2024-2025学年苏科版八年级数学上册第15周《一次函数图像的三大变换》

八上数学第15周《一次函数图像的三大变换》 【知识梳理】 1.一次函数y=kx+b（k≠0）, k符号由 确定，它的意义是 ； b符号由 确定；它的意义是 2.思考对y＝3x+4认识 【课前热身】 1．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C．D． 2．若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（　　） A．B． C． D． 3．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　） A． B． C． D． 4．若正比例函数y＝kx的图象如图所示，则一次函数y＝kx+k的图象大致是（　　） A．B．C．C． 5．已知直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）与直线y＝2x平行，且与直线y＝3x+4交于y轴的同一点，则此一次函数的表达式为 　 　． 6．甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经过点（0，﹣2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的一次函数，其表达式可以是 　 　． 7．设0＜k＜4，关于x的一次函数y＝kx+4（1﹣x），当1≤x≤2时的最大值是 　 　． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣3x+4上两点A（x1，y1）和B（x1+1，y2），则下列结论： ①直线AB不经过第三象限；②y1＞y2；③直线AB向右平移一个单位的解析式为y＝﹣3x+1． 其中正确的是 　 　．（填写正确结论的序号） 9．已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为 　 　． 10．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线OA的解析式是 　 　． 第10题 第11题 第12题 12．如图A（3，0），B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，则边BC所在直线的函数表达式为 　 　． 11．如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且经过点A，则一次函数y＝kx+b的解析式为　 　． 13．已知函数y＝（1﹣2m）x+m+1，求当m为何值时． （1）y随x的增大而增大？ （2）图象经过第一、二、四象限？ （3）图象经过第一、三象限？ （4）图象与y轴的交点在x轴的上方？ 【典型例题】直线的三大变换 平移变换 1.将直线y＝3x+4沿x轴向右平移2个单位长度，所得直线解析式是　 　． 2.将直线y＝3x+4沿y轴向 平移 个单位长度，所得直线解析式y＝3x－2． 翻折变换 3.将直线y＝3x+4沿x轴翻折，所得直线解析式是　 　． 4.将直线y＝3x+4沿y轴翻折，所得直线解析式是　 　． 5.若直线y＝3x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点D是x轴上一个动点，沿直线BD翻折，使点O落在直线AB上点C处，点D坐标是　 及直线CD解析式。 6.若直线y＝3x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点D是x轴上一个动点，沿直线BD翻折，使点A落在y轴上，点D坐标是　 旋转变换 7.若直线y＝3x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转90°，求所得直线的解析式。 8.若直线y＝3x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点O顺时针旋转90°，求所得直线的解析式。 9.若直线y＝3x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，求所得直线的解析式。 2．用函数方法研究动点到定点的距离问题． 在研究一个动点P（x，0）到定点A（1，0）的距离S时，小明发现： S与x的函数关系为，并画出图象如图： 借助小明的研究经验，解决下列问题： （1）写出动点P（x，0）到定点B（﹣2，0）的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？ （2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（5，0）的距离和为y．写出y与x的函数表达式，结合函数图象，说出随着x增大，y怎样变化？ 3．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）y＝kx； （2）y＝﹣2kx﹣2b； （3）y＝kx﹣b． 4．如图，直线y＝3x+4分别交x、y轴于A、B两点，M是AB的中点，将△AOM沿OM翻折，点A落在点C处． （1）求点A、B的坐标： （2）求直线BC的解析式； （3）求四边形AOCB的面积． 【巩固练习】 1．若式子+（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（　　） A．B． C．D． 2．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　） A．B．C． D． 4．已知一次函数y＝mx﹣3m2+12，请按要求解答问题： （1）m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？ （2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数解析式； （3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求m的值． 5．如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）． （1）求直线l的函数表达式； （2）点P（﹣4，6）是否在直线l上？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 1．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间 x 与火车在隧 道内的长度 y 之间的关系用图象描述大致是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系 具体可描述为：当火车开始进入时 y 逐渐变大，火车完全进入后一段时间内 y 不变，当 火车开始出来时 y 逐渐变小，故反映到图象上应选 B． 故选：B． 2．若 A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可 能是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵点 B（﹣2，m），C（2，m）， ∴B 与 C 关于 y 轴对称， 即这个函数图象关于 y 轴对称，故选项 A，C 不符合题意； ∵A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m）， ∴当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，故选项 B 符合题意，选项 D 不符合题意． 故选：B． 3．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变 化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A． B． C ． D． 【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化， 跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为 B． 故选：B． 4．若正比例函数 y＝kx 的图象如图所示，则一次函数 y＝kx+k 的图象大致是（ ） 1 A． B． C． D． 【解答】解：∵正比例函数 y＝kx 的图象呈下降趋势， ∴k＜0， ∴y＝kx+k 的图象经过二、三、四象限． 故选：B． 5．已知直线 y＝kx+b（k，b 为常数，k≠0）与直线 y＝2x 平行，且与直线 y＝3x+4 交于 y 轴的同一点，则此一次函数的表达式为 y＝2x+4． ． 【解答】解：设该一次函数的表示为：y＝kx+b， ∵一次函数 y＝kx+b 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象平行， ∴k＝2， 又在直线 y＝3x+4 中，当 x＝0，y＝4， ∴图象与 y 轴交于点（0，4）， 将点（0，4）代入一次函数 y＝2x+b 中，得 b＝4， ∴一次函数解析式为：y＝2x+4． 故答案为：y＝2x+4． 6．甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值 y 随自变量 x 增大而增大”；乙： “函数图象经过点（0，﹣2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的一次函数，其表达 式可以是 y＝x﹣2（答案不唯一） ． 【解答】解：根据题意，该函数为一次函数， 设一次函数的表达式为 y＝kx+b（k≠0），则 k＞0，b＝﹣2． 取 k＝1，此时一次函数的表达式为 y＝x﹣2． 故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）． 7．设 0＜k＜4，关于 x 的一次函数 y＝kx+4（1﹣x），当 1≤x≤2 时的最大值是 k ． 【解答】解：∵y＝kx+4（1﹣x）＝（k﹣4）x+4， 又 0＜k＜4，则 k﹣4＜0， ∴当 x＝1 时，取得最大值，最大值为 k， 故答案为：k． 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y＝﹣3x+4 上两点 A（x1，y1）和 B（x1+1，y2）， 则下列结论： ①直线 AB 不经过第三象限； ②y1＞y2； ③直线 AB 向右平移一个单位的解析式为 y＝﹣3x+1． 其中正确的是 ①② ．（填写正确结论的序号） 2 【解答】解：∵在一次函数 y＝﹣3x+4 中，﹣3＜0，4＞0， ∴直线 AB 经过第一、二、四象限， ∴直线 AB 不经过第三象限，故①正确； ∵在一次函数 y＝﹣3x+4 中，﹣3＜0， ∴一次函数 y＝﹣3x+4 随着 x 的增大而减小， ∵x1＜x1+1， ∴y1＞y2，故②正确， 直线 AB 向右平移一个单位的解析式为 y＝﹣3（x﹣1）+4 ∴平移后的解析式为：y＝﹣3x+7，故③错误， 故答案为：①②． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线 OA 的解析式是 y＝2x ． 【解答】解：如图，过点 A 作 AC∥x 轴，过点 B 作 BD∥y 轴，两条直线相交于点 E， ∵B（3，1）， ∴OD＝3，BD＝1． ∵∠DOB+∠OBD＝90°，∠OBD+∠ABE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠BOD＝∠ABE，∠OBD＝∠BAE． 在△ABE 与△BOD 中， ， ∴△ABE≌△BOD（ASA）， ∴AE＝BD＝1，BE＝OD＝3， ∴AC＝OD﹣BD＝3﹣1＝2，DE＝BD+BE＝1+3＝4， ∴A（2，4）． 设直线 OA 的解析式是 y＝kx， ∴4＝2k， ∴k＝2， ∴直线 OA 的解析式是 y＝2x 故答案为：y＝2x． 10．已知一次函数 y＝kx+b，当 0≤x≤2 时，对应的函数值 y 的取值范围是﹣2≤y≤4，则 3 kb 的值为 ﹣6 或﹣12 ． 【解答】解：（1）当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大，即一次函数为增函数， ∴当 x＝0 时，y＝﹣2，当 x＝2 时，y＝4， 代入一次函数解析式 y＝kx+b 得： 解得 ， ∴kb＝3×（﹣2）＝﹣6； （2）当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当 x＝0 时，y＝4，当 x＝2 时，y＝﹣2， 代入一次函数解析式 y＝kx+b 得： ， 解得 ∴kb＝﹣3×4＝﹣12． 所以 kb 的值为﹣6 或﹣12． 11．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象互相平行，且经过点 A，则 一次函数 y＝kx+b 的解析式为 y＝2x﹣4 ． 【解答】解：∵一次函数 y＝kx+b 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象平行， ∴k＝2， ∴y＝2x+b， 把点 A（1，﹣2）代入 y＝2x+b 得 2+b＝﹣2，解得 b＝﹣4， 所以一次函数 y＝kx+b 的解析式为：y＝2x﹣4， 故答案为：y＝2x﹣4． 12．如图 A（3，0），B（0，2），以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，则边 BC 所在直线的函数表达式为 y＝ x+2 ． 【解答】解：如图，过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D， 4 ∵A（3，0），B（0，2）， ∴AO＝3，BO＝2， ∵等腰 Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠ABO＝∠CDA＝90°， ∴∠BAO+∠CAD＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，AB＝AC， ∴∠CAD＝∠ABO， ∴△AOB≌△CDA， ∴AO＝CD＝3，AD＝BO＝2， ∴OD＝5， ∴C（5，3）， 设 BC 直线解析式为 y＝kx+b 则 ， 解得 ， ∴设 BC 直线解析式为 y＝ x+2． 故答案为：y＝ x+2． 13．已知函数 y＝（1﹣2m）x+m+1，求当 m 为何值时． （1）y 随 x 的增大而增大？ （2）图象经过第一、二、四象限？ （3）图象经过第一、三象限？ （4）图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？ 【解答】解：（1）∵y 随 x 的增大而增大， ∴1﹣2m＞0，解得 m＜ ； （2）∵图象经过第一、二、四象限， ∴ ，解得 m＞ ； （3）∵图象经过第一、三象限， ∴1﹣2m＞0， ∴m＜ ； （4）∵图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方， ∴ ，解得 m＞﹣1 且 m≠ ． 当 1﹣2m＝0 时图象是一条平行于 x 轴的直线，与 y 轴交点也在 x 轴上方，此时 m＝ ， 综上所述，满足条件的 m 的值为 m＞﹣1． 5 14．用函数方法研究动点到定点的距离问题． 在研究一个动点 P（x，0）到定点 A（1，0）的距离 S 时，小明发现： S 与 x 的函数关系为 ，并画出图象如图： 借助小明的研究经验，解决下列问题： （1）写出动点 P（x，0）到定点 B（﹣2，0）的距离 S 的函数表达式，并求当 x 取何值 时，S 取最小值？ （2）设动点 P（x，0）到两个定点 M（1，0）、N（5，0）的距离和为 y．写出 y 与 x 的 函数表达式，结合函数图象，说出随着 x 增大，y 怎样变化？ 【解答】解：（1）（1）S＝|x+2|；当 x＝﹣2 时，S 的最小值为 0． （2）图象如图： 由题意得 y＝|x﹣1|+|x﹣5||，根据绝对值的意义， 可转化为 ， 当 x＜1 时，y 随 x 增大而减小； 当 1≤x≤5 时，y 是一个固定的值； 当 x＞5 时，y 随 x 增大而增大． 15．已知一次函数 y＝kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列 一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）y＝kx； （2）y＝﹣2kx﹣2b； （3）y＝ kx﹣b． 6 【解答】解：（1）∵y＝kx 的图象与 y＝kx+b 的图象平行，且过坐标原点， ∴函数 y＝kx 的图象如图 1 所示： （2）根据函数 y＝kx+b 的图象在坐标系中位置可知：k＞0，b＞0， 与 y 轴的交点坐标为（0，b），与 x 轴的交点坐标为 ， ∴﹣2k＜0，﹣2b＜0， ∴函数 y＝﹣2kx﹣2b 经过第二，三，四象限， 与 y 轴的交点坐标为（0，﹣2b），与 x 轴的交点坐标为 ， ∴函数 y＝﹣2kx﹣2b 的图象如图 2 所示： （3）根据函数 y＝kx+b 的图象在坐标系中位置可知：k＞0，b＞0， 与 y 轴的交点坐标为（0，b），与 x 轴的交点坐标为 ， ∴ ＞0，﹣b＜0， ∴函数 经过第一，三，四象限，且与 y 轴交于点（0，﹣b）， ∴函数 的图象如图 3 所示： 16．如图，直线 y＝3x+4 分别交 x、y 轴于 A、B 两点，M 是 AB 的中点，将△AOM 沿 OM 翻折，点 A 落在点 C 处． （1）求点 A、B 的坐标： （2）求直线 BC 的解析式； （3）求四边形 AOCB 的面积． 7 【解答】解：（1）对于直线 y＝3x+4，令 x＝0，得到 y＝4，令 y＝0，得到 x＝﹣ ， ∴A（﹣ ，0），B（0，4）． （2）∵M 是 AB 中点，A（﹣ ，0），B（0，4）， ∴M（﹣ ，2）， ∴直线 OM 的解析式为 y＝﹣3x， ∵A、C 关于 OM 对称， ∴OM 垂直平分线段 AC，设 AC 交 OM 于 K， ∴AK＝CK， ∴直线 AC 的解析式为 y＝ x+ ， 由 ，解得 ， ∴K（﹣ ， ）， ∵AK＝KC， ∴C（ ， ）， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b， 则有 ，解得 ， ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣3x+4． （3）S 四边形 AOCB＝S△AOB+S△OBC＝ ×4× + ×4× ＝ ． 17．若式子 +（k﹣2）0 有意义，则一次函数 y＝（k﹣2）x+2﹣k 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵式子 +（k﹣2）0 有意义， 8 ∴ ， 解得 k＞2， ∴k﹣2＞0，2﹣k＜0， ∴一次函数 y＝（k﹣2）x+2﹣k 的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 18．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯 内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度 y（cm）与注水时间 x（s）之间 的函数图象大致是（ ） A ． B ． C． D． 【解答】解：大烧杯的液面高度 y（cm）随时间 x 的增加而增大，当小烧杯注满水后大 烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项 D 符合题意． 故选：D． 19．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+a2与 y＝a2x+a 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵y＝ax+a2 与 y＝a2x+a， ∴x＝1 时，两函数的值都是 a2+a， ∴两直线的交点的横坐标为 1， 若 a＞0，则一次函数 y＝ax+a2 与 y＝a2x+a 都是增函数，且都交 y 轴的正半轴，图象都 经过第一、二、三象限； 若 a＜0，则一次函数 y＝ax+a2 经过第一、二、四象限，y＝a2x+a 经过第一、三、四象限， 且两直线的交点的横坐标为 1； 故选：D． 20．已知一次函数 y＝mx﹣3m2+12，请按要求解答问题： （1）m 为何值时，函数图象过原点，且 y 随 x 的增大而减小？ （2）若函数图象平行于直线 y＝﹣x，求一次函数解析式； （3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求 m 的值． 【解答】解：（1）∵一次函数 y＝mx﹣3m2+12，函数图象过原点，且 y 随 x 的增大而减 小， 9 ∴ 解得，m＝﹣2， 即当 m＝﹣2 时，函数图象过原点，且 y 随 x 的增大而减小； （2）∵一次函数 y＝mx﹣3m2+12，函数图象平行于直线 y＝﹣x， ∴m＝﹣1， ∴﹣3m2+12＝﹣3×（﹣1）2+12＝9， ∴一次函数解析式是 y＝﹣x+9； （3）∵一次函数 y＝mx﹣3m2+12，点（0，﹣15）在函数图象上， ∴m×0﹣3m2+12＝﹣15， 解得，m＝±3， 即 m 的值是±3． 21．如图，直线 l 经过点 A（4，0），B（0，3）． （1）求直线 l 的函数表达式； （2）点 P（﹣4，6）是否在直线 l 上？ 【解答】解：（1）设直线 l 的函数表达式为 y＝kx+b， ∵直线 l 经过点 A（4，0），B（0，3）， 则有 ，解得 ，b＝3， 所以 ． （2）当 x＝﹣4 时，y＝6， 所以点 P（﹣4，6）在直线 l 上． 10