精品解析：福建省厦门集美中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年福建省厦门市集美中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 方程无实数根． 故选C． 4. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：． 故选：D． 5. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°， ∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°， 故选B． 6. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 其图像开口向下 B. 其最小值为2 C. 当时随增大而减小 D. 其图像的对称轴为直线=-3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可依次判断． 【详解】对于中，a＞0，故图像开口向上，A错误； 当x=3时，y的最小值为2，故B正确； 当时，随增大而增大，C错误； 图像的对称轴为直线=3，D错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点． 7. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设参加会议有x人，再根据等量关系“每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手”列方程求解即可． 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得： ， 整理得：， 解得（舍去） 所以参加这次会议的有12人． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 8. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据圆内角四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 10. 已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，求得，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴或， 观察四个选项，d的值可能为，，4，不可能是， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；因此此题可根据“一个点的坐标关于原点对称，那么这个点的横纵坐标都与原来的互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为． 12. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程没有实数根，即根的判别式小于0，由此即可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根． ∴，即， 解得， 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13. 平面直角坐标系上的三个点，将绕点O按顺时针旋转则点A、B的对应点、的坐标分别是__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转135度．点A在第二象限的角平分线上，且OA=，正好旋转到x轴正轴，即可得出A1点的坐标，点B在x轴的负半轴上，旋转到第一象限的角平分线上，且OB1=1，则根据勾股定理即可得到B1的坐标； 【详解】解：∵A的坐标是（-1，1），将绕点O按顺时针旋转， ∴OA=，且A1在x轴正半轴上， ∴A1点的坐标是 ∵B的坐标是（-1，0）， ∴OB=1，且B1在第一象限的角平分线上， 设点B1 ∴ ∴ ∴得到B1的坐标是 【点睛】本题考查了旋转变换与坐标与图形的变化，勾股定理，等腰直角三角形的旋转，根据题意建立平面直角坐标系并画出图形是解题的关键． 14. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为： 15. 已知是关于x的二次函数，x的取值范围是． （1）若y在时取得最大值，则a的取值范围是____________； （2）若y在时取得最小值，则a的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据已知二次函数解析式可得：，根据对称轴方程可得：对称轴是． （1）若y在时取得最大值，则，解不等式即可； （2）若y在时取得最小值，则1到对称轴的距离比5到对称轴的距离远，据此列式求解． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为． （1）在时取得最大值， ， 解得； （2）在时取得最小值， ， 解得． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的长，即可求得CG的长． 【详解】解：如图1，连接AG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3， ∵F是AE的中点， ∴BF=AE=AF=EF， ∵BF=FG， ∴AF=FG=EF， ∴∠AGE=∠AGD=90°， ∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O， 如图2：当O，G，C三点共线时，CG的值最小，连接OG， ∴OD=OG=2， ∴OC= ， ∴CG的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造动点G的轨迹成为解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程，因式分解法及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， 则或， 所以； 【小问2详解】 ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0． 【答案】 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x的值代入进行计算即可． 【详解】原式＝·＝﹣， 由x2+3x﹣4＝0，得到（x﹣1）（x+4）＝0， 解得：或x＝﹣4， 因为x≠1，所以x＝1舍去． 当x＝﹣4时，原式＝﹣． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助． 19. 如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点． （1）求此抛物线的解析式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求抛物线的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图象和性质推得点B的坐标是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标，根据待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）根根据点A和点B的坐标，结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， 即抛物线的对称轴为， 故点， 设抛物线的解析式为：， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 20. 如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， ，， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得，，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，即为所求； （2）根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，求出的长即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵中， ∴ ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 22. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值； （3）若方程是倍根方程，且相异两点，，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【答案】（1）2 （2）0或-6 （3）两根分别为， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解和解一元二次方程，抛物线与x轴的交点与其相关一元二次方程的解的关系等知识．掌握若，是一元二次方程的两根时，和是解题关键． （1）由一元二次方程根的判别式判断c的取值范围．设一元二次方程的两个根分别为p和q，由根与系数的关系和“倍根方程”的定义即可得出关于p，q的二元一次方程组，解出p，q，再代入中，解出c即可； （2）解出该方程得：，．根据“倍根方程”的定义可分类讨论①当时和②当时，求出n的值，然后代入求值即可； （3）设方程的两个根分别为和，不妨设．由题意可求出该抛物线的对称轴为，再结合二次函数和一元二次方程的关系可得出．最后解出和即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ∴． 设一元二次方程的两个根分别为p和q， 则． ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴可设， 即，解得：． 将代入，得， 解得：，符合题意． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：解，得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或； 【小问3详解】 解：∵方程是“倍根方程”，不妨设， ∵相异两点，，都在抛物线上， ∴由抛物线的对称轴为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 即的两根分别为，． 23. 如图，为的内接三角形，，，点P为弧上一点，连接． （1）如图1，当时，垂足为E，连接并延长分别交，于点F，G． ①_____°； ②求证：． （2）如图，若与不垂直，过点A作，垂足为E，连接，如果，，求线段的长． 【答案】（1）①； ②证明：连接， ， ， ， ， ， ， ． （2）4 【解析】 【分析】（1）①由垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由8字模型求解即可； ②连接，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）连接，延长，过A作于D，根据圆周角定理可得平分，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：①， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ② 略 【小问2详解】 解：连接，延长，过A作于D， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 【答案】任务一：，点M与O的水平距离为；任务二：不能实现；任务三：． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质以及运用待定系数法求得函数解析式成为解题的关键． 任务1：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：，再运用待定系数法求得抛物线的解析式为，再令进行求解即可； 任务二：先运用待定系数法求得球弹起的抛物线轨迹为，的解析式为，然后联立得到一元二次方程，再根据根的判别式判断方程是否有根即可解答； 任务三，先求出反弹抛物线的解析式为；再求出当时的自变量的取值，即击球点的横坐标的取值范围为：；再结合图形即可解答． 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，，解得：（舍弃负值）， 所以，点M与O的水平距离为； 任务二：不能实现，理由如下： 设球弹起的抛物线轨迹为， 将代入可得：，解得：， 所以， 由题意可得：球网上方点的坐标为， 设的解析式为，则，解得：， 所以的解析式为， 由，整理得：， 所以，即方程无解， 所以不能实现； 任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为， 设反弹的抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 令，解得：或； 故击球点的横坐标的取值范围为：， ∴，， ∴． 25. 已知抛物线G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A的直线l：y＝kx+b与抛物线G1交于另一点B，与抛物线G2交于另一点C，抛物线G1的顶点为点M，抛物线G2的顶点为点N． （1）直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示） （2）当m＝﹣3，n＝2，且直线lx轴时，求证：MB＝NA； （3）当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示） 【答案】（1）点M的坐标为（m，m2+m）； （2） ∵m＝﹣3，n＝2， ∴G1：y＝﹣x2﹣6x﹣3， G2：y＝﹣x2+4x+2， ∴M（﹣3，6），N（2，6）， 由，得， ∴点A的坐标为（，）， ∵直线l∥x轴， ∴l：y， 令y，则﹣x2﹣6x﹣3， 解得：x或x， ∴B（，）， ∴BM，AN， ∴BM＝AN． （3）y＝（m+n+1）x 【解析】 【分析】（1）先将二次函数的解析式化为顶点式，然后得到点M的坐标； （2）先将m＝﹣3，n＝2代入函数解析式得到抛物线G1和G2的解析式，然后得到点M和点N的坐标，再求得点A的坐标，进而得到直线l的解析式，然后求得点B的坐标，最后求MB和NA的长度，即可得证； （3）先求得点A的坐标，然后代入直线l的解析式得到k和b的关系，然后分别求得点B和点C的横坐标，再结合AB＝AC得到A、B、C三点间的横坐标之间的关系，即可得到m与k、m与b之间的关系，最后得到直线l的表达式． 【小问1详解】 ∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m， ∴点M的坐标为（m，m2+m）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， ∴点A的坐标为（，）， ∵点A在直线y＝kx+b上， ∴k+b， ∴bk， ∴直线l的表达式为y＝kxk， 由，得， 解得：x或x＝﹣k+2m， ∴点B的横坐标为﹣k+2m， 同理可得，点C的横坐标为﹣k+2n， ∵AB＝AC， ∴点A是BC的中点， ∴﹣k+2m（﹣k+2n）＝2×（）， ∴k＝m+n+1， ∴b（m+n+1）， ∴直线l的表达式为y＝（m+n+1）x． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的交点，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省厦门市集美中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 6. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 其图像开口向下 B. 其最小值为2 C. 当时随增大而减小 D. 其图像的对称轴为直线=-3 7. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为___________． 13. 平面直角坐标系上的三个点，将绕点O按顺时针旋转则点A、B的对应点、的坐标分别是__________，__________． 14. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 15. 已知是关于x的二次函数，x的取值范围是． （1）若y在时取得最大值，则a的取值范围是____________； （2）若y在时取得最小值，则a的取值范围是____________． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）解不等式组． 18. 先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0． 19. 如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点． （1）求此抛物线的解析式． （2）求的面积． 20. 如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 22. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值； （3）若方程是倍根方程，且相异两点，，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 23. 如图，为的内接三角形，，，点P为弧上一点，连接． （1）如图1，当时，垂足为E，连接并延长分别交，于点F，G． ①_____°； ②求证：． （2）如图，若与不垂直，过点A作，垂足为E，连接，如果，，求线段的长． 24. 根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 25. 已知抛物线G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A的直线l：y＝kx+b与抛物线G1交于另一点B，与抛物线G2交于另一点C，抛物线G1的顶点为点M，抛物线G2的顶点为点N． （1）直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示） （2）当m＝﹣3，n＝2，且直线lx轴时，求证：MB＝NA； （3）当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $