2025年中考数学一轮复习专题07 分式方程及其应用

专题07 分式方程及其应用 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.分式方程的解为，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.解方程，以下去分母正确的是(    ) A. B. C. D. 3.小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程每一步只对上一步负责有以下判断，判断错误的是(    ) 小明的解法：解：去分母得：去括号得：移项得：合并同类项得：系数化为得：是原分式方程的解 小亮的解法：解：去分母得：去括号得：移项得：合并同类项得：系数化为得： A. 小明的步骤错误，漏乘 B. 小明的步骤、、都正确 C. 小明的步骤错误 D. 小亮的解答完全正确 4.关于的方程有解，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 且 5.分式方程的解是(    ) A. B. C. D. 6.已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 7.若关于的方程无解，则的值为(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 8.某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是(    ) A. B. C. D. 9.关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是(    ) A. B. C. D. 10.对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.方程的解为          ． 12.代数式与代数式的值相等，则          ． 13.为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，少用分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为米分，那么满足的分式方程为          ． 14.对于非零实数，，规定，若，则的值为          ． 15.若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是          ． 三、计算题：本大题共1小题，共24分。 16.解方程： 四、解答题：本题共7小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 下面是小明解方程的过程，认真阅读并回答问题． 解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：上述解题过程中，第一步的最简公分母是 ； 上述第二步到第三步变形的依据是 ； 任务二：上述解题过程是否完整，若不完整，请补充完整． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程有两个不相等的实数根． 若的两边，的长是方程的两个实数根，第三边的长为当是等腰三角形时，求的值． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程有，两个实数根． 若，求及的值； 是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 20.本小题分 逻辑推理请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倍． 解：设所求方程的根为，则所以． 把代入已知方程，得， 化简，得故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倍． 21.本小题分 今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多元，用元在甲商店租用服装的数量与用元在乙商店租用服装的数量相等． 求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ 若租用套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由． 22.本小题分 阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______； 已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 23.本小题分 阅读下列材料，完成探究与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修米，现在修米与原计划修米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修米，则可列出分式方程，． 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，． 【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． 请将他发现的规律补充完整：已知，，，均不为，若，则____，______； 【运用】 请用上述规律，解分式方程． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】把代入原方程，关于然后解的方程即可． 【详解】解：把代入原方程得：，解得． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘即可． 【详解】，故此选项不符合题意． ，故此选项不符合题意． ，故此选项不符合题意． ，故此选项符合题意． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可． 【详解】解：根据题意得： 小亮的解答没有检验过程，出错； 小明的步骤错误，漏乘， 小明的步骤、、都正确， 小明的步骤错误． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】根据分式的求解步骤，按步骤求解，再根据解的结果求值即可． 【详解】解： 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， 关于的方程有解， ，即，解得且， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是， 故选：． 方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以，得， 解得， 关于的分式方程的解是正数， ，且， 即且， 且， 故选：． 7.【答案】  【解析】两边同乘，得， ． 当，即时，原方程无解，符合题意． 当时，， 方程无解，， ，，． 综上所述，当或时，原方程无解． 8.【答案】  【解析】【分析】设总工程量为，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可． 【详解】解：设规定日期为天， 由题意可得，， 整理得，或或． 则选项均正确， 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】先通过分式方程求出的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到的有限个整数解． 【详解】由分式方程的解为整数可得： 解得： 又题意得：且 且， 由得： 由得： 解集为 解得： 综上可知的整数解有：，， 它们的和为： 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选： 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【解答】 解：， 方程的两边同乘，得：， 解得：， 经检验：把代入． 故原方程的解为：． 12.【答案】  【解析】【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到的值即可． 【详解】解：代数式与代数式的值相等， ， 去分母 ， 去括号号 ， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，可得比赛时小亮平均速度为米分，根据比赛时所用时间比训练前少用分钟列出方程． 【详解】解：比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，小亮训练前的平均速度为米分， 比赛时小亮平均速度为米分， 根据题意可得， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 等式两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】，得． 把代入，得，解得． 故实数的取值范围是． 16.【答案】   【解析】【分析】先将分式化成整式方程计算出，然后检验分母不为即可解答； 先将分式化成整式方程计算出，然后检验分母不为即可解答； 先将分式化成整式方程计算出，然后检验分母不为即可解答； 先将分式化成整式方程计算出，然后检验分母不为即可解答． 【详解】解：， ，解得， 经检验是原方程的解． 故原方程的解为：． 解：， ，解得：， 经检验是原方程的解． 则原方程的解是． 解： ，解得：， 当时分式方程的分母不为． 分式方程的解为：． 解： ，解得：． 检验：当时，． 分式方程的解为：． 17.【答案】【答案】；等式的基本性质：等式两边都加上或都减去同一个数或同一个式子，结果仍相等 不完整， 在第五步后补充如下内容： 检验：当  时，  ， 所以，分式方程的解为  ．   【解析】【分析】找出分式方程的最简公分母即可；利用等式的基本性质判断即可； 不完整，补充检验过程即可． 【详解】解：上述解题过程中，第一步的最简公分母是； 故答案为：． 等式的基本性质：等式两边都加上或都减去同一个数或同一个式子，结果仍相等； 故答案为：等式的基本性质：等式两边都加上或都减去同一个数或同一个式子，结果仍相等． 解：不完整， 在第五步后补充如下内容： 检验：当时，， 所以，分式方程的解为． 18.【答案】解：证明：， 方程有两个不相等的实数根． 由， 得， ，， 即，的长分别为，． ， ． 当时，， 此时，，满足三角形构成条件 当时，， 解得， 此时，，满足三角形构成条件． 综上所述，或．  【解析】略 19.【答案】解：根据题意得，即解得， 由根与系数关系知：，， ， ，， ，； 存在． ， ， 即， 整理得，解得，， 经检验，，是原方程的解 且， ．  【解析】先利用根的判别式的意义得到，再利用根与系数的关系得到，，然后利用可求出和的值； 利用得到，整理得，解得，，然后利用的范围确定的值． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式等． 20.【答案】解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为．  【解析】略 21.【答案】解：设乙商店租用服装每套元，则甲商店租用服装每套元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，并符合题意， ， 甲，乙两个商店租用的服装每套各元，元． 解：乙商店租用服装的费用较少． 理由如下： 该参赛队伍准备租用套服装时，甲商店的费用为：元，乙商店的费用为：元， ， 乙商店租用服装的费用较少．   【解析】【分析】解：设乙商店租用服装每套元，则甲商店租用服装每套元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案． 分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案． 22.【答案】解：； 设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得 ， 去分母，得 ， 若，有， 于是，方程有一个根为，不合题意， ， 故所求方程为   ．  【解析】解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得：， 故答案为：； 见答案． 本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法． 设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得； 设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得． 23.【答案】； 解：， 从而可得：， ， ， ， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 故原方程的解为，．   【解析】【分析】根据阅读材料和探究材料可直接得出答案； 直接利用中发现的规律解分式方程即可． 【详解】解：小恒同学发现的规律为：已知，，，均不为， 若，则，； 故答案为：； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$