精品解析：河南省驻马店高级中学2025届高三上学期11月期中测试数学试题

河南省驻马店高级中学 2024-2025学年高三上期期中测试 数学试题 命题人： 审题人： 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算和模的计算公式求解即可. 【详解】， 故. 故选：C 2. 已知，为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两边同时平方，利用向量数量积的运算解方程求的值. 【详解】，为单位向量，则有， ，则，得， 解得，又，舍去，故. 故选：C. 3. 已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果. 【详解】成等差数列，，又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或. 故选：C. 4. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角公式对题中已知条件进行变形，对进行平方化简变形，然后再判断两个条件的逻辑关系即可得解. 【详解】必要性：由，可得， 则，即. 所以“”是“的必要条件； 充分性；由，可得， 即， 则，得或. 所以“”不是“的充分条件； 故选：B 5. 已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的性质，再画出函数的图象，利用对称性和周期性求所有实数根的和. 【详解】由可知，函数关于对称， 由函数是奇函数，可知，，即， 则，所以函数的周期为， 如图，根据函数的性质，画出函数的示意图， 由对称性可知，方程在上有一个实数根，根据函数关于对称， 可知在上也有一个实数根，再根据函数的周期性，如图，得到与在区间的6个交点， 利用对称性可知，，，， 所以方程在上的所有实根之和为. 故选：A 6. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 7. 已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对称性可得，从而分离参数得，令，利用导数求得函数最小值为，从而得解. 【详解】设，则点在的图象上， ，即. 令，则， 令，则，此时递增， 令，则，此时递减， 最小值为. 故选：A. 二、多选题 8. 已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两点间距离公式，结合正弦型函数的周期性、单调性、对称性逐一判断即可. 【详解】由图可知， 由，解得（负值舍去）， 所以，解得，A正确； 则，将点代入得，，即， 由于在的增区间上，且，所以，B错误； 因为，令，，解得，，取，则关于点对称，C正确； 令，，解得，，取，则在上单调递减，D错误. 故选：AC 9. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ） A. 为周期函数，且最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的最大值为7 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 对于A，，不是的周期，故A错误； 对于B，的定义域为， 为奇函数，故B正确； 对于C，，且为奇函数， 的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，，当时，，取最大值7，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于B，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于ACD，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算结合三角函数的性质即可判断. 【详解】对于B，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以在边长为3的等边三角形ABC中，， 则，故B正确； 对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即，故C正确； 对于A，因为， 所以， 即， 所以，， 所以，， 则， 因为，所以，所以， 所以，即，故A错误； 对于D，由， 因为，所以当时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 三、填空题 11. 已知向量不共线，，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得. 【详解】由，不共线，故存在实数，使， 即有，即有， 解得. 故答案为：. 12. 已知数列满足，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为，则写错的是数列中第______项. 【答案】38 【解析】 【分析】计算正确的前100项和，与算错前100项和比较，可得写错的项， 后由通项公式可得答案. 【详解】，设写错项为x，则其前100项和为 . 即，某项正负号写错后得前100项和为，则 又. 故写错的数为75，令，解得.故写错的是数列中第38项. 故答案为：38 13. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，取BC中点为M，做， 将化为，后找到间关系，可得答案. 【详解】如图，取BC中点为M，做， 则，又， ，则， 得. 注意到， 则.又由图可得， 则， 当且仅当，且，即时取等号. 故答案为： 四、解答题 14. 已知中，角所对的边分别为，，，，且. （1）求角的大小； （2）若，点在边上，且平分，求的长度. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算即可； （2）结合（1）问，求出，利用，计算出的长度即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 由余弦定理可得， 在中，, 所以. 【小问2详解】 由（1）问可知,， 所以，解得， 设，由平分，所以, 即, 解得：， 故的长度为. 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若是边上的高，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值. （2）以为基底，由，代入数据运算得的关系；或利用余弦定理和勾股定理，求出，由平面向量基本定理求的值. 【小问1详解】 中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以，， 所以． 所以，， 则有，得． 【小问2详解】 方法一 ：，，， 所以， 由题意知，所以， 即． 所以，所以． 方法二 ：中，由余弦定理得， 所以． 又因为， 所以． 所以，． 所以． 由平面向量基本定理知，， 所以． 16. 对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程： ①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零 ②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数 ③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！ 聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握． （1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和； （2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据错位相减法的解题步骤求解求的前n项和即可； （2）根据裂项法，设，结合已知比较系数求得，再代入，即可求得. 【小问1详解】 因为 所以① 则② 所以①-②得： 所以； 【小问2详解】 因为，设 ， 比较系数得：，得，所以， 所以 17. 已知函数． （1）若在处取得极小值，求实数的取值范围； （2）讨论的零点个数． 【答案】（1） （2） 当时，函数在上没有零点， 当时，函数在上只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性，得到函数的极值情况，由题意取舍即得实数的取值范围； （2）在（1）按照参数分类的基础上，利用函数单调性和极值的正负，进一步分析探究函数的零点情况即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，， ①当时，，当时，，在上递减， 当时，，在上递增，此时在时取得极小值，符合题意； ②当时，由可得或， 若，则由可得或；由可得， 即在和上递增；在递减，此时函数在取得极小值，符合题意； 若，，当时，恒成立，即在上恒为增函数，不符合题意； 若，由可得或；由可得， 即在和上递增，在上递减，此时函数在时取得极大值，故不符合题意. 综上可得，实数的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）知，① 当时，在上递减，在上递增， 则在时取得极小值，也是最小值，为，此时函数无零点； ②当时，在和上递增；在递减， 故当时，取得极小值，当时，取得极大值， 当时，，故此时函数在上有一个零点； ③当时，在上恒为增函数，又，故此时函数在上有一个零点； ④当时，在和上递增，在上递减， 故当时有极大值为，当时，有极小值为， 且当时，，故此时函数在上只有一个零点. 综上所述，当时，函数在上没有零点，当时，函数在上只有一个零点. 18. 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 （1）求的值； （2）若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 【答案】（1）； （2）（i），依题意，， 设，，求导得， 函数在上单调递增，即当时，， 即， 因此，，所以. （ii）由（i）知， 且， 因此 ，即， 所以当且时，. 【解析】 【分析】（1）利用定义求出，再利用错位相减法求和即得. （2）（i）构造函数，利用导数探其单调性推理得证；（ii）利用（i）的结论，结合裂项相消法求和即可推理得证. 【小问1详解】 依题意，，， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数判断其单调性，赋值计算得到是解决第2问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店高级中学 2024-2025学年高三上期期中测试 数学试题 命题人： 审题人： 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知，为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 8. 已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 9. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ） A. 为周期函数，且最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的最大值为7 10. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题 11. 已知向量不共线，，若，则___________. 12. 已知数列满足，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为，则写错的是数列中第______项. 13. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________. 四、解答题 14. 已知中，角所对的边分别为，，，，且. （1）求角的大小； （2）若，点在边上，且平分，求的长度. 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若是边上的高，且，求． 16. 对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程： ①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零 ②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数 ③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！ 聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握． （1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和； （2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和． 17. 已知函数． （1）若在处取得极小值，求实数的取值范围； （2）讨论的零点个数． 18. 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 （1）求的值； （2）若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $