精品解析：江苏省扬州市扬大附中东部分校2021-2022学年高一下学期第一次质量检测数学试卷

扬大附中东部分校2021-2022学年第二学期第一次质量检测高一年级 数 学 学 科 试 题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知平面向量，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质. 2. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数值判断即可求解 【详解】∵函数在上连续且单调递增， 且， ， ∴， ∴函数的零点所在的区间为. 故选：C． 【点睛】本题考查函数零点存在性定理，熟记定理应用的条件是关键，属于基础题. 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ． 故选：D 4. 若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】在中，取的中点，连接，如图所示： 因， 所以， 所以，即，即. 又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定， 所以为等腰三角形. 故选：C 5. 如图所示，△ABC中，，点E是线段AD中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算结论用，表示，由此确定正确选项. 【详解】∵ E为线段AD的中点 ∴ ， 又， ∴ ， 故选：C. 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法求出，再用二倍角公式即可求解. 【详解】依题意，角的终边经过点，则，于是. 故选：D 7. 已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，的夹角，作出平面直角坐标系，表达出各点的坐标，即可求出的值. 【详解】由题意，， ∵，解得：， ∴两向量夹角， ∵， 以为坐标原点, ,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系, 如图所示, 则, 设, 由, 知, 解得, ∴ 又E为的外心， ∴， ∴为等边三角形, ∴， ∴, ∴. 故选：B. 8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解． 【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 圆的方程为，可设， 所以． 故． 所以的最大值为 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．） 9. 对于任意的平面向量，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由平面向量的运算律和线性运算即可排除选项，完成求解。 【详解】由平面向量的交换律可知选项A、B是正确的；选项C，，即 ，化简可得，并不一定能得到，所以选项C是错误的；选项D，，即为，一个为的共线向量，一个为的共线向量，而两向量并不一定共线，所选项错误. 故选：CD. 10. 若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个选项加以判断. 【详解】，A对， ，B错， ，C对， ，D对， 故选：ACD. 11. 已知向量，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由共线向量的坐标表示，可判定A不正确；根据向量的几何意义，求得向量在向量上的投影向量为，可判定B不正确；由向量的夹角公式，可判定C正确；由向量垂直的坐标表示，可判定D正确. 【详解】由题意，向量，是与同向的单位向量， 可得，由，所以与不共线，所以A不正确； 由，可得， 所以向量在向量上的投影向量为，所以B不正确； 由，可得， 设与的夹角余弦值为，可得，所以C正确； 由，可得，所以D正确. 故选：AB. 12. 已知函数，则（ ） A. 对任意的，函数都有零点. B 当时，对，都有成立. C. 当时，方程有4个不同的实数根. D. 当时，方程有2个不同的实数根. 【答案】AC 【解析】 【分析】讨论的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；当时，令，由得或，结合图象可判断C；当时，方程，则，结合图象可判断D． 【详解】 时，；当时，； 所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点， 时，函数只有个零点，故A正确； 当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错； 当时，令，由得或，作出函数的图象 如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解； 所以方程有4个不同的实数根，故C正确； 当时，方程，则，如图所示，有3个不同的交点， 则故D错误． 故选：AC 三、填空题（每小题5分，共20分，第15题第一空2分，第二空3分） 13. 已知某等腰三角形底角的正弦值是，则顶角的余弦值是__________________. 【答案】 【解析】 【分析】设该等腰三角形为且底边为,则,由等腰三角形的性质有,然后用二倍角公式可求答案. 【详解】设等腰三角形为且底边为，取的中点D，连接，则. 所以，在直角三角形中，. . 故答案为： 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式以及等腰三角形的性质，属于基础题. 14. 在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围____. 【答案】[8，24] 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范围. 【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， . 故答案为：. 15. 喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为的速度喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为，能够达到的最高高度为（如图所示，其中为重力加速度）.若，则H与D的比值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据和，结合，利用三角恒变换求解. 【详解】. 故答案为：. 16. 化简：____. 【答案】 【解析】 【分析】对原式通分，然后借助于辅助角公式以及二倍角公式化简计算，即可求出结果. 【详解】解：原式= 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后由化简可求出，再利用两向量夹角公式可求得结果； （2）由，得，化简后可求出的值. 【详解】解：（1）由，得， 由，得，，所以， 设向量与夹角为，则； （2）因为， 所以，即， 所以，解得. 18. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由可得，针对分式，分子分母同除即可得解； （2）由且，可求得，再由且，可得，带入即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 因此. （2）因为，，所以，， 因为，，所以. 所以. . 19. 如图，在平面四边形中，，. （1）求的值； （2）若是线段上一点（含端点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底法求向量的数量积； （2）设，，化简可得，从而确定的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，所以是边长为2等边三角形， 因为，所以是直角边长为2等腰直角三角形， 且，，， 所以 ； 【小问2详解】 解：由是线段上一点（含端点），设，， ， 有， 故， 当时，取最小值为； 当时，取最大值为. 20. 已知向量满足， （1）若，求实数的值； （2）求向量与夹角的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，得到，展开整理得到，利用结合，确定方向关系，即可求解； （2）设的夹角为，根据（1）求出，利用配方法求出的最小值，即可求出结论. 【详解】（1）因为，，所以，则与同向. 因为，所以， 即，整理得，解得， 所以当时，. （2）设夹角为， 则， 当，即时，取最小值， 又，所以， 即向量与夹角的最大值为. 【点睛】本题考查了平面向量的基本运算、向量的模计算、向量的夹角等基础知识，属于中档题. 21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ. （1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围； （2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数和半径得到，，，的长度，然后利用面积公式求面积，并用和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简即可； （2）利用正弦型函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 利用正弦函数可得，，，，所以 ，. 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，四边形钢板的面积最大. 22. 已知，，其中，． （1）求的值； （2）在平面向量中的学习中我们知道，若向量，则．类比上述结论，在空间向量中，若向量，则．若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将条件变形为，，然后平方相加结合余弦的差角公式和角的范围可得答案. （2）由（1）的方法同理可得，根据角的范围可得或，然后讨论分析得出，从而，然后由降幂公式和余弦的和角公式可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以，． 因为， 所以． 因为，所以， 所以． （2）由（1）同理可得， 两式平方相加可得 因为，，所以， 所以或． 若，由得矛盾， 所以． 由题意. 所以 ． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2021-2022学年第二学期第一次质量检测高一年级 数 学 学 科 试 题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知平面向量，且，则 A B. C. D. 2. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 4. 若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（ ） A. B. C D. 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（ ） A B. C. D. 7. 已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．） 9. 对于任意的平面向量，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立有（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 12. 已知函数，则（ ） A. 对任意的，函数都有零点. B. 当时，对，都有成立. C. 当时，方程有4个不同的实数根. D. 当时，方程有2个不同的实数根. 三、填空题（每小题5分，共20分，第15题第一空2分，第二空3分） 13. 已知某等腰三角形底角的正弦值是，则顶角的余弦值是__________________. 14. 在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围____. 15. 喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为的速度喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为，能够达到的最高高度为（如图所示，其中为重力加速度）.若，则H与D的比值为__________． 16. 化简：____. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若，求值. 18. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 19. 如图，在平面四边形中，，. （1）求的值； （2）若是线段上一点（含端点），求的取值范围. 20. 已知向量满足， （1）若，求实数的值； （2）求向量与夹角的最大值. 21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ. （1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围； （2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大. 22. 已知，，其中，． （1）求的值； （2）在平面向量中的学习中我们知道，若向量，则．类比上述结论，在空间向量中，若向量，则．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $