第三章 分式 单元综合测试卷 2024-2025学年青岛版数学八年级上册

第三章 分式 单元综合检测 班级______姓名______ 考试时间：90分钟； 总分：100 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．代数式 中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，分式方程的个数是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 3．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．分式的值为0，则x的值是（　　） A．0 B．-1 C．1 D．1或0 5．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的n倍，则分式的值（     ） A．扩大为原来的n倍 B．扩大为原来的2n倍 C．不变 D．扩大为原来的倍 7．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列约分结果正确的是　　 A． B． C． D． 9．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 11．下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 12．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题（每小题3分，共15） 13．已知 则的值为 ． 14．已知线段，，如果线段是线段的比例中项，那么线段等于 ． 15．若a，b互为倒数，且，则分式 的值为 ． 16．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 17．已知（且），，，，，则的值为 ． 三、解答题 18．（6分）已知，， 是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 19．(9分)计算: (1)(x2-4y2)÷; (2); (3) . 20．（10分）解方程： （1）-= +=-1． 21． （7分）先化简后求值： 其中满a足 22．（9分）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等． (1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ (2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由． 23．（9分）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍． （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 分式 单元综合检测 答案 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C A D C A C 题号 11 12 答案 B C 1．B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键．仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 【详解】根据题意，是分式的是，共有3个， 故选B． 2．C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 3．C 【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、=，所以A选项不符合题意； B、=，所以B选项不符合题意； C、是最简分式，所以C选项符合题意； D、=，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 4．A 【详解】∵分式的值为0，∴x2-x=0且x-1≠0，解得x=0． 5．C 【分析】根据分式运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：、，故不符合题意； 、 ，故不符合题意； 、，故符合题意； 、 ，故不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟悉分式的加减乘除运算法则． 6．A 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：将分式中的、分别用、代替，则，即分式的值扩大为原来的倍． 故选：． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 7．D 【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元， 依题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8．C 【详解】A=，B=，C=，D不能再化简，故结果正确的是C，故选C 9．A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查分式方程增根问题，解分式方程；方程两边乘，化为整式方程，把方程的增根代入整式方程中即可求得k的值． 【详解】解：方程两边乘，得， ∵方程有增根， ∴增根为， 把代入中，得， 解得：； 故选：C． 11．B 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得，且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 12．C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 13． 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，解二元一次方程组，先通分得到，进而得到，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．4 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此可得答案． 【详解】解：∵线段是线段的比例中项，线段，， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：4． 15． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据倒数的定义得到，再根据分式的减法计算法则把所求式子先化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵a，b互为倒数， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16．/ 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键． 17． 【分析】本题主要考查了分式的化简，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】∵， ∴； ； ； ； 可知三个数一个循环， ， ∴． 故答案为：． 18．(1) (2)，， 【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键． （1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果； （2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长． 【详解】（1）解：由已知条件知： ， 设，则， （2）由（1）设，则， ， 得 ，，． 19．（1）-y；（2）；（3）. 【分析】按照分式的混合计算，先算括号里的，再乘除运算即可. 【详解】（1）解:原式=(x+2y)(x-2y)·=-y. （2）解:原式==. （3）解:原式==. 【点睛】此题主要考查分式的综合运算. 20．（1）分式方程无解；（2）x=. 【分析】（1）首先方程的两边同乘以最简公分母（x+3）（x-3），把分式方程转化为整式方程，再求解即可，最后要把求得的x的值代入到最简公分母进行检验．（2）首先方程的两边同乘以最简公分母（x+1）（x-1），把分式方程转化为整式方程，再求解即可，最后要把求得的x的值代入到最简公分母进行检验． 【详解】（1）去分母得：x-3+2x+6=12， 移项合并得：3x=9， 解得：x=3， 经检验x=3是增根，分式方程无解； （2）去分母得：4-（x+1）（x+2）=-x2+1， 解得：x=， 经检验x=是分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①把分式方程转化成整式方程，②求出整式方程的解，③最后代入分式方程的分母进行检验． 21．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把除法变成乘法，再约分化简，然后求出的值，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 22．(1)甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元 (2)乙商店租用服装的费用较少，理由见解析 【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案． （2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元， 由题意可得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意， ∴x+10＝50， ∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元． （2）解：乙商店租用服装的费用较少． 理由如下： 该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝800（元）， ∵900＞800， ∴乙商店租用服装的费用较少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验． 23．（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析 【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度； （2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可． 【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的根， 所以小刚跑步的平均速度为150米/分． （2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分， 则小刚跑步所用时间为（分）， 骑自行车所用时间为（分）， 在家取作业本和取自行车共用了3分， 所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）． 因为， 所以小刚不能在上课前赶回学校． 【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$