精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中检测卷（B）数学试题

2024~2025学年上海市复旦大学附属中学 高一上学期期中检测卷B数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、卡西欧计算器、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰，作答在试卷上一律不评分. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. ，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数函数值的图象性质，确定集合的交集即可. 【详解】对于函数与函数的相同， 则函数图象表示的直线平行且不重合，所以两个图象没有交集； 故. 故答案为：. 2. 若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围. 【详解】由题意得，； 当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，； 综上所述： 故答案为： 3. 甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解. 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 故答案为：或. 4. 已知实数m为常数，对于幂函数，甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在上单调递增；丙说：f(x)的定义域是，甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是错误的，则m的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或； 当时，， 此时函数是奇函数，在单调递减，定义域为， 此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，故不符合题意； 当时，， 此时函数是偶函数，在单调递增，定义域为， 此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故符合题意； 综上所述，的取值集合为， 故答案为： 5. 若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 6. 已知正实数a，b；若，则的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】由得，则，，代入后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，得，则，即，同理可得； 因此，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立； 故答案为： 7. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 8. 已知函数在上都是严格减函数，则对于，f(1)___0.（选填“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”） 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性得实数的取值范围，进而判断的符号. 【详解】由函数在上都是严格减函数，得，即； 对于函数，有， 故答案为： 9. 设为实数，函数是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义在上的奇函数的性质可得，进而结合奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，函数在上为奇函数，， 所以，即， 则时，， 所以时，，则，即， 即. 故答案为：. 10. 下列关于不等式的命题是假命题的序号为______.（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【答案】（3）（4） 【解析】 【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）. 【详解】对于（1），由得， 则成立且， 故，即成立，因此（1）为真命题； 对于（2），当不成立时，有成立，即或，故（2）为真命题； 对于（3），， 显然，当时，不成立，故（3）为假命题； 对于（4），假设，，此时，满足，不满足，故（4）为假命题； 故答案为：（3）（4） 11. 若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为______. 【答案】或或或 【解析】 【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可. 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 12. 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的，已知常数，若函数与在上是“密切”的；则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为与在上是“密切”的， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 因为，，所以由指数函数的单调性得，， 所以在上恒成立； 根据对勾函数的性质可得，函数在上单调递增， 又因为，且，所以函数在上单调递增； 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以，即， 所以，解得，即， 所以，解得； 而,故 故答案为： 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（ ） A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用常见的幂函数和可说明不充分，再说明必要性即可. 【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点， 自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以； 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上所述，命题是命题的必要不充分条件. 故选：B 14. 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 15. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项. 【详解】由得的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，排除A，D；由题易知，图中两条虚线的方程为，则当时，，排除C，所以B选项符合. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在上的解析式可表示为：，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ） ①狄利克雷为偶函数；②狄利克雷为奇函数；③狄利克雷函数值域为；④对于任意，均有.⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出.⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点. A. ①③④⑥ B. ②③⑤ C. ①④ D. ①④⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断①②；求得值域判断③；分类计算可判断④；根据狄利克雷函数特点可判断⑤；取特殊点可判断⑥. 【详解】由于， 设任意，则，； 设任意，则，； 总之，对于任意实数，恒成立，所以狄利克雷函数为偶函数；故①正确，②错误； 函数的值域为，故③错误； 当时，，可得， 当时，，， 所以对于任意，均有，故④正确； 因为在两个有理数之间有无数个无理数，在两个无理数之间有无数个有理数， 故狄利克雷函数的图像不可以通过列表描点法画出，故⑤错误； 取，此时为等边三角形，故⑥错误. 故选：C 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. （1）设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； （2）已知，且，若，，求：的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【小问1详解】 因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. 【小问2详解】 由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 18. 对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： （1）已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； （2）求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【答案】（1） （2） 由题意，， 因为，所以，则； ①当时，在区间上，则，即， 在区间上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； ②当时，在区间上，则，即， 上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； 综上所述，对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素， 则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【解析】 【分析】（1）由题意知函数的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可； （2）利用作差法比较的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式. 【小问1详解】 令，由函数的值域为，得； 当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，解得， 则实数a的取值范围是. 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. （1）当k变化时，试求不等式的解集A； （2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或}； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝{x|<x<4}． （2）能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3} 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集. （2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号， 所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少， 此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 20. 某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. （1）设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； （2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1），定义域为 （2）40万套， 520万元 【解析】 【分析】（1）根据分段代入计算即可； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 所以，且定义域为. 【小问2详解】 当时，生产线利润，易知二次函数开口向下，对称轴， 所以当时，有最大，最大值为500； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为520； 综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元 21. 设，则称为的“域反函数”. （1）若，若是幂函数，求：的“域反函数”的定义域与值域； （2）若，试判断的“域反函数”的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）； （3）是否存在整数a使得 (其中a，c为常数，b为素数)的“域反函数”在R上为偶函数，且满足恒成立，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）定义域为，值域为 （2）函数为奇函数，猜想：为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数，为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. （3） 不存在整数满足题意，理由如下： 由（2）可知是偶函数，又为素数，则，故， 又由恒成立，得，解得， 故不存在整数满足条件. 【解析】 【分析】（1）根据函数是幂函数可得实数的值，根据域反函数的定义以及常见幂函数的定义域和值域可求函数的定义域和值域； （2）根据函数奇偶性的定义判断，再据此给出猜想即可； （3）根据（2）可得函数为偶函数，则，利用二次函数的图象与性质列不等式，解得，进而判断. 【小问1详解】 由函数是幂函数，得，解得，则， 因此函数，由域反函数的定义得： 当时，，此时自变量应满足； 当时，，此时自变量应满足，解得； 综上，的域反函数的定义域为，且， 当时，由幂函数的性质可知； 当时，幂函数单调递增，则； 因此函数的值域为，即函数的域反函数的值域为. 【小问2详解】 由，得， 根据定义得，化简得， 故函数的定义域为，又，则函数为奇函数； 又函数的定义域为，且，则函数为奇函数； 猜想：为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数，为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. 证明如下： 若是奇函数，所以当时，有，即. 同理，当时，有，即. 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，由于是奇函数，所以， 那么，也满足， 所以对于所有在其定义域内的x，都有，所以是奇函数. 类似地，可证明当是奇函数时，是奇函数， 所以为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数， 同理可证：为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市复旦大学附属中学 高一上学期期中检测卷B数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、卡西欧计算器、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰，作答在试卷上一律不评分. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. ，则_______ 2. 若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为_______. 3. 甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为___________ 4. 已知实数m为常数，对于幂函数，甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在上单调递增；丙说：f(x)的定义域是，甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是错误的，则m的取值集合为________. 5. 若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 6. 已知正实数a，b；若，则的最小值为________. 7. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 8. 已知函数在上都是严格减函数，则对于，f(1)___0.（选填“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”） 9. 设为实数，函数是奇函数，则______． 10. 下列关于不等式的命题是假命题的序号为______.（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 11. 若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为______. 12. 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的，已知常数，若函数与在上是“密切”的；则的取值范围为_____. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（ ） A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也非必要 14. 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ） A. B. C. D. 15. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在上的解析式可表示为：，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ） ①狄利克雷为偶函数；②狄利克雷为奇函数；③狄利克雷函数值域为；④对于任意，均有.⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出.⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点. A. ①③④⑥ B. ②③⑤ C. ①④ D. ①④⑥ 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. （1）设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； （2）已知，且，若，，求：的值. 18. 对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： （1）已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； （2）求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 19. 已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. （1）当k变化时，试求不等式的解集A； （2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 20. 某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. （1）设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； （2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 21. 设，则称为的“域反函数”. （1）若，若是幂函数，求：的“域反函数”的定义域与值域； （2）若，试判断的“域反函数”的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）； （3）是否存在整数a使得 (其中a，c为常数，b为素数)的“域反函数”在R上为偶函数，且满足恒成立，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $