第三章 分式 考点梳理 2024-2025学年青岛版数学八年级上册

第3章 分式 考点梳理 答案 考点一 1．B 【分析】根据分式的定义可判断①,根据分式的约分可判断②,根据分式的乘除混合运算可判断③,根据分式的混合运算可判断④,根据分式的加法运算可判断⑤,根据分式的值为0的条件可判断⑥,从而可得答案. 【详解】解：是整式；故①符合题意； 当时，，故②不符合题意； ，故③符合题意； 故④符合题意； 故⑤符合题意； 当时，分式没有意义，故⑥符合题意； 故选B. 【点睛】本题考查的是分式的定义，分式的约分，分式的值为0的条件，分式的加减乘除运算，掌握分式的定义与分式的加减乘除运算的运算法则是解本题的关键. 2．B 【分析】本题考查了使分式值为零时字母的取值；根据分式值为零，则分子为零且分母不为零即可求解． 【详解】解：∵的值为零， ∴且， 解得． 故选：B． 3．C 【分析】根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式中x，y都扩大2倍后的值为，即分式的值扩大2倍，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式的值为0时，且，解得，故本选项说法正确，符合题意； D、分式，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式，分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．D 【分析】本题考查了分式的约分的知识，是分式运算的基础，应要求学生重点掌握．根据分式的基本性质作答．分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变． 【详解】解：A、分式的分子分母约去公因式后，其结果应为，故本选项错误； B、分式分子分母相同，约分后值应为1，故本选项错误； C、分式的分子分母约去公因式后结果为：，故本选项错误； D、分母分解因式后与分子约去公因式，结果正确； 故选：D． 5．D 【分析】根据去分母的方法逐一分析即可． 【详解】解：去分母得，； 故A不符合题意； 去分母得，，故B不符合题意； 去分母得，，故C不符合题意； 去分母得，，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是解分式方程的去分母，掌握利用等式的基本性质去分母是解本题的关键． 6．x-1/ -1+x 【分析】先把分式的分子分解因式，再根据分式的基本性质进行计算，最后得出答案即可． 【详解】解：， 即括号内应填x-1， 故答案为：x-1． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键． 考点二 1．B 【分析】根据分式的运算法则即可求解． 【详解】 = = 故选B． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 2．C 【分析】先化为同分母的分式，再根据分式的加减进行计算即可． 【详解】解：原式= ， 顾选：C. 【点睛】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 3．4 【分析】先根据分式的加减法则计算出与的和，再令两边的分子相等即可． 【详解】∵ ∴ ∴a(x−2)+b(x+2)=4x,即(a+b)x−2(a−b)=4x， ∴a+b=4. 故答案为4. 【点睛】考查分式的加减法，异分母分式相加减解答时注意通分的应用. 4．（1）－6x－5y，；（2）， . 【详解】试题分析：（1）先去括号，再合并同类项，再代入求值即可； （2）把括号内的分式分母进行因式分解并通分计算，然后把分式的除法运算转化为乘法运算，约分后把x的值代入计算即可得解． 试题解析：（1） = =（12xy－10y2）÷（－2y） =－6x－5y 当时，原式=-6×－5×= (2)    = = =        当时，原式= 5．，2 【分析】根据分式运算的法则运算，先对括号内进行通分，再根据分式的乘除法法则进行运算，最后代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 当，时， 原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，难度适中，注意先化简再求值． 6．（1）原式==；（2）原式==11 【详解】试题分析：（1）先把原式无括号合并同类项后化简，再把a、b知带入即可； （2）原式去括号合并整理后，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 试题解析：（1）原式== 当，即时， 原式== （2）原式=， 当时， 原式==11. 7．甲地每亩水稻的产量是乙地的倍，乙地每亩水稻的产量高 【分析】先表示出甲地、乙地每亩水稻的产量得到甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为，然后计算即可． 【详解】解：甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为， ， ， ， ， 乙地每亩水稻的产量高． 故甲地每亩水稻的产量是乙地的倍，乙地每亩水稻的产量高． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意运算顺序是解题的关键． 考点三 1．B 【分析】利用设k法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 2．C 【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案. 【详解】解：∵， ∴设a＝4x，则b＝5x， 那么，. 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是根据已知条件求代数式的值，此类题目往往将a，b用同一未知数表示，这样计算较为简便. 3．(1)需要石子60吨 (2)水泥还剩10吨； 【分析】本题考查的是比的应用； （1）由题意可知，配制这种混凝土所需要的水泥、黄沙、石子的质量比是，把120吨平均分成份，根据除法先求出1份的吨数，再分别求出2份（水泥）、3份（黄沙）、5份（石子）各是多少吨； （2）这种混凝土中黄沙占，水泥占 ，石子占 ，把用30吨黄沙配成的这种混凝土的质量看作单位“1”，根据分数除法的意义，用30吨除以 就是当黄沙全部用完时能配成的这种混凝土的质量；根据百分数乘法的意义，用配成的这种混凝土的质量乘 就是所用水泥的质量，用30吨减去所用水泥的质量就是水泥剩下的吨数； 【详解】（1）解：（吨） （吨） 答：需要石子60吨； （2）解：， （吨） （吨） 答：水泥还剩10吨； 4．（1）；（2）或 【分析】（1）设，将x、y、z都用k表示，再将其代入即可解答； （2）根据比例得基本性质可得，，，联立相加后进行分类讨论即可． 【详解】解（1）设， 则，，， ． （2）∵， ∴，，， 联立得：， ∴ 当时，， 当时， ∴或． 【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质以及等比性质． 5． 【分析】根据提示，先设比值为k，根据等式的性质可求出k的值是2，继而可得x+y=2z，然后把x+y=2z代入所求代数式进行计算即可得答案． 【详解】设＝k， ∴y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz， ∴2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)＝2， ∴＝2， ∴x＋y＝2z， ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，读懂所给材料，正确利用参数法进行求解是解题的关键． 考点四 1．D 【分析】本题考查了分式方程的增根，已知增根求方程中参数值分三步计算①由分母等于确定增根的值；②将分式方程化为整式方程；③将增根代入整式方程求值.正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 方程两边同时乘以得：， 把代入得：， 解得：， 故选D． 2．C 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程得，由分式方程有增根，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵分式方程有增根， ∴， 解得，， 故选：C． 3．1 【分析】先去分母把分式方程转化为整式方程，再根据原方程无解可得x=2，然后把x=2代入整式方程求解即可． 【详解】解：去分母，得x－3=﹣m， ∵原方程无解， ∴x－2=0，即x=2， 把x=2代入上式，得2－3=﹣m，所以m=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 4．(1)x=6；(2)无解；(3) ；(4)k=3或k=1 【详解】试题分析：（1）、（2）方程两边同时乘以最简公分母后化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得； （3）先计算括号里的，然后再进行分式的除法计算即可； （4）先化为整式方程，然后根据分式方程无解情况进行讨论即可得. 试题解析：（1）方程两边同乘x(x+3)，得 2（x+3）+x2=x(x+3)， 解得：x=6， 检验：当x=6时，x(x+3)≠0，所以x=6是原方程的解； （2）方程两边同乘（x+2）(x-2)，得 （x-2）2-16=（x+2）(x-2)， 解得：x=-2， 检验：当x=-2时，（x+2）(x-2)=0，所以x=-2是增根，原方程无解； （3）原式===； （4）方程两边同时乘（x-3），得 3（x-3）+2-kx=-1， 整理得：（3-k）x=6， 当整式方程无解时，3-k=0即k=3， 当分式方程无解时，x=3，此时3-k=2，k=1， 所以k=3或1时，原方程无解． 5．（1）；（2）. 【分析】（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：（1）方程的两边同乘，得 ， 整理得： 解得． 检验：把代入． 原方程的解为：． （2）方程的两边同乘，得 ， 解得． 检验：把代入． 原方程的解为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 6．(1) (2)见解析， 【分析】（1）根据已知方法得关于A和B的方程组，求出A和B即可； （2）根据材料得关于x的分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得：， 即. （2）解：根据材料，，则， ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查解分式方程和解二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意给出的结论、熟练运用解分式方程和解二元一次方程组的解法，本题属于中等题型． 考点五 1．原来规定修好这条路需12个月． 【分析】设原来规定修好这条公路需x个月，根据等量关系为：甲四个月的工作总量+乙规定时间的工作总量=1，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设原来规定修好这条路需x个月． 根据题意，得：＋=1 解得：x=12 经检验，x=12是原方程的解， 答：原来规定修好这条路需12个月． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确寻找等量关系是解决问题的关键，注意解分式方程必须检验． 2．(1)《数学的力量》有页． (2)小航原来每天阅读页． 【分析】（1）设《数学的力量》有页，则《数学脑探秘》有页，再利用两本书的页数之和为，再列方程可得答案； （2）设小航原来每天阅读页，结合原来阅读时间加上提高速度后的阅读时间等于28天，可列方程，从而可得答案． 【详解】（1）解：设《数学的力量》有页，则《数学脑探秘》有页， ∴， 解得：， 答：《数学的力量》有页． （2）设小航原来每天阅读页，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意； 答：小航原来每天阅读页． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键． 3．(1)第一次的单价是6元，第二次的单价是元； (2)盈利，盈利元． 【分析】（1）本题考查分式方程解决应用题，设第一次的进价为元，则第二次的进价为，根据数量关系列式求解即可得到答案； （2）本题考查列代数式问题，利用售价减去进价比较即可得到答案； 【详解】（1）解：设第一次的进价为元，则第二次的进价为，由题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：第一次的单价是6元，第二次的单价是元； （2）解：由（1）得， 利润为：， 答：盈利，盈利元． 4．15千米/小时 【分析】设王老师骑自行车的速度是x千米/小时，则步行速度为千米/小时，根据“王老师到校比平时走路上班多用20分钟”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设王老师骑自行车的速度是x千米/小时，则步行速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故王老师骑自行车的速度是15千米/小时． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据时间、速度、路程之间的关系正确列出分式方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 分式 考点梳理 考点一：分式的有关概念及其基本性质 1．对于下列说法，错误的个数是（　  ）　 ①是分式； ②当时，成立； ③；④；⑤；⑥当时，分式的值是零． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．如果分式的值为零，那么x等于（　　） A．2 B． C．2或 D．0 3．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大2倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 4．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列分式方程去分母后所得结果正确的是（　　） A．去分母得， B．去分母得， C．去分母得， D．去分母得， 6．根据分式的基本性质填空：，括号内应填 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 考点二：分式的运算与化简求值 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（      ） A．1 B．3 C． D． 3．已知与的和等于，则 ． 4．先化简，再求值： （1） ，其中； （2） ，其中. 5． 先化简，再求值:其中a=4． b=-2． 6．先化简，再求值： （1）求代数式的值，其中a，b满足. （2）已知，求代数式的值. 7．甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为亩，乙地的种植面积为亩，最后两块土地收获的水稻重量都是请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？ 考点三：比和比例 1．已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D．﹣ 3．下图表示配制一种混凝土所用材料的份数． (1)要配制120吨这样的混凝土，需要石子多少吨？ (2)如果这三种材料各有30吨，要配制这样的混凝土，当黄沙用完时，水泥还剩多少吨？ 4．（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 5．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知(a、b、c互不相等)，求x+y+z的值． 解：设=k，则x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a)， ∴x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=0， ∴x+y+z=0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 考点四：分式方程及其解法 1．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如果方程 无解，则m= ． 4．解方程及化简分式： (1) ； (2)； (3)化简:； (4)若分式方程;无解，求k的值. 5．解分式方程：（1）    （2） 6．请阅读材料并求解： 要使恒成立，我们可以把，分别代入上式，得方程组，解得，即. (1)请用上述方法将写成的形； (2)如何求解下面的分式方程：. 考点五：分式方程的应用 1． 某地新修一条公路，甲、乙两个工程队承包此项工程，如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需多少时间？ 2．为了提高数学素养，小启和小航相约到书店购买《数学的力量》和《数学脑探秘》这两本书．已知《数学的力量》的页数比《数学脑探秘》的页数多40页，小启计划每天读30页，22天读完这两本书． (1)求《数学的力量》有多少页？ (2)小航按每天阅读固定的页数阅读了360页后，接下来每天多阅读50%，直到阅读完这两本书，结果比小启计划阅读的天数多用了6天，求小航一开始每天阅读多少页？ 3．某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的质量比第一次多千克，以每千克9元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果． (1)求两次购买的水果的进价每千克分别是多少元? (2)该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损?盈利或亏损了多少元? 4．如图，已知小刚家、王老师家和学校在一条直路上，小刚与王老师家相距3千米，王老师家与学校相距0.5千米、由于小刚父母出差，就由王老师骑自行车到小刚家接小刚上学，这样王老师到校比平时走路上班多用20分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．王老师骑自行车的速度是多少千米/小时？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$