精品解析： 河南省信阳市新县2024-2025学年九年级上学期期中质量监测数学试卷

2024—2025学年度上期期中质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题 1. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（ ） A. 圆的直径互相平分 B. 垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 C. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 D. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 4. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 5. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 6. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A. 6 B. 8 C. 12 D. 13 8. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 方程的解是________． 12. 请填写一个常数，使得关于x的方程__________有两个不相等的实数根． 13. 如果点和点关于原点对称，则点的坐标为____． 14. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 15. 如图，中，，将绕点C逆时针旋转α（）得，若交于点F，当_______时，为等腰三角形． 三、解答题 16. 用适当方法解下列方程： （1） （2）； 17. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 18. 如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求． 19. 已知二次函数． （1）列表并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当时，的取值范围； （3）若将此图象沿轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式． 20. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结． （1）说明为等边三角形； （2）求的周长． 21. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价x元，每星期的利润为y元． （1）用含x的代数式表示下列各量： ①每件商品的利润为_______元； ②每星期卖出商品的件数为_______件． （2）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 22. 如图，一小球M（看成一个点）从斜坡上的O点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）小球落点为A，求A点的坐标； （3）在斜坡上的B点有一棵树（看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由， 23. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期期中质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题 1. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，根据一元二次方程的解的定义即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当时，；当时，； ∴方程的根是，， 故选：C． 3. 在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（ ） A. 圆的直径互相平分 B. 垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 C. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 D. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，显然说明了圆的轴对称性． 【详解】解：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴． 故选：D 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握圆的对称轴为直径所在的直线或过圆心的直线． 4. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， 故， 故． 故选：D． 5. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点性质，是解决问题的关键． 根据二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，求出，方程为，解得（方法不唯一）． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A. 6 B. 8 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程及勾股定理的应用，设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺， 由勾股定理得：， 即， 解得或（舍）， 故选B． 8. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：A 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 11. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【详解】 ∴或 ∴该方程的解为：， 故答案为：， 【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 12. 请填写一个常数，使得关于x的方程__________有两个不相等的实数根． 【答案】0（小于均可） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此利用判别式求出常数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设填入的数为c， 由题意得，， ∴， ∴符合题意的c的值可以为0， 故答案为：0（小于均可） 13. 如果点和点关于原点对称，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，点关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标均互为相反数，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为， 故答案为：． 14. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于 的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围． 【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集， 实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于的值时x的取值范围， 由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，中，，将绕点C逆时针旋转α（）得，若交于点F，当_______时，为等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解．本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角，得到 ，， ， ， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 16. 用适当方法解下列方程： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一无二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． （1）先移项，再配方，利用开方法来求解； （2）先移项，再提取公因式，化为两个因式的积等于0的形式，进而得到或，再解一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 解：移项得， 配方得， ， 开平方得， ． 【小问2详解】 解：， 移项得 提取公因式得， 或， 17. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】（1）方程是“黄金方程”， 理由如下： ，，， ， 一元二次方程 是“黄金方程”； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 是关于的“黄金方程”， ，，， ， ， ， 原方程可化为， 是此方程的一个根， ，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． 18. 如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）2 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 19. 已知二次函数． （1）列表并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当时，的取值范围； （3）若将此图象沿轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式． 【答案】（1） 列表得： 0 1 2 3 4 5 0 3 4 3 0 描点，连线，函数图像如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列表，描点，连线，画出图象即可； （2）利用数形结合思想，解答即可； （3）利用左加下减的平移原则，解答即可． 本题考查了抛物线的图象画法，求函数值的取值范围，平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象，可知当时，y的取值范围为． 【小问3详解】 解：将变形为， 此图象沿轴向左平移3个单位，向下移动2个单位， 则即． 20. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结． （1）说明为等边三角形； （2）求的周长． 【答案】（1） 解：由旋转的性质可得，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形进行说明即可； （2）由角度之间的数量关系得，，则，，由勾股定理得，，证明为等边三角形，则，然后根据周长为，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∵由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价x元，每星期的利润为y元． （1）用含x的代数式表示下列各量： ①每件商品的利润为_______元； ②每星期卖出商品的件数为_______件． （2）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 【答案】（1）①；② （2）当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，二次函数的实际应用： （1）根据题干描述列代数式即可， （2）根据“利润每件利润销量”列出y关于x的二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：每件商品的利润为：（元）， 每星期卖出商品的件数为：（件）， 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：由题意知，， ， 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为6750， （元）， 即定价为55元件时，所获利润最大，最大利润为6750元． 22. 如图，一小球M（看成一个点）从斜坡上的O点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）小球落点为A，求A点的坐标； （3）在斜坡上的B点有一棵树（看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由， 【答案】（1） （2） （3） 解：小球M不能飞过这棵树，理由如下： 时，， 当时，， ∵， ∴小球M不能飞过这棵树． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）把分别代入和，即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：令， 解得：，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 23. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）是等腰直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $