精品解析：贵州省贵阳市乌当区某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度高一数学上学期期中考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行收捡好考完试后讲评. 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第四章4.2.2. 5．难度系数：0.7. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A B. C. D. 5. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 6. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C D. 7. 若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（ ） A B. C. D. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数，且的图象过定点. B. 函数与是同一函数 C. 函数，则函数的值域是 D. 已知函数的定义域为，则定义域为 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A. B. 奇函数 C. 为减函数 D. 当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则______. 13. _______ . 14. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）根据定义证明函数在区间上单调递增； （2）任意都有成立，求实数m的取值范围． 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求函数的解析式 （3）若在上恒成立，求实数的范围． 19. 已知函数. （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数m的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一数学上学期期中考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行收捡好考完试后讲评. 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第四章4.2.2. 5．难度系数：0.7. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集与交集的概念，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式即可得出结论. 【详解】易知命题，的否定是：，. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系以及小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围即可求解. 【详解】解：， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】因，故， 则， 当且仅当时取等号，由，解得， 即时，取得最小值8. 故选：B. 5. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 6. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元法，令，需注意的范围，再将用表示，代入即可． 【详解】设，则，，所以， 故选：C． 7. 若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为 所以由指数函数为增函数知，， 由幂函数在上单调递增可知，， 所以， 故选：A 8. 已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式． 【详解】因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且， 所以当时，， 当时，， 不等式，则 当时，有，即或，解得或，又，； 当时，有，即或，又，解得； 综上，不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的解析式逐项判断. 【详解】A. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； B. 偶函数，又在上单调递增，故错误； C. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； D. 是奇函数，又在上单调递减，故错误； 故选：AC 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数，且的图象过定点. B. 函数与同一函数 C. 函数，则函数的值域是 D. 已知函数的定义域为，则定义域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据同一函数，转化后即可判断；对C：利用常数分离，结合指数函数的值域即可求解；对D：根据抽象函数的定义域计算即可求得结果. 【详解】对A：令，解得，当时，，故函数恒过定点，A正确； 对B：函数与是同一函数，B正确； 对C：因为， 又因为，所以， 则函数的值域是，故C正确； 对D：若函数的定义域为，则函数， 则的定义域为，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，令，可判断A；令得，在此基础再令，可判断B；当时，，结合时，，知的单调性，可判断C；利用及奇函数为增函数，确定当时的符号，即可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴ 令，则，∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则 ∵， ∴，即，故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴ ∵，∴，又∵奇函数为增函数，∴ ， 即，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】直接依次代入分段函数表达式运算即可. 【详解】由题意. 故答案为：9. 13. _______ . 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出时函数的取值范围，再由奇函数的对称性即可得出时函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 又当时，，所以， 当时，由奇函数的对称性可知， 所以函数值域为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据指数函数的单调性解不等式求出集合B，然后再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）根据题意可得，再对分是否为空集讨论即可. 【小问1详解】 ∵或， ∴或，， 又∵， ∴，. 【小问2详解】 ：∵， 当时，，解得， 当时，∴，解得， 综上实数m的取值范围是. 16. 已知函数 （1）根据定义证明函数在区间上单调递增； （2）任意都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论，结合任意性的定义进行求解即可. 【小问1详解】 设是上任意两个实数，且，则有， ， 因为，所以， 所以， 因此函数在区间上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可知函数在区间上单调递增， 所以函数在时单调递增， 要想任意都有成立，只需， 所以实数m的取值范围为. 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】（1）年产量为吨时，最低平均成本为万元 （2）年产量为吨时，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得； （2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求. 【小问1详解】 由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． 【小问2详解】 设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求函数的解析式 （3）若在上恒成立，求实数范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出； （2）令，利用奇偶性求出时函数解析式，即可得解； （3）在恒成立，即可得到不等式，解得即可. 【小问1详解】 由的奇函数，则； 【小问2详解】 由的奇函数， 令，则， 故时，则， 又， 故 【小问3详解】 由在恒成立， 则在恒成立， 故 而在的值域， 故， 所以，即，故. 19. 已知函数. （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数m的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$