13.4最短路径问题 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

13.4最短路径问题 第十三章 轴对称 （第一课时） 最值问题： 最多 最少 最长 最短 最胖 最瘦 “最短路径问题” 复习1 如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短? 为什么? A B 两点之间，线段最短. 路线②最短 复习2 点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的 所有线段中，哪条最短?为什么? PC最短 垂线段最短 引例: 如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短. l A B 作法: 连接AB，交直线l于点C, 点C即为所求. 依据: 两点之间，线段最短. C 例、如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后 到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短? 你能用比较简洁、直观的数学语言翻译吗？ l A B 如图，在直线l上求作一点C，使AC+BC最短 文字语言 符号语言 图形语言 例、如图，在直线l上求作一点C，使AC+BC最短 l A B A、B在直线l的同侧 A、B在直线l的异侧 C 思考:能否通过图形的变化(轴对称、平移等)， 将问题转化为我们研究过的问题呢? C 例、如图，在直线l上求作一点C，使AC+BC最短 l A B C B’ 问题转化为： 在直线l上求作一点C, 使CA+CB’最短. 例、如图，在直线l上求作一点C，使AC+BC最短 l A B C B’ 作法: （1）作点B关于直线l的对称点B’， （2）连接AB’，交直线l于点C, 点C即为所求. 此时AC+BC最短 例、如图，在直线l上求作一点C，使AC+BC最短 l A B C B’ 思考：如何证明这条路径最短呢？ C' 在直线上另外任取一点C’， 连接AC’，BC’，B’C’ 证明：∵B和B'关于直线l对称 ∴BC=B'C,BC'=B'C'. 需证明:CA+CB<C'A+C'B 由两点之间，线段最短: ∴AB’<AC'+C'B', 即CA+CB<C'A+C'B 课堂小结： 小结: （1）将实际问题抽象成数学问题，用数学语言表达. （2）利用轴对称转移线段，将两点在直线同侧问题转 化为异侧，即两点之间，线段最短的问题. （3）用符号语言证明结论. 练习、有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A-B的路径在地面上爬行，小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置. A B C D 在线段AB上求作一点P, 使PC+PD最短. D' P 作法: (1) 作点D关于AB的对称点D'; . 此时PC+PD最短 能不能作点C关于AB的对称点呢？ (2) 连接D'C交AB于点P; 则点P即为所求的点 练、如图在等边三角形ABC中,BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点,在点E运动的过程中,存在 EB+EF 的最小值,则这个最小值是_______ A D E F B 方法: 利用轴对称转移线段，将问题转化为 研究过两点之间，线段最短的问题. 思考： B和F，作哪个点的对称点更好? 练、如图在等边三角形ABC中,BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点,在点E运动的过程中,存在 EB+EF 的最小值,则这个最小值是_______ （2）利用等边三角形的轴对称性找 到合适的对称点. 总结: （1）分析题目中的定点和动点，转 化为我们熟悉的最短路径问题. 课堂小结： 最短路径问题 如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短. 关键:利用轴对称实现线段的转移 依据:两点之间，线段最短 例、如图，在旷野上,一个人骑马从点A出发,他先使马到草地边l1吃草,再到河边l₂饮水,最后返回点A,他怎样走才能使总路程最短? 练习册P85 练习、如图，已知∠0=40°,点P为∠O内一点,点A为OM上一点,点B为ON上一点,则当△PAB的周长取最小值时，∠APB=___. 练习册P86第3题 练习、如图 ,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°, 在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN周长最小,则∠AMN+ ∠ANM=_____________ 例、如图,角形铁架zMON小于60°,A,D分别是OM,ON上的 点,为实际设计的需要,需在OM和ON上分别找出点C,B，使AB+BC+CD最短,问应如何找,并在图上表示出来. 练习、如图,某公路(视为x轴)的同一侧有A,B,C三个村庄,要在公路边建一货物中转站(在点D处)(即在x轴上找一点),向A,B,C 三个村庄运送货物,路线是D→A→B→C→D(或 D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在一点D,使送货路程之和最短.若存在,请在图中画出点D所在位置;若不存在,请说明理由. $$