精品解析：云南省楚雄东兴中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

楚雄东兴中学高二秋季期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.黑色签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线与直线平行，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 11. 平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 若，则点在平面内 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 14. 已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是______. 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点. （1）求到的距离； （2）求与平面所成角的正弦值. 17. 已知，圆是的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 给定椭圆 :，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为 （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄东兴中学高二秋季期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.黑色签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程直接确定倾斜角. 【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为. 故选：B. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 3. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则，解得. 故选：B. 5. 已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义得到的周长为,运用椭圆对称性可得，作比，结合离心率公式得到答案. 【详解】设，由椭圆定义易得的周长为， 由对称性可得，所以， 所以的周长与的比值为． 故选：B． 7. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、的长，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，，，则， 故， 在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为点为棱的中点，点是棱上的一点，且， 则、、、， ，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆有公共点，则两圆相交或相切，利用圆心距与半径的关系列不等式求实数的取值范围. 【详解】解法一： 圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆. 设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点， 得关于的不等式有解，即有解， 所以，解得或. 故选：B. 解法二： 圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆. 又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点， 所以只需圆与直线有公共点即可. 由，解得或. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线与直线平行，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：AB. 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解. 【详解】由，，得. , 由，得. 在中，由余弦定理得， 得或，所以或. 故选：AC 11. 平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 若，则点在平面内 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平方可判断A，由空间向量线性运算可判断B，通过说明，可判断C，由四点共面可判断D. 【详解】 因为，所以 ， ，故A正确; 因为，故B错误； 因为， 所以，四边形为矩形，其面积，故C正确； 因为，由于，所以四点共面， 即在平面内，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 14. 已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性及定义、余弦定理求得，再利用二倍角公式及离心率的几何意义求出离心率. 【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接， 则，又，所以， 在中，由余弦定理得， 则，即，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【小问1详解】 因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. 【小问2详解】 因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点. （1）求到的距离； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建系，由向量法得出到的距离； （2）由向量法得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 解：以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ， 所以到的距离. 【小问2详解】 设平面的一个法向量，则，即 令，解得，，故. 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知，圆是的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为,代入三点的坐标求解即可； （2）由题意可得心到直线的距离，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况分别求解即可. 【小问1详解】 解：设圆的一般方程为， 因为圆过三点， 所以，解得， 所以圆的一般式方程为． 【小问2详解】 解：由（1）可知圆心为，半径， 又被圆截得的弦长为6， 所以由垂径定理可得圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，过点， 所以的方程为，圆心到直线的距离，故满足要求． 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，又过点， 所以直线的方程为， 由点到直线的距离公式可得，解得， 直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 给定椭圆 :，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为 （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，结合面积可得，联立即可求解； （2）根据已知解设出，直线和的斜率，表示出直线方程，然后与伴随椭圆联立方程，结合韦达定理表示出和，即可得证. 【小问1详解】 由，可得， 因为的面积为，所以， 解得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，设， 直线的斜率为，直线的方程为， 直线的斜率为，直线的方程为， 所以． 由，得， 椭圆的“伴随椭圆”的方程为． 联立，可得， 设，则， ， 同理， 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查椭圆与直线相交的综合性题目，属于中档题，常用方法有：（1）数形结合思想；（2）韦达定理的使用；（3）待定系数法求方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $