精品解析：山东省淄博市高新区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中有字母是解题关键．根据分式的定义注意逐一即可． 【详解】解：A、不是分式，选项错误； B、不是分式，选项错误； C、是分式，选项正确； D、不是分式，选项错误； 故选：C． 2. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式左边不是多项式，不符合题意； C、等式的右边含有分式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 3. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质依次进行判断即可得．本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； B．成立，原选项说法正确，符合题意； C．当时，，原选项说法错误，不符合题意； D．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 4. 小星所在班级10名同学的身高数据如表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 165 158 168 162 174 168 162 165 168 170 下列统计量中，不能够描述这组数据集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数的定义，根据平均数，中位数，众数的定义，可得答案．掌握平均数，中位数，众数都可以描述数据的集中趋势是解题的关键． 【详解】解：由定义知，平均数、中位数、众数都可以描述数据的集中趋势，方差描述数据的离散程度， 故选：B． 5. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行计算． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 6. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 7. 已知，，则整式的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 8. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（ ） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D. 方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据所列方程，结合“单价总价数量”，进行分析即可求解． 【详解】解：∵甲商店购买篮球消费满元，送两个篮球，在甲商店购买，正好能用元经费买够数量， 乙商店有促销活动，篮球单价打七折，在乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩元， ∴在甲商店购买需花费元，在甲商店购买篮球的数量比需要的数量少个， 在乙商店购买需花费元，篮球的单价是原价的七折， 若方程①中的表示篮球的数量， 则表示在乙商店购买篮球的单价，表示在甲商店购买篮球的单价， 根据乙商店篮球的单价是原价的七折，即可列出方程； 方程②中的表示篮球的单价， 则表示在甲商店购买篮球的数量，表示在乙商店购买篮球的数量， 根据篮球的数量是固定的，即可列出方程． 故选：C． 9. 体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平均数为7.8，方差为．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求方差，先求出小明再跳两次后成绩的平均数，然后根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，小明再跳两次后成绩的平均数为：， ∵小明6次成绩的方差为， ∴小明8次跳远成绩的方差为：； 故选D． 10. 若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先解关于x的一元一次不等式组，根据其解集，求出的取值范围，再解分式方程，根据其有非负整数解，求出的取值范围，进而可得符合要求的值，最后求和即可． 【详解】解：由不等式组，解得： ∵不等式组的解集为 ∴ 由分式方程 ，去分母得 解得， ∵分式方程有非负数解 ∴且 ∴的取值为，0，1，2，4 ∴符合条件的所有整数a的和为 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．解题的关键在于求出符合条件的所有整数a． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若分式无意义，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式的分母等于0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为：． 12. 分解因式：______ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=4a(a2−1)=4a(a+1)(a−1)． 故答案为：4a(a+1)(a−1)． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 13. 若，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．根据分式基本性质，分子和分母同时除以可得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 14. 小明等五名同学四月份参加某次数学测验的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为________ . 【答案】60或110 【解析】 【详解】解：①x最小时，这组数据为x，x，80，100，100；中位数是80，∴（100+100+x+x+80）÷5=80，∴x=60； ②x最大时，这组数据为80，100，100，x，x；中位数是100，∴（100+100+x+x+80）÷5=100，∴x=110． ③当80≤x≤100，这组数据为80，x，x，100，100；中位数是x，∴（100+100+x+x+80）÷5=x，∴x=，x不是整数，舍去． 故答案为60或110． 点睛：本题考查了平均数和中位数的定义．正确运用分类讨论的思想是解答本题的关键．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 15. 若关于x的分式方程无解，则的值为 _____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解． 【答案】，当x=2时，原分式的值为 【解析】 【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可． 【详解】解：原式=； 由可得该不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2， 当x=-1，0，1时，分式无意义， ∴x=2， ∴把x=2代入得：原式=． 【点睛】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可； （2）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：原分式方程整理得，， 去分母得， ， ， 经检验：是方程的解，原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：原分式方程整理得，， 去分母得，， ， 经检验：是方程的增根，原分式方程无解． 18. 某公司办公室欲招聘一名秘书，现有甲、乙两名应试者，考试包含笔试和面试两个环节，两位应试者的成绩（满分分）如下表： 应试者 面试成绩 笔试成绩 甲 乙 （1）如果公司认为面试和笔试同等重要，那么谁将被录取？说明理由； （2）如果公司认为面试比笔试更重要，并分别赋予它们和的权，那么谁将被录取？请说明理由． 【答案】（1）甲被录取，见解析 （2）乙被录取，见解析 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用． （1）根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案； （2）根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲被录取． 理由：甲的最终成绩为：，乙的最终成绩为：， ∵， ∴甲被录取． 【小问2详解】 解：乙被录取． 理由：甲的最终成绩为：，乙的最终成绩为：， ∵， ∴乙被录取． 19. 【阅读材料】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如： 请仿照上例解决以下问题： （1）因式分解：_______________． （2）证明：对于任意实数x、y，多项式的值总为正数． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式因式分解； （1）根据例题进行因式分解即可求解； （2）根据例题因式分解，得出，进而根据平方的非负性，即可得证． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：原式 ，． 多项式的值总为正数． 20. 已知：，． （1）当时，比较与的大小，并说明理由； （2）设，若是整数，求的整数值． 【答案】（1）， 理由：， ， ， ． （2）3或或或 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算： （1）作差法比较分式的大小即可； （2）先根据分式的减法运算，求出，再根据是整数，也是整数，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 均为整数， 的值为，， 的整数值为3或或或． 21. 某中学计划招聘一批广播员，有19名学生报名参加选拔．报名的学生需参加普通话、情境表达、个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占，情境表达占，个人才艺占计算出每人的总评成绩．根据以下图表解答相关问题． 表1：1号和2号选手的三项测试成绩和总评成绩统计表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 普通话 情景表达 个人才艺 1号 80 75 85 79.5 2号 86 80 ★ ★ 表2：1号和2号选手的个人才艺测试评委评分、平均数和方差统计表： 选手 评委评分 平均数 方差 1号 85，80，83，90，87 85 2号 85，84，84.5，84，87.5 ★ （1）利用表2数据作答： ①2号选手的中位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； ②求和的值，并比较大小． （2）计算2号的总评成绩； （3）如图是这19名学生总评成绩的频数分布直方图（不完整），学校决定根据总评成绩择优选拔9名广播员．（A：；B：；C：；D：） ①补充完整总评成绩频数分布直方图； ②试分析1号、2号是否入选，并说明理由． 【答案】（1）①84.5，84，85；②，， （2）84分 （3）①C组人数为：（人）， 补充完整总评成绩频数分布直方图如下： ②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔9名广播员应在C：；D：内，而1号的总评成绩79.5分不在C、D范围内，2号的总评成绩84分在C、D范围内， 号不能入选，2号入选． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数和方差，频数直方图： （1）①根据中位数，众数和平均数的计算方法进行求解即可；②根据方差的计算公式进行计算即可； （2）根据加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）①求出组人数，补全直方图即可；②根据1号和2号选手的总评成绩进行判断即可． 【小问1详解】 解：①将数据排序后，位于中间的数据为84.5分，故：中位数84.5分， 出现次数最多的是84分，故众数为84分， 平均分分． ②， ， ． 【小问2详解】 解：2号的总评成绩为：（分）； 【小问3详解】 略 22. 某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元． （1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？ （2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？ 【答案】（1）第一批和第二批服装的购进单价分别是40元和60元 （2）第二批服装售价至少定为100元 【解析】 【分析】（1）设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设第二批服装的售价定为m元，根据第二批服装的利润不低于5200元，列一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，元， 答：第一批和第二批服装的购进单价分别是40元和60元； 【小问2详解】 解：设第二批服装的售价定为m元， 第二批购进数量：件， ，解得， 答：第二批服装售价至少定为100元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键． 23. 规定：正整数P如果能写成（m、n均为正整数，且），则称为“平方差数”，其中m、n为的一个平方差变形，在的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以9和7是32的最佳平方差变形，所以． （1）求； （2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为，，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】（1）1013 （2）34 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，因式分解的应用，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据，得到计算即可； （2）根据题意，得到或，求出符合条件的的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵． ， ； 【小问2详解】 能被7整除，， 或， 或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ， ． ， 的最小值为34． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 小星所在班级10名同学的身高数据如表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 165 158 168 162 174 168 162 165 168 170 下列统计量中，不能够描述这组数据集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 5. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则整式的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（ ） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D. 方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 9. 体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平均数为7.8，方差为．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若分式无意义，则的值为___________． 12. 分解因式：______ 13. 若，则分式的值为______． 14. 小明等五名同学四月份参加某次数学测验的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为________ . 15. 若关于x的分式方程无解，则的值为 _____． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解． 17. 解方程： （1） （2） 18. 某公司办公室欲招聘一名秘书，现有甲、乙两名应试者，考试包含笔试和面试两个环节，两位应试者的成绩（满分分）如下表： 应试者 面试成绩 笔试成绩 甲 乙 （1）如果公司认为面试和笔试同等重要，那么谁将被录取？说明理由； （2）如果公司认为面试比笔试更重要，并分别赋予它们和的权，那么谁将被录取？请说明理由． 19. 【阅读材料】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如： 请仿照上例解决以下问题： （1）因式分解：_______________． （2）证明：对于任意实数x、y，多项式的值总为正数． 20. 已知：，． （1）当时，比较与的大小，并说明理由； （2）设，若是整数，求的整数值． 21. 某中学计划招聘一批广播员，有19名学生报名参加选拔．报名的学生需参加普通话、情境表达、个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占，情境表达占，个人才艺占计算出每人的总评成绩．根据以下图表解答相关问题． 表1：1号和2号选手的三项测试成绩和总评成绩统计表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 普通话 情景表达 个人才艺 1号 80 75 85 79.5 2号 86 80 ★ ★ 表2：1号和2号选手的个人才艺测试评委评分、平均数和方差统计表： 选手 评委评分 平均数 方差 1号 85，80，83，90，87 85 2号 85，84，84.5，84，87.5 ★ （1）利用表2数据作答： ①2号选手的中位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； ②求和的值，并比较大小． （2）计算2号的总评成绩； （3）如图是这19名学生总评成绩的频数分布直方图（不完整），学校决定根据总评成绩择优选拔9名广播员．（A：；B：；C：；D：） ①补充完整总评成绩频数分布直方图； ②试分析1号、2号是否入选，并说明理由． 22. 某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元． （1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？ （2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？ 23. 规定：正整数P如果能写成（m、n均为正整数，且），则称为“平方差数”，其中m、n为的一个平方差变形，在的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以9和7是32的最佳平方差变形，所以． （1）求； （2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为，，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $