13.3等腰三角形课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

13.3等腰三角形 第13章 轴对称 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 1 前 言 学习目标 1、经历操作、发现、猜想、证明的过程，探索等腰三角形的性质，感受数学思考过程的条理性，培养学生的逻辑思维能力. 2、初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用已有的知识解决新的问题. 重点难点 重点：等腰三角形的性质及应用。 难点：等腰三角形的性质证明。 2 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边AB和AC叫做腰; 另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角∠BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角. 如图，△ABC中,AB=AC，那么△ABC就是等腰三角形。 只有等腰三角形才有底角和底边. 等腰三角形的概念： A B C 腰 腰 底边 底角 顶角 等腰三角形知识回顾 3 材料: 剪刀、一张矩形纸 方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折； （2）剪去阴影部分； （3）将剩余部分展开。 做等腰三角形 4 把刚才得到的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。猜想等腰三角形有什么性质？在白纸画任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着对折，你的猜想依然成立吗？ 观察这个三角形它是轴对称图形吗？ 你能找出它的对称轴吗？ A B C D 猜想1：等腰三角形两个底角相等。 猜想2：线段AD是△ABC的高、中线和顶角的角平分线。 折痕 小组讨论 5 A B C D 已知等腰△ABC，AB=AC,求证:∠B=∠C 解： 过A点做BC边中线AD， 在△ABD和△ACD中， AB=AC AD=AD BD=CD ∴ △ABD≌△ACD ∴ ∠B=∠C { 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ∴∠BAD=∠CAD ∠BDA=∠CDA 线段AD平分∠BAC AD⊥BC 线段AD是BC边的高 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”） 证明 6 A B C D 1、如图，AB=AC ,AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？ 3个 △ABC（AB=AC） △ADB（AD=BD） △BDC （BD=BC） 课堂测试 7 2、判断（概念理解） 1.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。 2.有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°。 3.等腰三角形的底角都是锐角。 4.钝角三角形不可能是等腰三角形。 课堂测试 8 3、在△ABC中，已知AB=AC，且∠B=75°，则∠C=___，∠A=____。 ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） ∵∠B=75° （已知） ∴∠C=75° 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C 　∠A=30° B C A 75° 30° 课堂测试 9 4、若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为(        ) A．40° B．50 ° C．60 ° D．65 ° 【详解】 ∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°， ∴底角=（180°-50°）÷2=65°． 故选：D． 课堂测试 10 5、如果一个等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长为( ) A．17 B．22 C．17或22 D．无法计算 【分析】 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：（1）若4为腰长，9为底边长， 由于4+4＜9，则三角形不存在； （2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为9+9+4=22． 故选：B． 课堂测试 11 6、等腰三角形的一个外角为110°，则它的顶角的度数是（　） A．40° B．70° C．40°或70° D．以上答案均不对 【详解】 解：∵等腰三角形的一个外角是110°， ∴与这个外角相邻的内角是180°﹣110°＝70°， ①当70°角是顶角时，它的顶角度数是70°， ②当70°角是底角时，它的顶角度数是180°﹣70°×2＝40°， 综上所述，它的顶角度数是70°或40°． 故选：C． 课堂测试 12 7、已知等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为 （ ） A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或6cm 【详解】 当3cm是等腰三角形的腰时，底边长=12-3×2=6cm， ∵3+3=6，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 当3cm是等腰三角形的底边时，腰长= =4.5cm． ∴底为3cm， 故选：A． 课堂测试 13 8、如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．45° 【详解】 ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠DAB＝∠B+∠C＝50°， ∴∠B＝25°， 故选：A． 课堂测试 14 ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° 在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角=180° 小结 15 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text （等腰三角形性质） 16 13.3等腰三角形 （等腰三角形判定） 第13章 轴对称 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 17 前 言 学习目标 1、探索等腰三角形判定定理。 2、理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。 重点难点 重点：理解和运用等腰三角形的判定定理。 难点：等腰三角形判定定理的探索和应用。 18 ①等腰三角形的两个底角相等,（简写成“ ”） ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称“ ”） ③等腰三角形是 图形。 等边对等角 三线合一 轴对称 1、等腰三角形的定义：___________的三角形是等腰三角形。 有两边相等 2、等腰三角形的性质： 等腰三角形性质回顾 19 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ A B C 猜想：若∠B= ∠C,则AB=AC 思考 20 已知：△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC A B C 证明： 作∠BAC的平分线AD 在△BAD和△CAD中， ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD ∴ △BAD≌△CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等） 1 2 D 证明 21 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 几何书写： ∵∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）。 注意： 1、用“等角对等边”前提是在同一个三角形中。 2、等腰三角形的定义也可以当做等腰三角形的判定。 A B C 等腰三角形的判定定理 22 等腰三角形的性质定理与判定定理有什么区别? 性质定理：等边对等角。 判定定理：等角对等边。 区别 等边 等角 等角 等边 23 1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC 求证：AB=AC A B C D E 1 2 证明： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B (两直线平行同位相等) ∠2=∠C（两直线平行内错角相等） ∵∠1=∠2，∠1=∠B，∠2=∠C ∴AB=AC（等角对等边）。 ∴ ∠B =∠C 课堂测试 24 2.已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形。 作法： （1）作线段AB =a； （2）作线段AB 的垂直平分线MN，与 AB 相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC =h； （4）连接AC，BC，则△ABC 就是所 求作的等腰三角形. D C A B M N 课堂测试 25 3.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13 【分析】判断三角形中是否有相等的角，以及根据定义，是否有相等的边即可判断． 【详解】A、∠C＝180°−30°−60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项错误； B、∠C＝180°−50°−80°＝50°，有相等的角，则是等腰三角形，B选项正确； C、∵∠A＝2∠B＝80°， ∴∠B＝40°， ∴∠C＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，C选项错误； D、∵AB＝3，BC＝6，周长为13， ∴AC＝13−6−3＝4，没有相等的边，则不是等腰三角形，D选项错误； 故答案选：B． 课堂测试 26 4.如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°， 则图中等腰三角形的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形外角性质和三角形内角和定理求出∠AOB、∠DOC、∠ABC、∠DCB，推出∠A＝∠AOB、∠A＝∠ABC、∠OBC＝∠OCB、∠D＝∠DOC、∠D＝∠DCB，根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】∵∠ACB＝∠DBC＝36°， ∴∠AOB＝∠DOC＝∠ACB＋∠DBC＝72°， ∵∠A＝∠D＝72°， ∴∠ABD＝∠DCA＝180°−72°−72°＝36°， 即∠A＝∠AOB、∠A＝∠ABC、∠OBC＝∠OCB、∠D＝∠DOC、∠D＝∠DCB， ∴△ABO、△ABC、△OBC、△DCO、△DBC都是等腰三角形. 故答案选：D． 课堂测试 27 5．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD 交于 E 点，下列结论中正确的有（ ） ①∠DAE=∠CBE ②CE=DE ③△DEA≌△CBE ④△EAB 是等腰三角形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据全等三角形的判定解题即可。 【详解】在△ABD和△BAC中 ∵∠1=∠2,∠C=∠D,AB=BA, ∴△ABD≌△BAC(AAS), 故∠DAB=∠CBA，AD=BC, ∴△DEA≌△CBE(ASA), 故∠DAE=∠CBE ,CE=DE,AE=BE, 故△EAB是等腰三角形。 课堂测试 28 B A D C 6.已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD 证明： ∵ AD ∥BC ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC ∴ ∠ABD=∠DBC ∵∠ABD=∠DBC，∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD（等角对等边） 课堂测试 29 7.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD． 证明： ∵OA=OB， ∴∠A=∠B．（等边对等角） ∵AB∥DC， ∴∠A=∠C，∠B=∠D． （两直线平行，内错角相等） ∴∠C=∠D （等量代换） ∴OC=OD（等角对等边） 课堂测试 30 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 31 13.3等腰三角形 （等边三角形） 第13章 轴对称 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 32 前 言 学习目标 1、掌握等边三角形的性质和判定方法，并能运用等边三角形的性质和判定方法解决有关数学问题。 2、通过讨论、发现和归纳等边三角形的判定方法，并用演绎推理的方法进行证实。 重点难点 重点：等边三角形的性质及判定。 难点：探索等边三角形的性质及判定。 33 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为6cm，6cm，6cm，4cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？ 6cm 6cm 4cm 6cm 6cm 6cm 思考 34 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 已知：AB=AC=BC ，求证：∠A=？,∠ B=？,∠C=?. A B C 证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 类比探究 35 A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. A B C 类比探究 36 图形 等腰三角形 （腰不一定等于底） 定义 两边相等的三角形 性 质 两个底角相等 关系 三线合一 三个角都是60º 轴对称图形（1条） 三线合一 等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 三边都相等的三角形 轴对称图形（3条） 等边三角形 小结 37 方法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.(定义) 方法2:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(定理) 满足什么条件的三角形是等腰三角形? 结合边和角来看,会有什么新的结论吗? 三条边都相等的三角形 是等边三角形(定义) 三个角都相等的三角形 是等边三角形 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形 满足什么条件的三角形是等边三角形 小结 38 将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到RT△ABC的直角边BC和斜边AB之间的数量关系吗？ A B D C ∵△ADC是△ABC的轴对称图形 ∴AB=AD, ∠BAD=2×30°=60° ∴△ABD是一个等边三角形 再由AC⊥BD 则BC=CD=AB 结论:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 探究 39 1.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） （4） （3） 课堂测试 40 2．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ） A．含60°角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【详解】 A.两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形； B. 腰对应相等的两个等腰三角形，夹角不一定相等，所以不是全等形； C. 等边三角形的每个内角都等于60°，所以边长均为5厘米的两个等边三角形，各条边相等，各个角也相等，是全等三角形； D. 一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形． 故选：C 课堂测试 41 3．下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【详解】解：①有两个角等于60°的三角形为等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形为等边三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形等边三角形. 故选：D. 课堂测试 42 4、已知直角三角形中，30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是( ) A．2厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米 【详解】 ∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米， ∴斜边的长是4厘米． 故选B． 课堂测试 43 5．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，若∠1＝34°，则∠2等于（　　） A．84° B．86° C．94° D．96° 【详解】 ∵∠3＝∠1＝34°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠4＝∠A+∠3＝94°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠4＝94°， 故选C． 课堂测试 44 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学（初中） （八年级 上） 45 $$