，． （1）求该函数的表达式； （2）判断点是否在该函数的图象上． 【答案】（1） （2）点在反比例函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求解析式求出当时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设 把，代入得： 解得 ∴； 【小问2详解】 解：把代入， 得 ， ∴点在反比例函数图象上． 20. 如图，在中，，，．已知点在上，且． （1）求作点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的长． 【答案】（1） 如图所示：       （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，勾股定理的应用； （1）作，交于点，即可求解； （2）勾股定理求得，在，，根据勾股定理可得，解方程，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即． 【小问2详解】 ∵，， ∴ 设，则 ∵中，； 中， ∴ ∴ 解得 答：的长为． 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木料的边长分别是________，________； （2）求剩余木料的面积； （3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由． 【答案】（1）； （2） （3） 解：剩余木条长为，宽为， ∵，， ∴能截出块木条， 答：最多能截出8块这样的木条． 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：， ∴剩余木料的面积为． 【小问3详解】 略 22. 某小区儿童游泳池的容积为，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止． （1）当注水2小时，此时蓄水量为多少？注水多长时间水量达到总容积的一半？ （2）写出水池中水的体积与进水时间之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图象． 【答案】（1）注水2小时的蓄水量为，注水水量达到总容积的一半 （2）， （3） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据蓄水量=原有的水量+后来注进的水量求解即可； （2）根据容器中水量的变化情况得出关系式即可； （3）列表法可以画出函数的图象． 【小问1详解】 解：注水2小时的蓄水量：， ∵容积的一半为， ∴水量达到总容积的一半所需时间：， 答：注水2小时的蓄水量为，注水水量达到总容积的一半． 【小问2详解】 解：， 当时，，解得， ∴自变量取值范围：； 【小问3详解】 略 23. 已知点，，． （1）在如图的平面直角坐标系中描出，，三个点，并顺次连接； （2）以轴为对称轴，画出的轴对称图形； （3）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，所为所求． （2） 解：如图所示：所为所求作的三角形． （3） 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】此题主要考查坐标与轴对称图形的作图，以及勾股定理逆定理，解题的关键是熟知轴对称图形的特点． （1）按要求作图即可； （2）根据对称的特点作图即可； （3）求出各线段长，再利用勾股定理逆定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】（1）；；； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：， 当时，； 【小问3详解】 解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 25. 自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3． 以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为轴、轴建立平面直角坐标系如图4．已知入射光线所在直线经轴上点反射到达轴上的点，再经点反射出的光线所在直线为． （1）证明：； （2）若的函数表达式为，求的函数表达式； （3）在（2）的条件下，求直线与之间的距离． 【答案】（1） 证明：依题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得，，再根据直角三角形的性质推出，再利用平角的定理即可证明； （2）延长与轴负半轴交于点，先证得，推出，得，再根据一次函数的性质即可求解； （3）先求得，再根据勾股定理得，然后利用即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长与轴负半轴交于点，如图所示： ∵解析式为， 当时，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴的函数表达式为：． 【小问3详解】 解：过点作，交于点， ∵解析式为， 当时，， 解得， ∴，， 中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即直线与之间的距离为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定以及一次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $