第二章 图形的轴对称 考点梳理 2024-2025学年青岛版数学八年级上册

第2章 图形的轴对称 考点梳理 考点一：轴对称图形 1．“致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 4．若正多边形的一个外角是，则这个多边形对称轴的条数是 ． 5．如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 6．请认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2： ． (2)请在图（2）中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征（用阴影表示）． 考点二：轴对称的性质 1．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（    ） A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在上 2．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿翻折，使A点落在边上的点处，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点M是∠ABC内一点，分别作出点M关于直线AB、BC的对称点M1、M2，连接M1M2分别交AB于点D，交BC于点E，若M1M2=3cm，则△MDE的周长为 cm． 4．在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点 的对称点A′坐标为，点为图象上的一点，则点M在图象上的对称点坐标为 ． 5．小宇同学将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕．问题： (1)的度数是多少？写出解答过程； (2)直线FA'与有怎样的位置关系？请说明理由； (3)试猜测么、、、、这5个角之间有怎样的数量关系，并说明理由． 考点三：线段的垂直平分线和角平分线 1．如图，已知，，是边上一点，若用尺规在边上确定一点，使得线段，则下列作图错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是(    )    A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，于点，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．已知，△ABC（如图）． （1）利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D； ②作AB边的垂直平分线EF，分别交AD，AB于点E，F． （2）连接BE，若∠ABC＝60°，∠C＝40°，求∠AEB的度数． 5．如图，在中，分别为边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 6．（1）如图，的两条角平分线，相交于点F，求证：  ． （2）如图，的两边的垂直平分线、相交于点H．求证：的三边垂直平分线、、相交于点H． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 考点四：等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，于点D，过点D作，交于点E，若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 3．如图,在中, , ,以为圆心,任意长为半径画弧,分别交、于点和,再分别以为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,连结并延长交于点,下列结论：①是的平分线；②；③；④若 ，则的面积为20．其中正确的结论共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在中，，D，E分别在上，． (1)求证：是等腰三角形； (2)延长至点F，使，连接，判定的形状，并说明理由． 5．如图所示，在等边中，，点P从点C出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点A以的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为． (1)你能用含t的式子表示和的长度吗？请你表示出来． (2)出发几秒时，第一次为等边三角形？ (3)若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒时点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 6．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 图形的轴对称 考点梳理 答案 考点一 1．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合，根据定义判断即可． 【详解】解：．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断． 【详解】解：考虑轴对称图形与颜色（阴影）无关． 则左起第一、第三个图形是轴对称图形且只有一条对称轴； 第二个图形有两条对称轴，第四、第五个图形含有四条对称轴． 故选：D． 【点睛】考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3．D 【分析】如下图 【详解】如图， 由图可知可以瞄准的点为点D．故选D． 4．5 【分析】由已知正多边形的一个外角是，根据外角和为360°即可求得多边形的边数以及对称轴条数． 【详解】解：∵正多边形的一个外角是， ∴正多边形的边数为＝5， ∴这个正多边形是正五边形，故其对称轴有5条． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查的是正多边形的外角和，掌握边数×一个外角＝360°是解题的关键． 5．(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）解：直线即为所求，如图： （3）解：点即为所求，如图： 6．(1)是轴对称图形；是中心对称图形 (2)见解析 【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考； （2）应画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且面积为4的图形． 【详解】（1）解：根据题意得： 特征1：是轴对称图形，特征2：是中心对称图形； （2）解：画出图如图所示： ． 【点睛】图形的特点应从对称性和面积等方面进行考虑． 考点二 1．D 【分析】据对称轴的定义，与关于直线对称，为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系. 【详解】解：∵与关于直线对称，为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，、、选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上.错误； 故选：D. 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等. 2．D 【分析】根据折叠的性质和三角形内角和定理，求得的度数，即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得，， 由三角形内角和的性质可得：， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 3．3 【详解】分析：根据对称轴的意义，可以求出EM=EM2，DM1=DM，M1M2=3cm，可以求出△MDE的周长． 详解：∵点M关于直线AB，BC的对称点M1，M2，∴EM=EM2，DM1=DM，∴△MDE的周长=DE+EM+DM=M1M2=3（cm），∴△MDE的周长=3cm．     故答案为3． 点睛：本题考查了轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 4． 【分析】先求出对称轴的表达式，设点M在图象上的对称点坐标为，根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案． 【详解】解：∵点的对称点坐标为， ∴对称轴为：， 设点M在图象上的对称点坐标为， ∴3， ， ∴， ∴点M在图象上的对称点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键． 5．(1)90°；见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据由折叠的性质可得．再由 ，可得∠AEF＋∠BEG＝90°，即可； （2）由折叠的性质可得，即可求解； （3）分别过点作DC的平行线，可得过点的平行线互相平行，且都与AB平行，从而得到∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：． 又因为 ， 所以2（∠AEF＋∠BEG）＝180°， 所以∠AEF＋∠BEG＝90°． （2）解∶ ，理由如下： 由折叠的性质得：， 所以 ， 所以； （3）解：，理由如下： 如图，分别过点作DC的平行线， 因为AB∥DC， 所以过点的平行线互相平行，且都与AB平行， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8， 所以∠1+∠4+∠5+∠8=∠2+∠3+∠6+∠7， 即． 【点睛】本题考查了角的计算以及图形的折叠，解题的关键是明确题意，熟练掌握折叠的性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 考点三 1．D 【分析】根据垂线的作图解答即可． 【详解】解：由图可知，D选项中，与不垂直， 故选：D． 【点睛】此题考查作图问题，关键是根据垂线的作图解答． 2．B 【分析】如图，连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度； 【详解】如图连接PC， ∴垂直平分， ∴、、共线时，的值最小，最小值为的长度；    故选B 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 3．C 【分析】过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的面积的面积， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（1）详见解析；（2）100° 【分析】（1）①利用基本作图法作∠BAC的平分线AD； ②利用基本作图法作出AB边的垂直平分线EF； （2）根据题意求出∠BAE=40°，因为EF为AB的垂直平分线，所以AE=BE，可得∠BAE=40°=∠ABE，即可求解. 【详解】（1）①AD为所求直线； ②EF为所求直线； （2） ∵∠ABC＝60°，∠C＝40° ∴∠BAC==80° ∵AD平分∠BAC ∴∠BAE=40° ∵EF为AB的垂直平分线 ∴AE=BE ∴∠BAE=40°=∠ABE ∴∠AEB=100° 【点睛】本题考查的是角平分线和垂直平分线，熟练掌握两者的画图是解题的关键. 5．(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）连接并延长，交于H，先由线段垂直平分线的性质得到，，则，，进而利用三角形外角的性质得到，再证明，则 （2）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：连接并延长，交于H， ∵，分别为，边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 同理可得，， ∵， ∴， ∴． 6．见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义得，，再利用三角形内角和定理即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得，即可证明点H在边的垂直平分线上． 【详解】（1）证明： 由题意知，平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：由题意，点H在边的垂直平分线上，还在边的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴点H在边的垂直平分线上， ∴的三边垂直平分线、、相交于点H． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识点，难度不大，解题的关键是熟练掌握等量代换的思维． 考点四 1．B 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，    ②∵， ∴， 如图2，点P在上时，若，顶角为，    如图3，点P在上时，若，则顶角为，    如图4，点P在上时，若，则顶角为，    综上所述，顶角为或或． 故选：B． 2．B 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键． 3．C 【分析】根据角平分线的定义及含有角的直角三角形的性质进行逐一判断即可得解． 【详解】①根据题意，属于角平分线的尺规作图，则是的平分线，该项正确； ②∵，，∴，∵平分， ∴，∴， ∵，∴，该项正确； ③∵由②知，，∴，该项错误； ④根据含有角的直角三角形的性质可知，∵，∴ ∴，该项错误； 所以正确的是①②，共有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义及含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键． 4．(1)见解析 (2)是等腰三角形，见解析 【分析】（1）先证明是等腰三角形，再根据证明即可； （2）先根据是等腰三角形得到四边形是等腰梯形，进而得到，，再根据证明，进而可得出是等腰三角形． 【详解】（1）∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形． （2）∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴四边形是等腰梯形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确找准等量关系是解题的关键． 5．(1)，； (2)； (3)经过后，点P与点Q在边上第一次相遇； 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识． （1）本题考查列代数式，根据路程等于速度乘以时间即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定列式求解即可得到答案； （3）本题考查一元一次方程解决顶点问题，根据相遇问题直接列式求解即可得到答案； 该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵点P的速度为，移动时间为， ∴， ∴， ∵点Q的速度为，移动时间为， ∴； （2）解：若为等边三角形，则有， 即，解得， ∴出发时，第一次为等边三角形； （3）解：设时，点Q与点P第一次相遇，根据题意得， ，解得， 经过后，点P与点Q第一次相遇， 当时，点P移动的路程为， 而，即此时点P在边上， ∴点P与点Q在边上第一次相遇． 6．(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$