精品解析：河南省信阳市信阳高级中学（贤岭校区）2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二上期期中测试 数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角． 【详解】由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为， 故选：C． 2. 一组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把数据按顺序排列，再利用百分位数的定义求解即可. 【详解】首先，我们把按顺序排列，得到， 而，故第百分位数是第个数， 则该组数据的第百分位数是，故D正确. 故选：D 3. 若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据虚轴、渐近线的定义求解. 【详解】由题可得解得，所以双曲线方程为， 故选:C. 4. 已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，求得数列的公比，再结合等比数列前项和公式，即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，由题可知：； 又，也即，故. 故选：A. 5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内， ，所以点到平面的距离是. 故选：C 6. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合基本不等式，求解即可. 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】做出图象，设底面边长为，求出侧棱长和高，从而求出斜高，再求出二面角的余弦值. 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面， 即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角， 设底面边长为，则， 因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，所以， 则，即，所以， 所以， 所以， 所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为. 故选：C． 8. 已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆关于直线对称圆的方程，N点关于直线的对称点在圆上，， ，而要取最小，则三点共线即可．的最小值可通过求解． 【详解】 圆关于直线对称的曲线 N点关于直线的对称点在圆上， 则有，故 当M，P，三点共线时，距离和最小． 从而转化成求M，两点距离的最小值． 而， 故选：D 【点睛】本题主要考查两圆上点的距离最值问题．由于一个动点在直线上，两圆在直线的一侧，因此把其中一圆关于直线对称，由对称圆来求解最小值． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程进行转化可确定AB正误；根据直线平行、垂直的关系直接构造方程组可得CD正误. 【详解】对于A，对于直线，令，解得：，在轴上的截距为，A正确； 对于B，由直线方程得：， 直线斜率存在，即直线不垂直于轴，且经过点，B正确； 对于C，，，解得：，C错误； 对于D，，，解得：，D正确. 故选：ABD. 10. 已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ） A. 是a，b，c成等差数列的充要条件 B. 是a，b，c成等比数列的充要条件 C. 若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列 D. 若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案. 【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确； 对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列， a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误； 对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确； 对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误； 故选：AC. 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（ ） A. 直线的斜率 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在使得平分 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；D选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义可求得；方法2，设 关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用结合，可得，即可得，后同方法1. 【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线方程联立：，消去x得：. 由题：，又由韦达定理知：. A选项，由题可得或，则，故A正确； B选项，由抛物线定义可知：， 则， 得.故B错误； C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，因，则， 又，则.故C正确. 选项D，方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N，M. 则， 又所以. 注意到：， 则. 则，即存在满足题意，故D正确； 方法2：设 关于轴的对称点为，则.注意到： ，则三点共线， 所以，其余同方法1； 方法3：若平分，则由角平分线定理可得， 所以，又，. 即，下同方法1； 方法4：只需，即， 注意到，，则 ，解得或3（舍去），后同方法1. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的求和公式进行计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以. 所以. 故答案为：16 13. 已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】作图，由向量的加法法则表示，平方即可求得. 【详解】过点作轴，点轴，如下图所示： 则，且，，，且 ，所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，，，再由余弦定理计算得出，利用椭圆的定义即可求出离心率. 【详解】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示： 由圆可知圆心，半径， 显然，， 过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知， 因此可得，可得， 所以，， 即可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 又，即， 因此离心率. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过得及演算步骤. 15. 已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程； （2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. 【小问2详解】 由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 16. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. （1）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （2）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 【答案】（1） （2）平均数为，方差为. 【解析】 【分析】（1）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （2）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【小问1详解】 前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组，设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. 【小问2详解】 ）的频率为，）的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连结，，， 由题意，在中，，， 所以为等边三角形，所以， 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 所以，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 可得，所以， 所以，平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连结，，，根据平面与平面垂直的定义证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 由于为棱中点，故， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以， 所以，直线与平面所成角的余弦值为． 【点睛】 18. 已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； （2）若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 【答案】（1）证明：由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解. （2）根据等差求和可得，即可分离参数得，根据的单调性求解最值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，故， 由可得，化简可得， 因此， 记，则 ， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸. 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点E重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点. 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）直线与曲线交于两点，，且平分， （i）求的中点M到点的最小距离； （ii）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）3 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得的方程，即可得到结果； （2）（i）设直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到点的轨迹方程，从而得到结果；（ii）由正切的二倍角公式可得，即可得到直线的斜率，从而得到点的坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程即可得到点的坐标，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系， 设为椭圆上一点，由题意可知且， 椭圆以为左右焦点，长轴长， 焦距， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设， 联立得， ， ， ， 所以， 即， 所以， 化简得，所以或， 当时，直线过点A，不合题意； 所以，又直线在点A下方，所以，， 中点点的轨迹为， 中点M到点的最小距离即为点到直线的距离. （ii），设， 解得（舍）或， 不妨设斜率为正，则，直线方程为，由对称性知， 由（i）知，直线斜率为，所以直线的方程为，即. 联立方程组得， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二上期期中测试 数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ） A. 是a，b，c成等差数列的充要条件 B. 是a，b，c成等比数列的充要条件 C. 若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列 D. 若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（ ） A. 直线的斜率 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在使得平分 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，则__________. 13. 已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 14. 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过得及演算步骤. 15. 已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 16. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. （1）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （2）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； （2）若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸. 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点E重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点. 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）直线与曲线交于两点，，且平分， （i）求的中点M到点的最小距离； （ii）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $