第一章 全等三角形 考点梳理2024-2025学年青岛版数学八年级上册

第1章 全等三角形 考点梳理 考点一：全等三角形的性质 1．如图，已知，则的长是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，，的周长为，，，，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，已知，，，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图为正方形网格，则（　　） A． B． C． D． 5．已知图中的两个三角形全等，则 °． 6．如图，，，，求的度数和的长． 7．如图，已知在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 考点二：全等三角形的判定 1．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 2．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是（　　） A．∠EAC=∠FAB B．∠EAF=∠EDF C．△ACN≌△ABM D．AM=AN 3．中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当与全等时，v的值为（　　） A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5 4．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 5．如图，在和中，．    (1)当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的绕点A顺时针旋转，如图②，线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 考点三：全等三角形的应用 1．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ）    A． B． C． D． 2．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是 ． 3．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了步到达一棵大树C处，接着又向前走了步到达D处，然后他左转直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离． (1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图； (2)如果小刚一步大约厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由． 4．如图，在中，高线，，相交于点，，，． (1)证明：；与全等 (2)求的长； (3)是射线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 考点四：三角形的稳定性 1．如图，用尺规作出，所作痕迹（    ）    A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 2．根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（  ） A．AB=5，BC=6，∠A=70° B．AB=5，BC=6，AC=13 C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 3．下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 （填写序号）． 4．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 全等三角形 考点梳理 答案 考点一 1．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由即可得出答案，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 2．A 【分析】由得，再根据周长求出，即可由求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质与三角形的周长求出是解题的关键． 3．A 【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB＝40°，根据全等三角形的性质即可得到正确的选项． 【详解】解：A．由，，得，故选项正确，符合题意； B．∠A＝60°，∠ABC＝80°， 由三角形内角和得到∠ACB＝40°，由△ABC≌△DCB，得到∠DBC＝∠ACB＝40°，故选项错误，不符合题意； C．由，得，∠A＝60°，∠ABC＝80°， 由三角形内角和得到∠ACB＝40°，所以，故选项错误，不符合题意； D．由以上可知∠DBC＝40°，又由∠ABC＝80°，所以∠ABE＝∠ABC—∠DBC＝40°，由三角形内角和为180°，∠A＝60°，得到∠AEB=80°，所以BE≠AB，即BE≠10，故选项错误，不符合题意． 故答案选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 4．D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图所示： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5．50 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解 ∶两个三角形全等， 的度数是， 故答案为：50． 6．， 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，线段的和差关系，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ． 7．．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线性质，根据，得出结合平行线的性质得，则因为，得，即可作答． 【详解】解：．证明如下： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 考点二 1．D 【分析】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可． 【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的， 则所有符合条件的三角形个数为7． 故选：D． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键． 2．B 【分析】由△ABE≌△AFC，根据全等三角形的性质可得∠EAB=∠CAF，AC=AB，∠C=∠B，继而可得∠EAC=∠FAB，可判断A正确；利用ASA可证明△ACN≌△ABM，可判断C正确；根据全等三角形的性质可得AM=AN，可判断D正确，无法得到∠EAF=∠EDF，由此即可得答案． 【详解】解：∵△ABE≌△AFC， ∴∠EAB=∠FAC，AC=AB，∠C=∠B， ∴， ∴∠EAC=∠FAB，故选项A正确； 在△ACN与△ABM中， ∴△ACN≌△ABM（ASA），故选项C正确； ∴AM=AN，故选项D正确； 无法得到∠EAF=∠EDF，故选项B错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．C 【分析】分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，求得（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，继而可解． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米，， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为3厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为：2.25或3； 故选C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质与等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．见解析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 5．(1)，，证明见解析 (2)，，证明见解析 【分析】（1）延长与交于点F，证出，可得，且，即可解答； （2）延长交于点F，交于点H，可以证明，可得，利用三角形的内角和为，即可得到最终结果； 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中准确作出辅助线求证三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图①，延长与交于点F    在和中， ，，， ， ，， ， ， ， ， ； （2）， 理由如下： ， ， 即 ， 在和中， ，，， ， ，． 如图②，延长交于点F，交于点H．    在和中， ，， ， ． 考点三 1．C 【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 2．1 【分析】只要证明，可得，即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴圆柱形容器的壁厚是， 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题． 3．(1)图略 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，正确画出示意图，得到是解答此题的关键． （1）根据题意即可完成作图； （2）结合题意分别求出、、的长，易得：，，，根据全等三角形的判定定理可得，进而得到，据此，可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意画出图形，如图所示． （2）解：A、B两根电线杆之间的距离大约为．理由如下． ∵，，，． ∵点E、C、B在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故A、B两根电线杆之间的距离大约为． 4．(1)见解析 (2)的长为6 (3)存在，当s或s时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明； （2）根据边之间的关系得，即可得求出的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （3）由题意得，，，根据等边对等叫得，分情况讨论：时，OP=CQ，得，进行计算即可得，时，OP=CQ，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）存在，理由如下： 解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 如图所示， 当时，， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 考点四 1．D 【分析】根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可． 【详解】解：作的作法，由图可知， ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点，； ②以点为圆心，以为半径画弧，交射线于点； ③以点为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，作射线即可得出，则． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答本题的关键． 2．C 【分析】利用三角形的三边关系以及三角形的性质对每个选项一一判断即可. 【详解】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一； B.5+6＜13，不能构成三角形； C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC； D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC. 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形的画法，利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键. 3．①②③ 【分析】利用三角形具有稳定性逐一分析进行解答． 【详解】解：①用“人”字梁建筑屋顶，存在三角形，是利用三角形具有稳定性； ②用窗钩来固定窗扇，存在三角形，是利用三角形具有稳定性； ③在栅栏门上斜钉着一根木条，存在三角形，是利用三角形具有稳定性； ④商店的推拉防盗铁门，不存在三角形，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形具有稳定性； 综上所述：用到三角形稳定性的是①②③． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 4．根 【分析】本题考查三角形的稳定性以及多边形对角线分三角形的个数问题：由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律，进行作答即可． 【详解】解：过n边形的一个顶点可以作条对角线，把多边形分成个三角形， 所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要根木条固定． 学科网（北京）股份有限公司 $$