2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第9讲 平面直角坐标系与函数

第9讲 平面直角坐标系 考点1 用有序数对表示位置 4 考点2 平面直角坐标系中点的坐标特征 5 考点3 点的对称变换与平移变换 6 考点4 点的坐标规律探究 8 考点5 函数的概念及自变量的范围 11 考点6 函数图像的识别 11 考点7 函数图像信息的判断 13 真题过关检测 15 一、有序数对 定义：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作． 二、平面直角坐标系的相关概念 概念 平面直角坐标系 由平面内两条互相垂直，原点重合的数轴组成 轴（横轴） 水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向 轴（纵轴） 竖直的数轴称为轴或纵轴，取向上方向为正方向 象限 在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域，按逆时针顺序分别称为第一、二、三、四象限 表示 如图坐标系中的点，从点分别向轴和轴作垂线， 垂足分别为和，这时点在轴上对应的数称为点的横坐标（图中点的横坐标为3）， 点在轴上对应的数称为点的纵坐标（图中点的纵坐标为2）， 依次写出点的横、纵坐标得到一对有序数对，称为点的坐标， 则点可记作．同理，我们可以得到点的坐标． 三、坐标系内点的特征 各象限内点的坐标特征 ①点在第一象限； 即：横纵坐标同号 ②点在第二象限； 即：横纵坐标异号 ③点在第三象限；； 即：横纵坐标同号 ④点在第四象限． 即：横纵坐标异号 坐标轴上点的坐标特征 ①点在轴上，为任意实数；即：轴上的点，横坐标为0 ②点在轴上，为任意实数；即：轴上的点，纵坐标为0 ③点既在轴上，又在轴上，即点为坐标原点． 象限角平分线上点的坐标特征 ①点在第一、三象限夹角的角平分线上； 即：横纵坐标相等 ②点在第二、四象限夹角的角平分线上，即． 即：横纵坐标互为相反数 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 ①点位于平行于轴的直线上的点各点的纵坐标相同。 ②点位于平行于轴的直线上的点各点的横坐标相同。 对称点的坐标特征 ①点关于轴的对称点是，即：横坐标不变，纵坐标变为其相反数． ②点关于轴的对称点是，即：纵坐标不变，横坐标变为其相反数． ③点关于坐标原点的对称点是，即：横坐标变为其相反数，纵坐标也变为其相反数. 点到坐标轴及原点的距离 点到坐标轴及原点的距离：①点到轴的距离等于 ②点到轴的距离等于 ③点到原点的距离等于 四、坐标系内图形的变换 图形的平移 1．在平面直角坐标系中，图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别加上（或减去）一个正数，则图形沿水平方向向右（或向左）平移个单位长度，图形形状、大小不变． 2．在平面直角坐标系中，图形上各点的横坐标不变，纵坐标分别加上（或减去）一个正数，则图形向上（或向下）平移个单位长度，图形形状、大小不变． 五、图形变换相应坐标变化规律 横坐标（） 纵坐标（） 左右 向左移动个单位长度，横坐标变为 不变 向右移动个单位长度，横坐标变为 上下 不变 向上移动个单位长度，纵坐标变为 向下移动个单位长度，纵坐标变为 六、函数 常量 在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，称为常量. 变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 函数定义 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么是的函数.其中是自变量，是因变量. 函数值 如果当时，则叫做当自变量的值为时的函数值. 自变量范围 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义. 七、函数图象画法 描点法画函数图象的一般步骤如下： 函数的 图像 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 第一步 列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） 第二步 描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐 标，描出表格中数值对应的各点） 第三步 连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连起来） 注意 事项 表示两个变量的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有 限个点，同时想象出其他点的位置 2．用实心点表示在曲线的点，用空心圈表示不在曲线的点 3． 当时，的函数只能有一个函数值 八、函数的三种表示法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下： 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值. 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律. 解析式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法.其中的等式叫做函数解析式. 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系. 从函数解析式很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来. 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法， 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质. 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值， 考点1 用有序数对表示位置 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（    ） A．表示排a号 B．表示第b排a号位 C．表示b排或a号 D．与不可能代表同一个位置 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为，，按照此方法可以将目标C的位置表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山西太原·一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（    ） A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论 4．（2023·陕西西安·模拟预测）观察如图所示的象棋棋盘，表示“帅”的位置，马走“日”字，那么“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置可表示为 ． 考点2 平面直角坐标系中点的坐标特征 5．（2024·湖北·模拟预测）点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）已知点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 11．（2024·广西桂林·一模）在平面直角坐标系中，已知，线段平行于x轴，且，则 ． 12．已知点，解答下列各题． (1)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (2)点M的坐标为，若轴，且，求b的值； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 考点3 点的对称变换与平移变换 13．（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山西长治·模拟预测）如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 16．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 18．（2023·湖北黄冈·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 19．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 20．（2024·甘肃天水·模拟预测）若点与点关于x轴对称，则 ． 21．（2024·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则 ． 22．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是 ． 23．（2024·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为． （1）计算： ； （2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．(其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点)． 24．（2024·上海·模拟预测）小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 考点4 点的坐标规律探究 25．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 26．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·河南漯河·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为，第2次碰到矩形的边时对应点的坐标为……则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·山东枣庄·模拟预测）在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，……若到达终点，则的值为 ． 30．（2024·湖北恩施·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作；；依次进行下去，则点的坐标为 ． 31．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 ． 32．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上的一点，且的长度为1，以线段为边作正方形得对角线，再以为边，作第二个正方形，再以为边作正方形对角线，再以为边作正方形对角线……以此类推，得正方形对角线，则点的坐标是 ． 考点5 函数的概念及自变量的范围 33．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 34．（2024·贵州·一模）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（    ） A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 35．（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．或 36．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 37．（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 考点6 函数图像的识别 38．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A． B． C． D． 39．（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 40．（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是(      ) A． B． C． D． 41．（2024·江苏常州·二模）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．   B．    C．    D．   考点7 函数图像信息的判断 42．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 43．（2024·湖北武汉·模拟预测）周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 44．（2024·湖南·二模）如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（    ） A．5 B．8 C． D．12 45．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则的周长是（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 46．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 47．（2024·河南·模拟预测）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 真题过关检测 48．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 49．（2023·浙江·中考真题）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 50．（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 51．（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 52．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 53．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 54．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    ) A． B． C． D． 55．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 56．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 57．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 58．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 59．（2024·江苏无锡·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A．x ≠ 3 B．x＞3 C．x＜3 D． 60．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 61．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A． B． C． D． 62．（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 63．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 64．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 65．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 66．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：    （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 67．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 68．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 平面直角坐标系 考点1 用有序数对表示位置 4 考点2 平面直角坐标系中点的坐标特征 6 考点3 点的对称变换与平移变换 11 考点4 点的坐标规律探究 17 考点5 函数的概念及自变量的范围 26 考点6 函数图像的识别 28 考点7 函数图像信息的判断 32 真题过关检测 37 一、有序数对 定义：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作． 二、平面直角坐标系的相关概念 概念 平面直角坐标系 由平面内两条互相垂直，原点重合的数轴组成 轴（横轴） 水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向 轴（纵轴） 竖直的数轴称为轴或纵轴，取向上方向为正方向 象限 在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域，按逆时针顺序分别称为第一、二、三、四象限 表示 如图坐标系中的点，从点分别向轴和轴作垂线， 垂足分别为和，这时点在轴上对应的数称为点的横坐标（图中点的横坐标为3）， 点在轴上对应的数称为点的纵坐标（图中点的纵坐标为2）， 依次写出点的横、纵坐标得到一对有序数对，称为点的坐标， 则点可记作．同理，我们可以得到点的坐标． 三、坐标系内点的特征 各象限内点的坐标特征 ①点在第一象限； 即：横纵坐标同号 ②点在第二象限； 即：横纵坐标异号 ③点在第三象限；； 即：横纵坐标同号 ④点在第四象限． 即：横纵坐标异号 坐标轴上点的坐标特征 ①点在轴上，为任意实数；即：轴上的点，横坐标为0 ②点在轴上，为任意实数；即：轴上的点，纵坐标为0 ③点既在轴上，又在轴上，即点为坐标原点． 象限角平分线上点的坐标特征 ①点在第一、三象限夹角的角平分线上； 即：横纵坐标相等 ②点在第二、四象限夹角的角平分线上，即． 即：横纵坐标互为相反数 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 ①点位于平行于轴的直线上的点各点的纵坐标相同。 ②点位于平行于轴的直线上的点各点的横坐标相同。 对称点的坐标特征 ①点关于轴的对称点是，即：横坐标不变，纵坐标变为其相反数． ②点关于轴的对称点是，即：纵坐标不变，横坐标变为其相反数． ③点关于坐标原点的对称点是，即：横坐标变为其相反数，纵坐标也变为其相反数. 点到坐标轴及原点的距离 点到坐标轴及原点的距离：①点到轴的距离等于 ②点到轴的距离等于 ③点到原点的距离等于 四、坐标系内图形的变换 图形的平移 1．在平面直角坐标系中，图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别加上（或减去）一个正数，则图形沿水平方向向右（或向左）平移个单位长度，图形形状、大小不变． 2．在平面直角坐标系中，图形上各点的横坐标不变，纵坐标分别加上（或减去）一个正数，则图形向上（或向下）平移个单位长度，图形形状、大小不变． 五、图形变换相应坐标变化规律 横坐标（） 纵坐标（） 左右 向左移动个单位长度，横坐标变为 不变 向右移动个单位长度，横坐标变为 上下 不变 向上移动个单位长度，纵坐标变为 向下移动个单位长度，纵坐标变为 六、函数 分类 概念 常量 在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，称为常量. 变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 函数定义 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么是的函数.其中是自变量，是因变量. 函数值 如果当时，则叫做当自变量的值为时的函数值. 自变量范围 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义. 七、函数图象画法 描点法画函数图象的一般步骤如下： 函数的 图像 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 第一步 列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） 第二步 描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐 标，描出表格中数值对应的各点） 第三步 连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连起来） 注意 事项 ①表示两个变量的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置 ②用实心点表示在曲线的点，用空心圈表示不在曲线的点 ③当时，的函数只能有一个函数值 八、函数的三种表示法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下： 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值. 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律. 解析式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法.其中的等式叫做函数解析式. 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系. 从函数解析式很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来. 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法， 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质. 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值. 考点1 用有序数对表示位置 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（    ） A．表示排a号 B．表示第b排a号位 C．表示b排或a号 D．与不可能代表同一个位置 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可． 【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为， ∴表示第b排a号位， 故选：B． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为，，按照此方法可以将目标C的位置表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对的应用．理解题意是解题的关键． 由目标A，B的位置分别表示为，，可知目标C的位置表示为． 【详解】解：∵目标A，B的位置分别表示为，， ∴目标C的位置表示为， 故选：C． 3．（2023·山西太原·一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（    ） A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论 【答案】A 【知识点】实践与应用、用有序数对表示位置 【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解． 【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合， 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）观察如图所示的象棋棋盘，表示“帅”的位置，马走“日”字，那么“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置可表示为 ． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】根据表示“帅”的位置，然后根据马走“日”字，可以得出“马8进7”后的位置． 【详解】解：∵表示“帅”的位置， 又∵马走“日”字， ∴“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置可表示为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，明确数对表示位置的方法，是解题的关键． 考点2 平面直角坐标系中点的坐标特征 5．（2024·湖北·模拟预测）点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了判断点所在的象限，掌握各象限的符号特征是解题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：， ，， 点在第一象限， 故选：A． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限点的坐标特征是解题的关键； 根据，，得到，，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，据此解答即可； 【详解】， a、b同号， ， ，， A． 在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； B．在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意； C．在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； D．在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）已知点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：y轴上的点的横坐标为0． 让点P的横坐标为0列式求得a的值，即可求得点P的坐标． 【详解】解：∵点在直角坐标系的y轴上， ∴， 解得，， ∴P坐标为． 故选：B． 8．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题、坐标与图形 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识．由勾股定理得，由折叠得，，则，由勾股定理列式计算，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 9．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征．设点A的坐标是，根据点M在第二象限内，可得，，再由点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，可得，，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标是， ∵点M在第二象限内， ∴，， ∵点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是． 故选：B． 10．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】4 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限的点的横纵坐标均为正数，且点到两个坐标轴的距离相等得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（2024·广西桂林·一模）在平面直角坐标系中，已知，线段平行于x轴，且，则 ． 【答案】或3 【知识点】坐标与图形 【分析】此题考查坐标与图形，，线段平行于x轴，得到点A在点B的左边或右边2个单位长度．由点B坐标为，则或，即可得到答案． 【详解】解：∵，线段平行于x轴， ∴点A在点B的左边或右边2个单位长度． 又∵点B坐标为， ∴或， 即a的值为或3． 故答案为：或3． 12．已知点，解答下列各题． (1)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (2)点M的坐标为，若轴，且，求b的值； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】有理数的乘方运算、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据与y轴平行的直线上的点的横坐标相等，进行求解即可； （2）根据直线轴，它们的纵坐标相等，进行求解即可； （3）根据在第二象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 本题主要考查坐标与图形性质，熟知与轴平行的直线上的点的横坐标相等，熟知与轴平行的直线上的点的纵坐标相等，熟知在第二象限的点的坐标特征，点到轴、轴的距离相等即纵坐标与横坐标的绝对值相等是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线轴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵轴，点M的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或； （3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴，且， ∴ ∴ ∴． 考点3 点的对称变换与平移变换 13．（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称，在平面直角坐标系中，如果两个点关于轴对称，则这两个对称点的横坐标不变、纵坐标互为相反数，由此即可得到答案，熟练掌握平面直角坐标系中点的对称的坐标规律是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是， 故选：C． 14．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标． 【详解】点关于y轴的对称点的坐标是， 故选C． 15．（2024·山西长治·模拟预测）如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变化对称，根据两点关于直线对称，可求出，的值，进而解决问题． 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以，， 则，， 所以． 故选：C． 16．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 由点A关于幸福直线的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直， ∴点A与点B的纵坐标都相同 ，即， 故选：D． 17．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解之即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 18．（2023·湖北黄冈·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，关于坐标轴对称的点的特征是关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，利用规律即可得到答案． 【详解】解：将点向右平移2个单位长度得到点，则点关于x轴的对称点C的坐标是． 故选：A 【点睛】此题考查了点的平移规律和关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，熟练掌握相关规律是解题的关键． 19．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了利用平移解答坐标与图形的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据向左平移横坐标减，向上平移，纵坐标加解答． 【详解】解：将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，横坐标变为，纵坐标变为， 所以点的坐标是． 故选：A． 20．（2024·甘肃天水·模拟预测）若点与点关于x轴对称，则 ． 【答案】/0.125 【知识点】点坐标规律探索、负整数指数幂 【分析】本题考查点的坐标规律、负整数指数幂，先根据点的坐标规律可得，再代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 把代入得，， 故答案为：． 21．（2024·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】9 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴； 故答案为：9． 22．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了点的平移和关于轴的对称点的坐标特点，首先根据横坐标右移加，左移减可得点坐标，然后再关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到的的坐标为，即， 则点关于轴的对称点的坐标是：． 故答案为：． 23．（2024·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为． （1）计算： ； （2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．(其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点)． 【答案】 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解新定义的变换规则是解题的关键． （1）根据新定义的变换，列出方程组，求出、的值即可； （2）根据两点之间的距离公式，求出的长度即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知：，， ， ， 故答案为：． 24．（2024·上海·模拟预测）小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了两点间距离公式、勾股定理、轴对称求最短路线等知识． （1）根据题意把代数式变形后写出答案即可； （2）代数式变形后所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，设点A关于x轴的对称点为，则,要求的最小值，只要求的最小值，当三点共线时，取最小值，即为线段的长，进一步求出答案即可． 【详解】（1）解：或 ∴代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为或， 故答案为：或 （2）∵ 即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，如图所示： 设点A关于x轴的对称点为，则, ∴要求的最小值，只要求的最小值， 当三点共线时，取最小值，即为线段的长， 如图，过点B作x轴的垂线，过点作y轴的垂线，相交于点C，则 ， ∴， 即代数式的最小值为． 考点4 点的坐标规律探究 25．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可． 本题考查了坐标的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到，这时； 第3圈有16个点，即到，这时； 依次类推，第n圈，； 由规律可知：是在第4圈上，且，即，故A选项不正确： 是在第23圈上，且，即，故选项B正确； 第n圈，，所以，故C，D选项不正确； 故选：B． 26．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、图形的平移、点坐标规律探索 【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解题的关键． 【详解】由图可知：，，，，， ，，，，，， 又，，，，， 当为偶数时， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ∴，即， 故选：． 27．（2024·河南漯河·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为，第2次碰到矩形的边时对应点的坐标为……则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标，先根据反射角与入射角的定义作出图形，观察图形，找出点P每次碰到矩形边时的坐标，找出规律，进行解答即可． 【详解】解：如图所示， 当小球第8次碰到矩形的边时回到出发点，即每8次完成一个循环， ， 即第100次碰到矩形的边与第4次碰到矩形的边的位置相同，第4次对应的点的坐标为， 故选：D． 28．（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理等知识，先判断出将绕点顺时针旋转，每次旋转，旋转4次回到原来的位置，则第2024次旋转结束时点回到起点，过G作于M，利用勾股定理求出，，利用等面积法求出，利用勾股定理求出，进而求出，即可求出点G的坐标． 【详解】解：∵， ∴每4次一循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点回到起点， 过G作于M，    ∵正方形的面积为5，正方形的面积为1， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴G的坐标为， 故选：D． 29．（2024·山东枣庄·模拟预测）在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，……若到达终点，则的值为 ． 【答案】2024 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了坐标变化的规律，正确探索变化的规律是解题的关键．结合题意寻找变化的规律，即可确定答案． 【详解】解：∵点在第二象限， 根据题意，在第二象限内的点有，，，……， 又∵，，，……， ∴． 故答案为：2024． 30．（2024·湖北恩施·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作；；依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标规律探索，先求出，再利用先利用翻转的性质、点坐标的变化规律分别求出点的坐标，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解；∵，， ， 由翻转的性质得：，则 由翻转过程可知，点重合，则， 点的横坐标为，纵坐标为2，即 同理可得：点重合，点的横坐标为，纵坐标为0， 即， 点的横坐标为，纵坐标为2，即 归纳类推得出以下规律：（其中，n为正整数） （1）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为0 （2）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为0 （3）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为2 点的坐标变化规律符合（1） 则点的横坐标为，纵坐标为0，即 故答案为：． 31．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， ∴（为正整数）的坐标可表示为， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 32．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上的一点，且的长度为1，以线段为边作正方形得对角线，再以为边，作第二个正方形，再以为边作正方形对角线，再以为边作正方形对角线……以此类推，得正方形对角线，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“（n为自然数）”是解题的关键．根据正方形的性质找出点的坐标，根据坐标的变化可找出变化规律，依此规律即可求出点的坐标． 【详解】解：由题意可知：由正方形性质可知其对角线长度为边长倍，， 则，，，，，，，，且点依次在第一象限角平分线上，轴正半轴，第四象限角平分线上，轴负半轴，第三象限角平分线上，轴负半轴，第二象限角平分线上，轴正半轴，以8为周期循环，， 当在各象限角平分线上时，到坐标的距离均为：， 再根据各象限的符号可得坐标：，， 则（n为自然数） ∴（n为自然数）， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 考点5 函数的概念及自变量的范围 33．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 34．（2024·贵州·一模）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（    ） A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，如果变量A因为变量B的变化而变化，那么变量B叫做自变量，变量A叫做因变量，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，随着高度的不断增加，燃料的体积不断减少，则自变量为火箭飞行的高度， 故选：B． 35．（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．或 【答案】B 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，注意函数自变量的范围一般从三个方面考虑（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据题意得：被开方数， 解得， 根据分式有意义的条件，， 解得， 故且． 故选：B． 36．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质、函数自变量的取值范围，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式中被开方数不能小于零即可求解． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：中， 解得， 函数中自变量的取值范围是． 故答案为：． 37．（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了列函数关系式，根据“每挂重物体，弹簧伸长”可得每挂重物体，弹簧伸长，由此可解． 【详解】解：由题意知，每挂重物体，弹簧伸长， 因此弹簧的长度与所挂重之间的关系式是， 故选D． 考点6 函数图像的识别 38．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键． 根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t， A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意； B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意； C、图象准确反映了题意，符合题意； D、图象函数一直下降，不符合题意． 故选：C． 39．（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象识别 【分析】本题主要考查了用图象表示变量之间是关系，能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键．根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案． 【详解】解：因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，且长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，且此时水面上升的高度也是随时间均匀升高，因此此时的图像也是直线，但水面上升的速度比开始时要慢，因此四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 40．（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是根据张浩去时用的时间，在少年宫玩了分钟的乒乓球的时间，返回的时间判断出折线的走势．依据题意，根据运动的路程与时间判断折线的走势，注意几个时间段：妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，据此判断即可． 【详解】解：根据题意，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，总用时分钟． 在图象上表现为C． 故选：C． 41．（2024·江苏常州·二模）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】函数图象识别、动点问题的函数图象 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【详解】解：加速行驶时，速度逐渐增加， 匀速行驶时，速度不变， 开到服务区时，速度逐渐减少， 加油时，速度为0， 加满油后开始加速行驶时，速度增加， 最后匀速行驶时，速度不变， 综上：只有C符合题意； 故选：C． 考点7 函数图像信息的判断 42．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 利用速度路程时间，可求出后800m的速度，判断A选项；利用中途停留的时间，可求出中途停留的时间，判断B选项；当时，关于的函数图象是线段，可得出后速度不变，判断C选项；利用整个登山过程的平均速度总路程总时间，可求出整个登山过程的平均速度，判断D选项． 【详解】解：A、后的速度为，选项A正确，符合题意； B、中途停留了，选项B错误，不符合题意； C、当时，关于的函数图象是线段，即后速度不变，选项C错误，不符合题意； D、整个登山过程的平均速度为，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 43．（2024·湖北武汉·模拟预测）周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象逐一排除即可，从图象中获取信息得到与问题相关的速度，时间，路程是解题的关键． 【详解】、根据图象可知：点指甲从开始出发，此选项正确，不符合题意； 、根据题意乙的速度为，设甲的原速度为， ∴，解得：，此选项正确，不符合题意； 、∵乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行， ∴此时甲的速度为， ∴， 则甲与乙相遇时，甲出发了（分钟）， 此选项正确，不符合题意； 、当时，甲到达地，此时乙距离地还有（米）， 需要（分钟）， ∴乙比甲晚分钟到达地，此选项错误，符合题意； 故选：． 44．（2024·湖南·二模）如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（    ） A．5 B．8 C． D．12 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据题意判断出转折点为点，由勾股定理求出 ，即可求解，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：点是从点出发的，为初始点，观察图象可知，时，，则，点从点沿向点移动的过程中，是不断增加的，而点从点沿向点移动的过程中，是不断減少的， 因此转折点为点，点运动到点时，即时，，此时，即． 在中，，由勾股定理，得， 解得：， ， 当为的中点时，， 的面积， 故选：D． 45．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则的周长是（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】由图得，当点运动到点和店处时，长都是5，即，当最短时，即垂直时长为3，根据勾股定理求出，再由三线合一定理求出，即可根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由图象可知，点在上运动时，此时不断增大，最大为, 故， 由图象可知，点从向运动时，最大值为5，即， ， 当最短时，即垂直时长为3， 如图， 在中， ，， ， ，， ， ， 的周长为． 故选：C． 46．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用网格求三角形面积、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，掌握如何从图象中获取信息是解题的关键． 根据函数图象得到的面积最大时的长，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：依题意得：直线运动到点停止，且当直线运动到点时，的面积最大， 此时，，， ， ， 当时，， 在中， ， 故选：． 47．（2024·河南·模拟预测）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 过点作，由三角形面积公式求出，由图可知当时，点与点重合，则，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，此时， 过点作于， 由三角形面积公式得：， 解得， ， 由图可知当时，点与点重合， ， 矩形的面积为 故选B． 真题过关检测 48．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 49．（2023·浙江·中考真题）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 50．（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，    故选A． 51．（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 52．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可． 【详解】解：设点坐标为， ∵点在第二象限内， ∴，， ∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5， ∴，， ∴，， 即点坐标为， 故选：D 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 53．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 54．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 55．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到； 第3圈有16个点，即到，； 依次类推，第n圈，； 由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确； 是在第23圈上，且，即，故B选项正确； 第n圈，，所以，故C、D选项不正确； 故选B． 【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键． 56．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 57．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 58．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 59．（2024·江苏无锡·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A．x ≠ 3 B．x＞3 C．x＜3 D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可. 【详解】根据二次根式有意义的条件，得： ， 解得，， 故选：D. 【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键. 60．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可． 【详解】解：， 故选：A． 61．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数解析式 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 62．（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 63．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 64．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：D． 65．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 66．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：    （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确； 该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确； 该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确， 故选：C． 67．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意； B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意； C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意； D、甲的速度是，原说法正确，符合题意； 故选D． 68．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 2 学科网（北京）股份有限公司 $$