2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第10讲 一次函数

第10讲 一次函数 考点1 正比例函数与一次函数的定义 4 考点2 一次函数的图像性质 6 考点3 一次函数的平移变换 12 考点4 一次函数与方程、不等式的结合 14 考点5 一次函数与几何图形结合 19 考点6一次函数的应用 28 行程问题 28 费用或利润最值问题 32 方案选择问题 35 真题过关检测 38 一、正比例函数与一次函数的概念 正比例函数概念 若两个变量，的关系可以表示成：（为常数，且）的形式，那么就叫做的正比例函数.其中称为比例系数. 一次函数概念 若两个变量，的关系可以表示成：（、为常数，且）的形式；那么就叫做的一次函数；其中，是自变量，是因变量． 正比例函数与 一次函数 当，时，从一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是特殊的一次函数 二、正比例函数（为常数，且）的图象和性质 1.正比例函数图像的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数的图象.一般地,过原点和点(为常数,)的直线，即正比例函数的图象. 正比例系数的几何意义： (1)的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性； (2)决定图象的倾斜程度. 越大，图象与轴所夹的锐角越大， 看起来越“陡”；越小,图象与轴所夹的锐角越小，看起来越“缓”. 如图， 2.正比例函数的性质 的符号 图象 图像形状 所过象限 性质 过原点，从左向右是上升的直线 过一、三象限 随的增大而增大 过原点，从左向右是下降的直线 过二、四象限 随的增大而减小 三、一次函数（、为常数，且）的图象及性质 1．一次函数图像的画法 两点法 画图时通常取两点， ，过这两点画直线即可. 平移法 一次函数(，是常数，)的图象，是由直线沿轴向上或向下平移个单位得到的；反之，直线也可以通过沿轴平移直线得到. 常数项的几何意义 决定图象与轴的交点的位置. 直线与轴的交点坐标是. 当时，图象与轴的交点在轴的正半轴； 当时，图象与轴的交点在轴的负半轴. 2.一次函数的性质 的符号 图象 经过象限 性质 第一、二、三象限 随的增大而增大 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 随的增大而减小 第二、四象限 第二、三、四象限 四、一次函数图像的平移变换 平移前 平移方向 平移后 规律 向左平移个单位长度 左加右减 向右平移个单位长度 向上平移个单位长度 上加下减 向下平移个单位长度 五、一次函数的对称变换 原解析式 变换方式 变换后解析式 图示 关于轴对称 1）对称前，与轴交点为 2）对称后，与轴交点不变， 与轴交点变为 关于轴对称 1）对称前，与轴交点为 2）对称后，与轴交点不变， 与轴交点变为 整体原则：关于轴对称，不变，变相反数，∴前面整体加负号 关于轴对称，不变，变相反数，∴前面加负号 考点1 正比例函数与一次函数的定义 1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A 2．（2024·广东广州·二模）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（    ） A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义及应用，掌握正比例函数的关系式为是解题的关键，先设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，求出函数关系式，再代入求解即可． 【详解】设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为， 当时，， ∴，， 当，， 解得： 故选：C． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 【详解】解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ． 【答案】2 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键是熟练运用待定系数法列出含参数的方程组，准确求解． 把代入中，作差求解即可． 【详解】解：把代入得， ， ， ∴， ， ∴， 故答案为：2． 考点2 一次函数的图像性质 5．（2024·辽宁·模拟预测）一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，交x轴，y轴分别于点B，点A．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查根据直线所过象限，判断的符号，根据直线所过象限，得到，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线经过一，三，四象限， ∴， 无法得到； 故选D． 6．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴一次函数的图象在第一、二，四象限． 故选：B． 7．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 8．（2024·陕西安康·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（a，b是常数，且）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】此题考查了一次函数图象与性质，先根据判断符合条件的正比例函数图象，再根据一次函数的图象与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴的图象经过二四象限， ∴B，D不符合题意； A、由一次函数图象可知，，则，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，则，与矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，结合一次函数的图象性质对各个选项逐个判断即可求解，掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，所以图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选不符合题意； B、图象与轴交于点，与轴交于点，所以图象与两坐标轴围成的三角形面积是：，故选不符合题意； C、，所以y随x的增大而增大，故选项符合题意； D、当时，，正确，故选不符合题意； 故选：C． 10．（2024·四川成都·三模）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到，从而确定答案即可． 本题考查了一次函数图象与系数的关系，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：函数的图象经过第二，三，四象限， ． 故选：B． 11．（2024·甘肃陇南·模拟预测）一次函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象经过的象限为（   ） A．一、二、三 B．一、三 、四 C．二、三、四 D．一、二 、四 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的函数值y随x的增大而增大，再根据一次函数的性质即可得出结论，掌握一次函数的性质是解本题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，， ∴， ， ∴一次函数的图象经过的象限为地一、三 、四象限， 故选：B． 12．（2024·湖北十堰·一模）一次函数的图像过点，，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据题意，可知，即随的增大而减小，即可获得答案． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据，列出不等式，求解即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 14．（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据解析式可得y随x增大而减小，再由，即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 15．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A 16．（2024·安徽合肥·三模）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质、比较一次函数函数值的大小，由一次函数解析式得出随的增大而增大，结合，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵直线，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：D． 考点3 一次函数的平移变换 17．（2024·湖南娄底·模拟预测）将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，掌握在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为，即． 故选：C． 18．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，得到， A．把代入得，， ∴交点不可能是，故A不合题意； B．把代入得，， ∴交点不可能是，故B不合题意； C．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点可能是，故C符合题意； D．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点不可能是，故D不合题意； 故选：C． 19．（2024·内蒙古包头·三模）已知直线向下平移个单位后经过点，若点关于轴的对称点为，则点位于直线（   ）上 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据直线向下平移个单位得到直线, 求出的值, 再由点关于轴的对称点为，求出点的坐标，然后逐一代入即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵直线向下平移个单位得到直线， ∴平移后的直线为， ∵过点， ∴， ∴， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， 、当时，，不符合题意； 、当时，，不符合题意； 、当时，，不符合题意； 、当时，，符合题意； ∴在直线上， 故选: . 考点4 一次函数与方程、不等式的结合 20．（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】2024 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线与轴交于点即可得出答案． 【详解】解：直线与轴交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：2024． 21．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 22．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程．根据图象，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得即可． 【详解】解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得． 故选：A． 23．（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 24．（2024·四川达州·三模）如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），相似三角形的性质与判定；作轴于，如图，先利用直线的解析式确定点坐标得到，根据得出证明， 进而根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：作轴于，如图， 当时，，则， ， ， ， ， ， 当时，， 解得， ， 方程组的解为． 故选：C． 25．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、图象法解二元一次方程组 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 26．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得，， ∴， 所以，不等式的解是， 故选：B． 27．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 考点5 一次函数与几何图形结合 28．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，延长，交轴于点，过点作轴，证明，得出，从而得出点的坐标为，再代入一次函数解析式即可得出答案． 【详解】解：延长，交轴于点，过点作轴，如图所示： ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 将坐标代入得，， 解得， 故选：A． 29．（2024·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是正方形的性质，一次函数的性质，先设，再求解，再结合正方形的性质可得答案． 【详解】解：∵A在直线上， ∴设， ∵轴， ∴， 解得：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故选B 30．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，依据题意列出周长的式子，从而找到使其最小的点P位置是解题关键．先根据一次函数列出周长的式子，再根据垂线段最短找到使周长最小时点P的位置，然后结合一次函数的性质、等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，可设点P的坐标为 ∴周长为 则求周长的最小值只要求出求的最小值即可， 如图，过点O作 则的最小值为，即此时点P与点D重合， 由直线的解析式得， 当时，， 当时，，解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，则 ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，， 解得， 则周长的最小值为， 故答案为：． 31．（2024·河南新乡·二模）如图，正方形的顶点，分别在轴、轴上，点在直线上，直线分别交轴、轴于点，．将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，证明，即可得到的长，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线的解析式，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点， 则， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 将正方形沿y轴向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上， 设平移后点， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 32．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、一次函数与几何综合、一次函数的规律探究问题 【分析】由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，即可得到，，，，的纵坐标，根据图象得出，，，即可得到，，，，在一条直线上，直线的解析式为，把的纵坐标代入即可求得横坐标． 【详解】∵，点， ∴， ∴， 过作x轴于M， 过作y轴于N， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， 同理可求得：纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同， ，，，，，的纵坐标分别为1，2，4，8，16，， 根据图象得出，，， 直线的解析式为， 的纵坐标为， 把代入，解得， 的坐标是， 当时，， 故选：D． 【点睛】此题考查了点的坐标规律探究，待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形和正方形的性质，找到规律是解题的关键． 33．（2024·山东泰安·二模）如图，直线x，点A坐标为，过点A作y轴的垂线交直线l于点以为边作等边三角形，再过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边三角形，……，按此做法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．先根据一次函数的解析式求出点的坐标，在根据点的坐标求出点的坐标，由此得到点的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标，进而求得的坐标． 【详解】解：直线点A坐标为， 过点作y轴的垂线交直线l于点， 可知点的坐标为， 以为边作等边三角形，再过点作y轴的垂线交直线l于点 ∴， ∴点坐标为， ∴的坐标为， 故点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， 此类推便可求出点的坐标为 点的坐标为 故答案为：． 考点6一次函数的应用 行程问题 34．（2024·吉林松原·二模）甲、乙两人分别从公园长廊在同一直线上的A、B两地同时出发，相向匀速慢跑，甲以的速度慢跑到B地后，立即按原速返回，乙在第一次相遇后将速度提高到原来的1.5倍，之后匀速慢跑到A地，且乙到达A地后立即以提速后的速度返回，直到两人再次相遇时停止．甲、乙两人之间的路程与慢跑时间之间的函数图象如图所示． (1)乙在两人第一次相遇前的速度为______，乙到A地的时间为______s； (2)求乙从A地返回B地时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)直接写出第一次相遇时乙距出发地的路程． 【答案】(1)4；240 (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】题考查了行程问题的数量关系路程时间速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时根据图象分析数据，求出一次函数的解析式是关键． （1）由图象可知，、两地的路程是，后第一次相遇，设乙开始的速度是，列方程求解乙开始的速度，从而可得提速后的速度，根据时间、路程和速度的关系即可解答； （2）由图象进一步分析，得出乙从地返回地的路段，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，即可求解； （3）根据（1）（2）得到的信息列式计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知，、两地的路程是，后第一次相遇，设乙开始的速度是， 则，解得：， 第一次相遇时乙距地， 第一次相遇后将速度提高为：， 乙到地的时间为， 故答案为：4，240； （2）解：由图象，得 时，乙向地跑，甲向地跑， 时，乙向地跑，甲到达地开始返回， 时，甲、乙都向地跑，两人速度都为，所以之间距离不变， 时，乙到达地，开始以速度返回， 时，甲、乙相向而行，两人速度都为，直到相遇， 乙从地返回地的路段是最后一段，设，代入，， ，解得：， ； （3）解：由（1）第一次相遇时乙距出发地地：． 35．（2024·河南新乡·模拟预测）骑行爱好者甲、乙两人相约从M地出发沿同一路线前往N地赏花，为方便实时交流，甲、乙两人佩戴了无线对讲机，已知该无线对讲机的通信距离为2000米，甲、乙两人同时从M地出发分别以不同的速度匀速骑行，20分钟后，甲和乙的通信中断，乙立即以原速的2倍继续匀速骑行，在此过程中，甲、乙两人距M地的距离y（单位：米）与骑行的时间x（单位：分）之间的关系如图所示，其中点A的坐标为． (1)求刚开始时乙的速度； (2)求图中线段所表示的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)线段与线段交于点D，请求出点D的坐标，并解释点D的实际意义． 【答案】(1)刚开始时乙的速度为200米/分钟 (2)线段所表示的函数解析式是 (3)点D的坐标为，点D的实际意义是当甲乙骑行40分钟时，两人相遇，此时他们行驶的路程为12000米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，(1)先根据点A的坐标，求出甲的速度，再根据该无线对讲机的通信距离为2000米，甲、乙两人同时从M地出发分别以不同的速度匀速骑行，20分钟后，甲和乙的通信中断，可知20分钟时，两人相距2000米，然后即可计算出刚开始时乙的速度； (2)先计算出点B和点C的坐标，再设线段的解析式，将点B和点C的坐标代入，即可求得线段的解析式，再写出自变量的取值范围即可； (3)根据(1)和(2)中求出的相关数据，可以计算出点D的坐标，然后再写出点D的实际意义即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 甲的速度为：（米/分钟）， 乙刚开始时速度为：（米/分钟）， 即刚开始时乙的速度为200米/分钟； （2）解：点C的横坐标为：， ∴点C的坐标为， 点B的横坐标为20，则点B的纵坐标为：， ∴点B的坐标为， 设线段所表示的函数解析式为， ∵点，点在函数图象上， ∴， 解得， 即线段所表示的函数解析式是； （3）解：设点D的横坐标为m， ， 解得， ∴点D的纵坐标为：， 即点D的坐标为，点D的实际意义是当甲乙骑行40分钟时，两人相遇，此时他们行驶的路程为12000米． 36．（2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题）甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______． （2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米．    【答案】（1）；；（2）（3）货车出发小时或小时后两车相距千米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）观察图象即可解决问题； （2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】解：（1）车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；． 故答案为；；； （2）由题意可知：，，， 设直线的解析式为， ， 当时，， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ， ； （3）设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得： 或， 解得或． 答：货车出发小时或小时后两车相距千米． 【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究. 费用或利润最值问题 37．（2024·辽宁·模拟预测）大连金州湾国际机场是国内首个离岸式“人工岛”机场，新机场预计2026年可建成运营．机场工地每天都有车辆进出，在某一个工地，从某时刻开始内只进车不出车，在随后的内既进车又出车，工地每小时的进车辆和出车辆可以近似的看成是两个常数，工地内的车辆总数y（单位：辆）与时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y关于x的函数解析式； (2)若之后只出车不进车，现在工地需将一批重的工业残渣运出，已知工地现有A型车（载重）和B型车（载重），A型车每趟运费100元，B型车每趟运费120元，工地上的车辆全部参与运送，请问应如何设计工地上的车型及数量，才能使运费最低，并求最低运费． 【答案】(1) (2)当工地上有24辆A型车，12辆B型车时，能使运费最低，最低运费是3840元 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题主要考查一次函数图象与实际的应用，理解折点的含义是解题的关键． （1）当时，利用待定系数法求出函数解析式，即可知与的关系； （2）设工地现有A型车辆，则有B型车辆，总运费为元，则，再求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由图设，将点，代入得 ，解得 y关于x的函数解析式； （2）设工地现有A型车辆，则有B型车辆，总运费为元，则： ， 工地需将一批重的工业残渣运出， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 当工地上有24辆A型车，12辆B型车时，能使运费最低，最低运费是3840元． 38．（2024·湖北孝感·模拟预测）盆栽超市要到盆栽批发市场批发两种盆栽共300盆，种盆栽盆数不少于种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购盆种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 种盆栽 12 19 种盆栽 10 15 (1)直接写出该超市采购费用（单位：元）与（单位：盆）的函数关系式______． (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时种盆栽批发价每盆下降了元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求的值． 【答案】(1) (2)最大利润为1820元 (3) 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：设该超市采购盆种盆栽，则采购盆B种盆栽， 商场的采购费用与的函数关系式为 ； （2）解：设总利润为W元，根据题意得： 随的增大而增大，且， 当时，W最大，最大值为1820； ∴超市能获得的最大利润是1820元； （3）设总利润为元，根据题意得： 当即时，随的增大而增大， 又， 当时，有最小值为 解得，舍去 当即时，随的增大而减小， 又， 当时，有最小值为 解得： 综上分析可知，满足条件的值为2． 方案选择问题 39．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，见解析 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 40．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． (1)求每个排球的标价是多少元． (2)当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． (3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． (4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 【答案】(1)元 (2)； (3)点的坐标为；点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元 (4)当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、函数解析式、从函数的图象获取信息、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系 （1）根据函数图象可知：商店：购买个排球的总价为元；商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解； （2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）根据（2）的结论列方程解答即可； （4）根据（3）的结论结合图象解答即可； 解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【详解】（1）解：商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的， ∴每个排球的标价是元； （2）当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 故答案为：；； （3）由图像可知，点是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得：， 此时， ∴点的坐标为， ∴点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元； （4）观察图象可知： 当或时，在、两家商店所付的钱数相同； 当时，选择商店更合算； 当时，选择商店更合算． 真题过关检测 41．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 42．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 43．（2024年广东省中考数学试卷）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 44．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】代入消元法、判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 45．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 46．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 47．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 48．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 49．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30，40 (2)的函数解析式是 (3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键． （1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得； （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（） ∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h， ∴乙货车速度， 故答案为：30；40 （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点 设 ∴ 解得：， ∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式 （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等， ①两车到达配货站之前：， 解得：, ②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：， 解得：， ③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：， 解得：， 答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 50．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 51．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 52．（2024·内蒙古包头·中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1) (2)10个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答； （2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ∴， 检验∶当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴碗的数量最多为10个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一次函数 考点1 正比例函数与一次函数的定义 4 考点2 一次函数的图像性质 4 考点3 一次函数的平移变换 6 考点4 一次函数与方程、不等式的结合 7 考点5 一次函数与几何图形结合 9 考点6 一次函数的应用 11 行程问题 11 费用或利润最值问题 13 方案选择问题 13 真题过关检测 14 一、正比例函数与一次函数的概念 正比例函数概念 若两个变量，的关系可以表示成：（为常数，且）的形式，那么就叫做的正比例函数.其中称为比例系数. 一次函数概念 若两个变量，的关系可以表示成：（、为常数，且）的形式；那么就叫做的一次函数；其中，是自变量，是因变量． 正比例函数与 一次函数 当，时，从一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是特殊的一次函数 二、正比例函数（为常数，且）的图象和性质 1.正比例函数图像的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数的图象.一般地,过原点和点(为常数,)的直线，即正比例函数的图象. 正比例系数的几何意义： (1)的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性； (2)决定图象的倾斜程度. 越大，图象与轴所夹的锐角越大， 看起来越“陡”；越小,图象与轴所夹的锐角越小，看起来越“缓”. 如图， 2.正比例函数的性质 的符号 图象 图像形状 所过象限 性质 过原点，从左向右是上升的直线 过一、三象限 随的增大而增大 过原点，从左向右是下降的直线 过二、四象限 随的增大而减小 三、一次函数（、为常数，且）的图象及性质 1．一次函数图像的画法 两点法 画图时通常取两点， ，过这两点画直线即可. 平移法 一次函数(，是常数，)的图象，是由直线沿轴向上或向下平移个单位得到的；反之，直线也可以通过沿轴平移直线得到. 常数项的几何意义 决定图象与轴的交点的位置. 直线与轴的交点坐标是. 当时，图象与轴的交点在轴的正半轴； 当时，图象与轴的交点在轴的负半轴. 2.一次函数的性质 的符号 图象 经过象限 性质 第一、二、三象限 随的增大而增大 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 随的增大而减小 第二、四象限 第二、三、四象限 四、一次函数图像的平移变换 平移前 平移方向 平移后 规律 向左平移个单位长度 左加右减 向右平移个单位长度 向上平移个单位长度 上加下减 向下平移个单位长度 五、一次函数的对称变换 原解析式 变换方式 变换后解析式 图示 关于轴对称 1）对称前，与轴交点为 2）对称后，与轴交点不变， 与轴交点变为 关于轴对称 1）对称前，与轴交点为 2）对称后，与轴交点不变， 与轴交点变为 整体原则：关于轴对称，不变，变相反数，∴前面整体加负号 关于轴对称，不变，变相反数，∴前面加负号 考点1 正比例函数与一次函数的定义 1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（    ） A．4 B．5 C．10 D．15 3．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ． 考点2 一次函数的图像性质 5．（2024·辽宁·模拟预测）一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，交x轴，y轴分别于点B，点A．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A．B． C． D． 8．（2024·陕西安康·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（a，b是常数，且）的图象可能是（    ） A．  B． C．   D．   9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 10．（2024·四川成都·三模）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·甘肃陇南·模拟预测）一次函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象经过的象限为（   ） A．一、二、三 B．一、三 、四 C．二、三、四 D．一、二 、四 12．（2024·湖北十堰·一模）一次函数的图像过点，，则 （填“”“”或“”）． 13．（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 14．（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．（2024·安徽合肥·三模）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点3 一次函数的平移变换 17．（2024·湖南娄底·模拟预测）将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 19．（2024·内蒙古包头·三模）已知直线向下平移个单位后经过点，若点关于轴的对称点为，则点位于直线（   ）上 A． B． C． D． 考点4 一次函数与方程、不等式的结合 20．（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 21．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 22．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A．B． C．D． 24．（2024·四川达州·三模）如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为(     ) A． B． C． D． 25．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 考点5 一次函数与几何图形结合 28．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 29．（2024·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 30．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为 ． 31．（2024·河南新乡·二模）如图，正方形的顶点，分别在轴、轴上，点在直线上，直线分别交轴、轴于点，．将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 32．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 33．（2024·山东泰安·二模）如图，直线x，点A坐标为，过点A作y轴的垂线交直线l于点以为边作等边三角形，再过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边三角形，……，按此做法进行下去，点的坐标为 ． 考点6 一次函数的应用 行程问题 34．（2024·吉林松原·二模）甲、乙两人分别从公园长廊在同一直线上的A、B两地同时出发，相向匀速慢跑，甲以的速度慢跑到B地后，立即按原速返回，乙在第一次相遇后将速度提高到原来的1.5倍，之后匀速慢跑到A地，且乙到达A地后立即以提速后的速度返回，直到两人再次相遇时停止．甲、乙两人之间的路程与慢跑时间之间的函数图象如图所示． (1)乙在两人第一次相遇前的速度为______，乙到A地的时间为______s； (2)求乙从A地返回B地时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)直接写出第一次相遇时乙距出发地的路程． 35．（2024·河南新乡·模拟预测）骑行爱好者甲、乙两人相约从M地出发沿同一路线前往N地赏花，为方便实时交流，甲、乙两人佩戴了无线对讲机，已知该无线对讲机的通信距离为2000米，甲、乙两人同时从M地出发分别以不同的速度匀速骑行，20分钟后，甲和乙的通信中断，乙立即以原速的2倍继续匀速骑行，在此过程中，甲、乙两人距M地的距离y（单位：米）与骑行的时间x（单位：分）之间的关系如图所示，其中点A的坐标为． (1)求刚开始时乙的速度； (2)求图中线段所表示的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)线段与线段交于点D，请求出点D的坐标，并解释点D的实际意义． 36．（2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题）甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______． （2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米．    费用或利润最值问题 37．（2024·辽宁·模拟预测）大连金州湾国际机场是国内首个离岸式“人工岛”机场，新机场预计2026年可建成运营．机场工地每天都有车辆进出，在某一个工地，从某时刻开始内只进车不出车，在随后的内既进车又出车，工地每小时的进车辆和出车辆可以近似的看成是两个常数，工地内的车辆总数y（单位：辆）与时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y关于x的函数解析式； (2)若之后只出车不进车，现在工地需将一批重的工业残渣运出，已知工地现有A型车（载重）和B型车（载重），A型车每趟运费100元，B型车每趟运费120元，工地上的车辆全部参与运送，请问应如何设计工地上的车型及数量，才能使运费最低，并求最低运费． 38．（2024·湖北孝感·模拟预测）盆栽超市要到盆栽批发市场批发两种盆栽共300盆，种盆栽盆数不少于种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购盆种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 种盆栽 12 19 种盆栽 10 15 (1)直接写出该超市采购费用（单位：元）与（单位：盆）的函数关系式______． (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时种盆栽批发价每盆下降了元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求的值． 方案选择问题 39．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 40．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． (1)求每个排球的标价是多少元． (2)当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． (3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． (4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 真题过关检测 41．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 42．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 43．（2024年广东省中考数学试卷）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 44．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 46．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 47．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 48．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 49．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 50．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 51．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 52．（2024·内蒙古包头·中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$