精品解析：2025届河南省河南部分重点高中高三年级青桐鸣大联考模拟预测数学试题

2025届普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性以及一元二次不等式解法求得集合，再由并集结果可得实数的最小值. 【详解】解不等式可得，即， 解不等式可得或； 当时可得，解得. 因此实数的最小值为3. 故选：B 2. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 3. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得出，再应用基本不等式常值代换计算即可. 【详解】因为，所以, 又因为， 当且仅当时取最小值9， 所以的最小值为5. 故选：C. 4. 若，则使成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确. 【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误； 对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误； 对于C，由可得，即可得，即充分性成立； 当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确； 对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误. 故选：C 5. 函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及对数运算法则可得函数满足，即可得对称中心为. 【详解】易知的定义域为， 所以可得， 因此 ， 即函数满足，因此的对称中心为. 故选：B 6. 已知角，其终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义利用两角和的正切公式再根据角的范围即可得. 【详解】由正切函数的定义可知： ； 又，，所以. 故选：D 7. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定函数的定义域，利用奇偶性定义和导数可确定的单调性，根据单调性可将所求不等式化为自变量大小关系的比较，结合函数定义域可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：，的定义域为； ，为定义在上的偶函数， ，， 当时，，即，又，， ，在上单调递增，又为偶函数， 图象关于轴对称，在上单调递减， 由得：，解得：， 的解集为. 故选：D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据式子结构特征构造函数，利用单调性判断可得，再令，求导判断出单调性可得，即可求得结果. 【详解】由可构造函数， 则，令，解得， 因此可得当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 可知在处取得极小值，也是最小值，所以， 即，故，即 当时，有，所以，可得； 令， 则， 故在上单调递增， 可得，即， 取，则，所以，可得； 综上可得，. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较指数以及对数大小问题时，经常通过观察式子的特征合理构造函数并利用导数求得单调性即比较得出结论. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴是 C. 图象的一个对称中心是 D. 在上的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式，以及辅助角公式化简，即可根据周期的公式即可求解A，代入即可验证BC，根据整体法，即可结合三角函数的性质求解. 【详解】由可得， 对于A， 的最小正周期为，故A正确， 对于B，，故不是图象的一条对称轴，故B错误， 对于C， ，故图象的一个对称中心是，故C错误， 对于D，当，则，故， 故，故D正确， 故选：AD 10. 若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若点为的中点，则 C. 为定值 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可得A错误，利用共线定理可判断B正确，由数量积的定义以及运算律计算可得C正确，得出的表达式可得当时，的最小值为，即D正确. 【详解】如下图所示： 对于A，易知当时，可得， 所以，即A错误， 对于B，若点为的中点，可知， 又可知， 易知为共线向量，所以可知，解得，即B正确； 对于C，由可知： 为定值，即C正确； 对于D， ， 又，可得当时，取得最小值为，即D正确. 故选：BCD 11. 在三棱台中，平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱台的体积为 D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面垂直性质定理可得A正确，根据棱长与勾股定理并利用线面垂直判定定理可得B正确，再由台体体积公式计算可得C正确，建立空间直角坐标系根据异面直线夹角的向量求法可得D错误. 【详解】对于A，由平面，又平面，所以， 又可得， 又，且平面， 因此平面，平面， 所以，即A正确； 对于B，由可知在四边形中，可知， 又易知，满足，因此； 结合A中，且，且平面， 所以平面，即B正确； 对于C，易知三棱台的上底面面积为， 下底面面积为，高为， 因此三棱台的体积为，即C正确； 对于D，根据平面可知两两垂直， 以所在直线分别为轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由三棱台性质可知，且， 可得，所以； 易知 可知直线与所成角的余弦值为，即D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题在求解异面直线所成角的问题时，关键是根据棱台性质建立空间直角坐标系，利用空间向量求解结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算可得，再由共轭复数的概念以及模长计算可得结果. 【详解】由可得； 则可得，因此. 故答案为：5 13. 已知角的终边不重合，且，则_______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先利用辅助角公式及正弦的性质得到​，再结合诱导公式、倍角公式可得的值. 【详解】根据可得， 其中锐角满足， 故可得，或者， 由于的终边不重合，故， 因此， 故答案为： 14. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知四点共圆，可得，由余弦定理可得，且，再根据外接球直径利用勾股定理计算出外接球半径，可得球的表面积. 【详解】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示： 易知，又， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得; 又易知，所以可得， 解得，又，所以， 可得，即， 设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得， 又平面，且， 设四棱锥的外接球半径为， 可得，即； 因此外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用四点共圆性质得出对角线，再由正弦定理求出外接圆半径，再根据线面垂直关系可得外接球半径可得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，三个内角所对的边分别为为边上一点，满足． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由得利用三角形面积公式可得，,进而得出，即可求值； （2）由，平方得出，即，可求. 【小问1详解】 在中，由得 ， 因为，所以，, 在中， ,所以； 【小问2详解】 由得， 所以， 又因为，得， 所以， 在中，， 16. 如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． （1）求的值； （2）若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）线面平行的性质定理，根据已知的平行关系推出线段比例关系； （2）通过构建三棱台求出相应体积，进而得出体积比. 【小问1详解】 连接，与交于，连接. 因为平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，所以. 又因为，在和中， 由于平行线分线段成比例定理，可得. 因为，所以. 【小问2详解】 在上取一点，使，连接， 因为，所以四边形即为过三点的截面. 设三棱柱的底面积为，高为，体积为，则. 因为，且，所以与相似，相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得的面积为. 对于三棱台，根据体积公式. 因为，，， 所以. 则. 17. 已知函数的一个极值点为． （1）求的值； （2）若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，即可验证求解， （2）设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为有三个不同的根，构造函数，利用导数求解即可. 【小问1详解】 ，由于是极值点，故，故， 当时，， 当或时，，当时，， 故是的一个极值点，故 【小问2详解】 设切点为，则切点处的切线方程为， 将代入可得， 故， 要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点， 记，则， 当或时，，当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增， 且， 因此. 18. 如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 根据圆锥性质可得平面，平面， 可得， 又为的中点，利用圆的性质可得， 因为平面， 可得平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆锥性质以及圆的性质，由面面垂直判定定理即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系求出两平面的法向量，再由空间向量夹角的计算公式可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 又为底面圆的直径，且为的中点， 可知，且为等边三角形， 因此可得两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可知； 所以 因此， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得; 即； 设平面的一个法向量为， 则，解得，令，可得; 即； 易知， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 当时，， 要证明，即证； 令，则，令，解得， 当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故； 令，则，令，解得； 即可得当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故； 因此， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）构造函数由单调性得，再由根据单调性得，再由不等式性质即可得出结论； （2）利用不等式恒成立的一个必要条件是，构造函数可知，再由充分性即可求得结论，再证明必要性成立即可得，得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知恒成立的一个必要条件是； 即，故； 令，则恒成立，即为上的增函数， 因此可得，可得； 下面证明充分性： 当时，， 令，则， 易知为单调递增函数，令，解得； 可知当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故当时，， 综上可知，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题利用不等式恒成立的一个必要条件是，可直接得到，再证明必要性成立即可得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若，则使成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角，其终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴是 C. 图象的一个对称中心是 D. 在上的值域为 10. 若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若点为的中点，则 C. 为定值 D. 的最小值为 11. 在三棱台中，平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱台的体积为 D. 直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则_______． 13. 已知角的终边不重合，且，则_______． 14. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，三个内角所对的边分别为为边上一点，满足． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 16. 如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． （1）求的值； （2）若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 17. 已知函数的一个极值点为． （1）求的值； （2）若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 18. 如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值． 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $