专题19 一次函数的图象和性质（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题19 一次函数的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 画一次函数的图象】 1 【考点二 一次函数的图象和性质】 6 【考点三 根据一次函数经过的象限求参数问题】 8 【考点四 根据一次函数的增减性比较大小】 10 【考点五 根据一次函数的增减性求参数问题】 12 【考点六 一次函数的图象与坐标轴的交点问题】 14 【考点七 两个一次函数图象共存问题】 16 【考点八 一次函数中的规律探究问题】 19 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 画一次函数的图象】 例题：（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． (2)根据函数图象回答： ①不等式的解集是__________. ②当x__________时，． ③当时，相应x的取值范围是__________. 【答案】(1)见详解 (2)①②③． 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数解析式，可以求得该函数与轴和轴的交点坐标，然后即可画出该函数的图象； （2）根据函数图象，熟练运用数形结合思想 ①可以写出不等式的解集， ②当为何值时，， ③当取何值时，． 【详解】（1）解： ， 当时，，当时，， 即该函数图象过点，， 函数图象如图所示， ； （2）解：①由图象可得，不等式的解集是． 故答案为：； ②由图象可得，当时，； 故答案为：； ③∵，随的增大而增大 ∴，解得； ∴，解得 当时，相应的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知一次函数，它的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)画出此函数图象； (3)画出该函数图象向下平移3个单位长度后得到的图象； (4)写出一次函数图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的表达式． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 (4)． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象与几何变换． （1）将代入，求出的值，得到点的坐标，将代入，求出的值，得到点的坐标； （2）根据一次函数的性质，过，两点画直线即可； （3）结合（2）中的图沿轴向下平移3个单位画出直线即可； （4）根据直线平移的规律，将向下平移3个单位后得到． 【详解】（1）解：将代入， 得，解得， 则点的坐标为． 将代入， 得， 则点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：如图： （3）解：将向下平移3个单位后得到的图象如图． （4）解：将向下平移3个单位后得到． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 … … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)，不在函数的图像上，在函数的图象上； (4)； 【分析】 本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上： （1）将值代入求解即可得到答案； （2）根据表描点，连线即可得到答案； （3）将点代入求解，比较判断即可得到答案； （4）将点代入求解即可得到答案； 【详解】（1） 解：当时，， 时，， ∴表为： … 0 1 … … 1 … （2）解：由（1）得，函数图像如图所示，    （3） 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴，不在函数的图像上，在函数的图象上； （4）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 【考点二 一次函数的图象和性质】 例题：（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，，当时，，图象必过点； 综上：只有选项B成立； 故选B． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 C．图象不经过第二象限 D．若两点在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何变换，一次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键． 把代入求出y的值，即可判断A；根据平移的性质即可判断B；由，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，可判断C；由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，即可判断D． 【详解】解：A、当时，， ∴图象不经过点， 故A错误，不符合题意； B、图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为， 故B错误，不符合题意； C、解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限， 故C错误，不符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点都在该函数图象上， ∴， 故D正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线与直线平行，那么．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D． 【详解】解：A、一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确； B、当时，，一次函数与的图象是两条平行线，故本选项说法正确； C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限， ，即，故本选项说法错误； D、一次函数中， ∵， ∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确． 故选：C． 【考点三 根据一次函数经过的象限求参数问题】 例题：（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查根据一次函数所过象限，判断参数的范围．根据时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①，，的图象在一、二、三象限； ②，，的图象在一、三、四象限； ③，，的图象在一、二、四象限； ④，，的图象在二、三、四象限； ⑤，，的图象在一、三象限； ⑥，，的图象在二、四象限． 根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，说明常数项小于0，即，即可确定k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解得， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第二象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特征是解题关键．根据一次函数的图象特征可得，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象不经过第一象限，且点，在该图象上， 则有 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质．由一次函数的图象不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：一次函数的图象不经过第一象限， 即一次函数的图象经过第二、三、四象限或一次函数的图象经过第二、四象限， ，， 随的增大而减小， 又点，在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 【考点四 根据一次函数的增减性比较大小】 例题：（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点，都在直线上，则与大小关系是 ． 【答案】/ 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论． 【详解】解：在直线中，， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，据此判断出增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵是直线（为常数）上的三个点，且， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知是正比例函数，若点，都在该函数图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，依据题意，先由是正比例函数，求出，从而，再利用正比例函数的性质，可得出随的增大而减小，最后结合，即可得出． 【详解】解：∵是正比例函数， ，且． ． ． 正比例函数的函数值随的增大而减小， 又点，都在正比例函数的图象上，且， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）已知点都在直线（a为实数）上，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小．先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：直线，， 随的增大而增大， 又， ． 故答案为：． 【考点五 根据一次函数的增减性求参数问题】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一，） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据，得到随着的增大而减小，进而得到，得到，进而作答即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数的图象上，且， ∴， ∴， ∴的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可， 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若函数是关于的一次函数，且随的增大而减小，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意一次函数的性质和定义可得：，，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一次函数，随的增大而减小， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数，随x的增大而减小，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质，利用一次函数的定义、函数的增减性可以判定其比例系数的符号，从而确定m的值． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性求最值，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，当时，取得最大值；当时，取得最大值；由此即可求解． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 当时，y随x的增大而减小， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【考点六 一次函数的图象与坐标轴的交点问题】 例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数与y轴的交点为是解题关键．令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 函数的图象与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023下·河北保定·八年级统考期末）直线沿轴向上平移个单位长度后，图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与平移，利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与轴的交点，根据平移得出平移后解析式是解题的关键． 【详解】解：直线沿轴向上平移个单位长度后得到函数的解析式为 ， 当时， 则， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）一次函数与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，令，代入一次函数解析式，求出自变量的值，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数来说， 当时，， 解得， ∴一次函数与轴的交点坐标为， 故答案为： 3．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）已知一次函数与坐标轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：次函数与坐标轴的交点分别为，， ， 解得， 故答案为：． 【考点七 两个一次函数图象共存问题】 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出该函数的图象与坐标轴的交点．根据，得出两个函数k值相等，即两直线平行，根据，得出两个函数与y轴的交点一正一负，进而可得出答案． 【详解】∵， ∴一次函数和中，k值相等，即两直线平行， ∵， ∴一次函数和中，与y轴的交点一正一负， A选项符合题意， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024九年级下·广东·专题练习）关于x的正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象及一次函数的图象，根据正比例函数与一次函数的图象性质作答，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象及一次函数的图象 的性质． 【详解】解：令时，， 当时，正比例函数图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，两直线的交点在第一象限； 当时，正比例函数图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、二、三象限，两直线的交点在第二象限； 当时，正比例函数图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，两直线的交点在第二象限； 故选：． 2．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）同一平面直角坐标系中，一次函数与（为常数）的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】若，则一次函数与都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数与都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数经过第一、二、三象限，经过第二、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数经过第一、三、四象限，经过第一、二、四象限，C选项符合条件； 故选：C． 3．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分和两种情况讨论：当时，分析两函数图像经过的象限；时，再分析两函数图像经过的象限，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况： ①当时，正比例函数的图像过原点，且过第一、三象限， 而一次函数的图像经过第一、三、四象限，无选项符合； ②当时，正比例函数的图像过原点、且过第二、四象限， 而一次函数的图像经过第一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 【考点八 一次函数中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点，， 函数表达式为． ，，，，……都是等腰直角三角形，且， ∴的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …… 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点在直线上，点在轴上，是等腰直角三角形．，如果点，那么的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，，分别求出点的坐标为，点的坐标为，由点在直线上得出该直线的表达式为：，由点在直线上，得出，再由点在直线上，得出，代入求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ， 设，， 点， ， 为等腰直角三角形，且， ， 同理可得：，，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 该直线的表达式为：， 点在直线上， ， 解得：， 点在直线上， ， 整理得：， 将代入得：， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上的点，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象，等腰直角三角形的性质，理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键． 2．（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形正方形，使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点的坐标，同理可得出、…的坐标，进而得到、…的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 同理，可得出：，，，…， ∴的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，…， ∴的横坐标为（n为正整数）， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据k、b的取值即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过第一、二、四象限， ∴不经过第三象限， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知一次函数的图象经过点、，则、的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可求解． 【详解】解：在一次函数中，， 随的增大而减小， 又点、在一次函数的图象上，且， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项D符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·全国·阶段练习）关于一次函数，下列说法正确的是(   ) A．图象与轴交于点 B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．图象与坐标轴围成的三角形面积为 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：一次函数，， 当时，，当时， A． 图象与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； B． 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故该选项不正确，不符合题意； C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不正确，不符合题意； D． 图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，符合题意； 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知点在第四象限，则直线的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知点所在的象限求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．根据已知条件“点在第四象限”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限．解题的关键是掌握：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴交于正半轴． 故选：D． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） A．该一次函数的图象可能是由函数的图象平移得到 B．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积可能为2 C．该一次函数的图象与轴交于正半轴 D．该一次函数的图象不经过第一象限 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，先求出一次函数的解析式，然后再运用一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为， ∴，解得：， ∴函数解析式为：， ∵， ∴， 即，则一次函数图象不经过第一象限，故D选项正确； ∵ ∴该一次函数的图象不可能是由函数的图象平移得到，故A选项错误； 如图所示，设点分别为一次函数与轴的交点， ∵一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为， ∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积大于，故B错误 ∵ ∴该一次函数的图象与轴交于负半轴，故C选项错误 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 【答案】1（均可） 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：1． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）若点，都在一次函数图象上，则 (填“”“”或“”) 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据所给一次函数解析式，得出随的增大而增大，据此可解决问题． 【详解】解：中，， 随的增大而增大． 又， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，当时，，得，求出，当时，，得，求出，再根据三角形的面积公式列式求解即可．解题的关键是掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的确定方法． 【详解】解：∵一次函数与轴，轴分别交于点，点， 当时，得：；当时，得：， ∴， ∴，， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先求出A，B的坐标，根据勾股定理求出的值，从而得到的值，再计算出的长度，即可得到答案． 【详解】解：当时，，当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则 ． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ． 【答案】 或． 【知识点】加减消元法、求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的性质，二元一次方程组的解法； （1）把点代入，再解方程组即可； （2）分两种情况讨论：当时，随的增大而增大；当时，函数有最大值为2，当时，随的增大而减小；当时，函数有最大值为2，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵点都在该一次函数的图象上， ∴， 解得：； 故答案为： （2）当时，随的增大而增大； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 当时，随的增大而减小； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 故答案为：或． 12．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 【答案】(1) (2)函数值的最小值为 【知识点】求一次函数解析式、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质， （1）把点，的坐标分别代入，得到关于的方程组，解方程组求得的值即可得出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及即可得出y的最小值； 熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）∵一次函数，它的图象经过，两点， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y的值为最小，最小值． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点是直线上一点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】（）分别把、代入函数解析式计算即可求解； （）求出点坐标，再利用两点间距离公式计算即可求解； 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点． (1)求点A、点的坐标及的面积； (2)线段上存在一动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向A运动，设点运动时间为秒，连接，当为何值时平分； 【答案】(1) (2)当时，平分 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，角平分线的定义，勾股定理等, （1）根据一次函数的解析式可直接求出点A和点B的坐标，根据三角形的面积公式进行计算即可； （2）连接，作，根据角平分线定理可以得到，利用勾股定理求出，利用可以求出，即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，则， ，； 即，， ； （2）解： 如图所示，作， ，， ，， ； 平分，，， ， ， ， ， ， 即， ； 当时，平分． 17．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，t的值为8或或或12． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形综合 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 18．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 (1)如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到轴的距离是________，点到轴的距离是________． 【类比探究】 (2)如图2，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求点的坐标． 【拓展探究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A，分别在轴、轴上，且，．若点的坐标为，点A的坐标为，点是直线上的动点，当的面积等于6时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)2，1 (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． （1）如图：作轴于点E，轴于点F，由可得，，，易证可得、，因此，再进一步即可解答； （2）一次函数，分别令、即可得点A，点B的坐标；如图：过点C作轴于M，由，根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：过点B作轴于N，由，根据全等三角形的性质可求出点B的坐标，设，则，然后再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，如图：作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、， ∴． ∵， ∴点A到x轴的距离是2，点B到x轴的距离是1． 故答案为：2，1． （2）解：令，则， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴，， 如图2：过点C作轴于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， ∴． （3）解：如图3：过点B作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵P在x轴上，设， ∴， ∵的面积等于6， ∴，解得：或， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 一次函数的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 画一次函数的图象】 1 【考点二 一次函数的图象和性质】 6 【考点三 根据一次函数经过的象限求参数问题】 8 【考点四 根据一次函数的增减性比较大小】 10 【考点五 根据一次函数的增减性求参数问题】 12 【考点六 一次函数的图象与坐标轴的交点问题】 14 【考点七 两个一次函数图象共存问题】 16 【考点八 一次函数中的规律探究问题】 19 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 画一次函数的图象】 例题：（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． (2)根据函数图象回答： ①不等式的解集是__________. ②当x__________时，． ③当时，相应x的取值范围是__________. 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知一次函数，它的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)画出此函数图象； (3)画出该函数图象向下平移3个单位长度后得到的图象； (4)写出一次函数图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的表达式． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 … … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出的值． 【考点二 一次函数的图象和性质】 例题：（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 C．图象不经过第二象限 D．若两点在该函数图象上，则 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 【考点三 根据一次函数经过的象限求参数问题】 例题：（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则b的取值范围为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 ． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第二象限，那么m的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象不经过第一象限，且点，在该图象上， 则有 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【考点四 根据一次函数的增减性比较大小】 例题：（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点，都在直线上，则与大小关系是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是 （用“”表示）． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知是正比例函数，若点，都在该函数图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）已知点都在直线（a为实数）上，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 【考点五 根据一次函数的增减性求参数问题】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若函数是关于的一次函数，且随的增大而减小，则 ． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数，随x的增大而减小，则m的值为 ． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【考点六 一次函数的图象与坐标轴的交点问题】 例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 【变式训练】 1．（2023下·河北保定·八年级统考期末）直线沿轴向上平移个单位长度后，图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）一次函数与轴的交点坐标为 ． 3．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）已知一次函数与坐标轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【考点七 两个一次函数图象共存问题】 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A．B．C．D． 【详解】∵， 【变式训练】 1．（2024九年级下·广东·专题练习）关于x的正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（　　） A．B．C．D． 2．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）同一平面直角坐标系中，一次函数与（为常数）的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   3．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【考点八 一次函数中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点在直线上，点在轴上，是等腰直角三角形．，如果点，那么的纵坐标是 ． 2．（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形正方形，使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知一次函数的图象经过点、，则、的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·全国·阶段练习）关于一次函数，下列说法正确的是(   ) A．图象与轴交于点 B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．图象与坐标轴围成的三角形面积为 D．图象经过第一、二、四象限 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知点在第四象限，则直线的图象大致是（   ） A．B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） A．该一次函数的图象可能是由函数的图象平移得到 B．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积可能为2 C．该一次函数的图象与轴交于正半轴 D．该一次函数的图象不经过第一象限 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）若点，都在一次函数图象上，则 (填“”“”或“”) 9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则 ． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ． 12．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点是直线上一点，求的长． 15．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点． (1)求点A、点的坐标及的面积； (2)线段上存在一动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向A运动，设点运动时间为秒，连接，当为何值时平分； 17．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 18．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 (1)如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到轴的距离是________，点到轴的距离是________． 【类比探究】 (2)如图2，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求点的坐标． 【拓展探究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A，分别在轴、轴上，且，．若点的坐标为，点A的坐标为，点是直线上的动点，当的面积等于6时，直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$