2025年中考数学一轮复习专题06 一元二次方程及其应用

专题06 一元二次方程及其应用 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况为(    ) A. 无实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定 4.方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知、是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 9.学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树棵，第三年共植树棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.可以用如图所示的图形研究方程的解：在中，，，，以点为圆心作弧交于点，使，则该方程的一个正根是(    ) A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若是方程的根，则           ． 12.一元二次方程的根是          ． 13.若一元二次方程有两个相等的实数根，则           ． 14.将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中满足的一元二次方程：          不必化简． 15.已知实数、满足，则代数式的最小值是          ． 三、计算题：本大题共1小题，共24分。 16.解方程： 四、解答题：本题共7小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 ，两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“”或“”填空：_______，_______； 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ；；；． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19.本小题分 如图，在长为，宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？ 20.本小题分 某商店经销一批季节性家电，每台成本元，经市场预测，定价为元时，可销售台，定价每增加元，销售量将减少台． 如果每台家电定价增加元，则商店每天可销售的台数是多少？ 商店销售该家电获利元，同时让顾客更实惠，那么每台家电定价应为多少元？ 21.本小题分 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂，月份共生产再生纸吨，其中月份再生纸产量是月份的倍少吨． 求月份再生纸的产量； 若月份每吨再生纸的利润为元，月份再生纸产量比上月增加月份每吨再生纸的利润比上月增加，则月份再生纸项目月利润达到万元．求的值； 若月份每吨再生纸的利润为元，至月每吨再生纸利润的月平均增长率与月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，月份再生纸项目月利润比上月增加了求月份每吨再生纸的利润是多少元？ 22.本小题分 阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则， 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ； ． 类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值． 23.本小题分 阅读材料，解答问题： 材料 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： 方程的解为_______________________； 间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； 拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出的值即可． 【详解】解：关于的方程的一个根为， 所以， 解得． 故选：． 2.【答案】  【解析】，， ，． ，，解得故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：， 方程无实数根． 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的解法． ， ， 或， 解得，故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】直接把代入方程，可求出的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意， 是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ， 解得：； ， ， ，， 方程的另一个根是； 故选： 6.【答案】  【解析】由题意，得，解得故选B． 7.【答案】  【解析】、是一元二次方程的两个根， 是的一个根， ，即． 8.【答案】  【解析】【分析】利用根与系数的关系以及求解即可． 【详解】解：由题意可知：，且 ， ，解得：或， ，即， ， 故选： 9.【答案】  【解析】【分析】第一年共植树棵，第二年植树棵，第三年植树棵，再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为棵，第二年植树为棵，第三年棵，根据题意列出方程：． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】由勾股定理可得：整理可得从而可得答案． 【详解】解：，，，，   整理得： 而，  方程的一个正根为线段的长， 故选B 11.【答案】  【解析】解：把代入方程中， 得， 解得． 故答案为：． 把代入方程中，计算即可得出答案． 本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键． 12.【答案】，  【解析】【分析】由两式相乘等于，则这两个式子均有可能为即可求解． 【详解】解：由题意可知：或， 或， 故答案为：或． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程有两个相等的实数根，可得，解方程即可． 【解答】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于的方程． 【详解】由包装盒容积为可得，， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】根据得出，代入代数式中，通过计算即可得到答案． 【详解】 将代入中 得： 当时，取得最小值为 的最小值为 的最小值 故答案为：． 16.【答案】 ， ，   【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 直接开方可得或，然后计算求解即可． 方程整理后，利用公式法求出解即可． 移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ，     或， 或， 故方程的解为． 解： 或 解得，． 解：， 方程整理得：， ， ， ，． 解：， ， ， ， 或， ． 17.【答案】，； ，； ，； ，； ，．  【解析】【分析】由题意可知：，，据此求解即可； 找出适当的方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意可知：，， ，； 故答案为：，； ； 移项得， 配方得，即， 则， ，； ； 因式分解得， 则或， 解得，； ； 配方得，即， 则， ，； ． 因式分解得， 则或， 解得，． 18.【答案】  ，   ，   ，  该方程总有两个不相等的实数根；   方程的两个实数根  ，  ， 由根与系数关系可知，  ，  ，   ，   ，   ， 解得：  ，  ，   ，即  ．   【解析】【分析】根据根的判别式，即可判断； 利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【详解】， ， ， 该方程总有两个不相等的实数根； 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ， ， ， 解得：，， ，即． 19.【答案】解：设路宽应为米 根据等量关系列方程得：， 解得：或舍去， 答：道路的宽应为米．  【解析】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设路宽为米，根据题意列出等量关系解方程即可． 20.【答案】解：台． 答：如果每台家电定价增加元，则商店每天可销售台． 设每台定价增加元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 要让顾客更实惠， ， 即每台家电定价应为元． 答：商店销售该家电获利元，那么每台家电定价应为元．   【解析】【分析】根据定价每增加元，销售量将减少台，即可算出结论； 设每台定价增加元，根据利润单台利润销售数量即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 21.【答案】解：设月份再生纸产量为吨，则月份的再生纸产量为吨， 由题意得：， 解得：， ， 答：月份再生纸的产量为吨； 解：由题意得：， 解得：或不合题意，舍去 ， 的值； 解：设至月每吨再生纸利润的月平均增长率为，月份再生纸的产量为吨， 答：月份每吨再生纸的利润是元．   【解析】【分析】设月份再生纸产量为吨，则月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂，月份共生产再生纸吨，列出方程求解即可； 根据总利润每一吨再生纸的利润数量列出方程求解即可； 设至月每吨再生纸利润的月平均增长率为，月份再生纸的产量为吨，根据总利润每一吨再生纸的利润数量列出方程求解即可． 22.【答案】解：，； 一元二次方程的两根分别为、， ，， ； 实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ．  【解析】一元二次方程的两个根为，， ，， 故答案为：，； 见答案； 见答案； 根据根与系数的关系进行求解即可； 根据根与系数的关系可得：，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 可把与看作是方程的两个实数根，则有，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可． 本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把，看作是相应的方程的两个实数根． 23.【答案】解：，，， ， 或 当时，令，， 则，， ，是方程的两个不相等的实数根， 此时； 当时，， 此时； 综上：或 令，，则，， ， 即， ，是方程的两个不相等的实数根， 故．   【解析】【分析】利用换元法降次解决问题； 模仿例题解决问题即可； 令，，则，，再模仿例题解决问题． 【详解】解：令，则有， ， ，， 或， ，，，， 故答案为：，，， ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$