专题17 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题之五大考点-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题17 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题之五大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】 1 【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】 7 【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 17 【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 32 【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 36 【典型例题】 【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】 例题：（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2)22 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先证明，然后即可得到，，然后再根据点的坐标为，点的坐标为，即可得到点的坐标； （2）由图可知，代入相关数据即可求解． 【详解】（1）解：作轴于点，作轴于点，如图所示， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 点的坐标为； （2）由题意得： ． 【变式训练】 1．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，，．    (1)如图①，则三角形ABC的面积为______； (2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积． 【答案】(1)6； (2)9 【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． （1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）由平移的性质可得点坐标；①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可． 【详解】（1）解：∵O为原点，点，，． ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6； （2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，， ∴得到对应点坐标为， 连接，过点作轴于点，过点作轴于点，      ∵， ∴，， ∴ ； 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【知识点】坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由坐标可得，轴，轴，根据计算即可； （2）连接，分两种情况：当点B在左侧时，点B在右侧时，分别画出图形，根据面积关系求解即可； （3）先求出，结合（2）得到的关系建立方程，求出的值，再结合面积求出点D的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴ （2）连接，当点B在左侧时，如图所示， 当时，解得： 此情况t的取值范围是； 当点B在右侧时，如图所示， 此情况t的取值范围是； 综上可得：； （3）法一：如图，当与延长线相交时， ∵ ∴ ∴，，， ∴ ∴， 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得：， ∴； 法二：设 当与延长线相交时，如图所示， ∵ ∴ 设，则 ∵，， ，则 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得： 此时点B坐标是（，2）则= 解得：， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形的面积，与坐标轴平行的点的坐标特征，三角形的面积公式，根据坐标特征求出面积是解题的关键． 【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且满足：． (1)请求出点、点的坐标； (2)连接，当轴时，求的值； (3)在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是8，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)在坐标轴上存在点，使得三角形的面积是8，或或或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、代入消元法、坐标与图形 【分析】本题主要查了非负数的性质，坐标与图形： （1）根据非负数的性质可得，从而得到a，b的值，即可求解； （2）根据轴，即可求解； （3）根据题意，分两种情况：①当点在轴上；②当点在轴上，即可求解． 【详解】（1）解：， ，解得， 点，点， ，； （2）解：，， 当轴时，； （3）解：存在， 根据题意，分两种情况：①当点在轴上；②当点在轴上； 当点在轴上，分点D在点A左、右两种情况，如图所示： 设， 三角形的面积是8，，， ，即， 解得或， 则或； 当点在轴上，分点D在点B上、下两种情况，如图所示： 设， 三角形的面积是8，，， ，即， 解得或， 则或； 综上所述，在坐标轴上存在点，使得三角形的面积是8，则或或或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知，，，四个点． (1)在图中描出，，，四个点，顺次连接，，，，； (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在y轴上存在，使． 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据题意画出图象即可； （2）先计算出．设在轴上存在点，使，列方程计算即可得出答案． 【详解】（1）解：画出图象如图所示： ； （2）解：∵． 设在轴上存在点，使， ∴，即， 解得：，， ∴在y轴上存在，使． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的坐标为：或或． 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求解，可得，从而可得答案； （2）先求解，可得，设，可得，再利用面积公式建立方程求解即可； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论：当，此时重合，当，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点D在y轴上， ∴设， ∴， ∵，且满足， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：当重合时，为直角三角形， ∴； 如图，当时，设， ∴，而， ∴， 解得：， ∴， 当时，设， 同理可得： ， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或或． 3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是、，且、满足方程组，为轴正半轴上一点，且．    (1)求、、三点的坐标； (2)是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若是的中点，是上一点，，连结、，与交于点，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、坐标与图形、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查坐标与图形，三角形的面积和解二元一次方程组， （1）解出方程组即可得到点，的坐标，利用，求出点的坐标； （2）利用，求出点的坐标即可； （3）根据点是的中点得，根据得，设，，，得，求解后代入计算即可；解题的关键是根据三角形之间面积的关系建立二元一次方程组． 【详解】（1）解：方程组， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵为轴正半轴上一点，且， ∴， 解得：， ∴； （2）存在． ∵，使， ∴， 解得：， ∴当点的坐标为或时，； （3）∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， 设，，， ∴， 解得：， ∴． ∴四边形的面积为． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．      (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或或或 【知识点】绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案； （2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案； （3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：过点作，交轴于点，如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ，分别平分，，， ，， ，， ； （3）解：存在． 理由如下：连接，如图所示：    设， ， ，解得， 点坐标为， ，，， ∴， 当点在轴上时，设， ， ，解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设，则，解得或， 此时点坐标为或， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，角平分线的定义，角的和差关系，三角形的面积等知识，利用分割法表示三角形的面积是解题的关键． 【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 例题：（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)是，理由见详解 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）由“长距”的定义求出的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （2）解：点的长距为5，且点Q在第三象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 点是“完美点”． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的关联点． (1)在，，中，的关联点是_____； (2)如图2，若为内一点，且为的关联点， 当_____时，；此时，_____； (3)直线为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)30，15 (3) 【知识点】坐标与图形、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据、和之间的距离公式以及关联点定义解答即可； （2）由题意易知，进而可求得，则可得出，根据等角对等边和关联点定义即可证得结论； （3）由题意，在关联点P满足或或三种情况，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，关于y轴对称，点在y轴上， ，故是的关联点； ， ， ，故是的关联点； ， ， ， ， ∴故不是的关联点， 综上，的关联点是、， 故答案为：、； （2）解：∵点，，， ，，， ， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上，，若，此时P与C重合，不合题意； 若，则点P在线段的垂直平分线上，若，此时P在外， 不合题意； 若，则， 设， ，， ， ， ， ， 故答案为：30，15； （3）解：由题意，的关联点P满足或或三种情况， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上， 若，则点P在线段的垂直平分线上； 若，则点P在以点A为圆心，即长为半径的圆上， 如图，设的中点为G，则G的坐标为， 由图可知，当直线l为过点G和过点且与轴平行的直线在x轴之间时，直线上存在的三个关联点， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查两点之间距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点的坐标为，则称点为点的“伴动点” (1)已知点，则点的“伴动点”的坐标为______； (2)已知点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行时，此时的值为______； (3)已知点，点与它的“伴动点”所在的直线与轴交于点， ①若、、三点中有一点是连接其他两点所得线段的中点时，求的值； ②点坐标为，以原点为中心作正方形，当线段与正方形的边有公共点（含端点）时，直接写出此时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①若是中点，；若为中点，；若为中点，；②或 【知识点】坐标与图形、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了坐标与图形，不等式组，坐标中点的定义，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据“伴动点”的定义求解即可； （2）根据题意可得，即可求解； （3）①分三种情况：若为中点，若为中点，若是中点，根据中点坐标列方程即可求解；②分两种情况讨论：当点、在轴的正半轴时，当点、在轴的负半轴时，根据线段与正方形的边有公共点（含端点），列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：点， ，， ，， 点的“伴动点”的坐标为， 故答案为：； （2）点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行， ， 解得：， 故答案为：； （3）①若为中点，， 解得：； 若为中点，， 解得：； 若是中点，， 解得：； 综上所述，的值为或或； ②点， ， 当点、在轴的正半轴时，， 解得：； 当点、在轴的负半轴时，， 解得：； 综上所述，的取值范围或． 3．（23-24七年级下·辽宁·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点． (1)求点的“友好点”坐标； (2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度； (3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标； (4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)或； (4)或． 【知识点】坐标与图形、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了三角形的面积、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由“友好点”的意义进行计算可以得解； （2）依据题意得，由点求出它的“友好点”，再根据轴，即可判断得解； （3）依据题意，由“友好点”的意义求出，结合轴，可得、坐标，再由三角形的面积为2，求出高，进而可以判断得解； （4）依据题意，设，设，再根据“友好点”的意义，求、，又，且点在过且与轴平行的直线上，进而画出图形，结合，可求出的长，最后分类讨论即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，由“友好点”的意义， ，． 的“友好点”为； （2）解：由题意得，， 又，， 的“友好点”为． ， ∴轴． ； （3）解：由题意，的“友好点”为， ． ∵轴， ． ． ，． ． 设点到直线的距离为． ， ．． ． 故当点在直线右侧时，； 当点在直线左侧时，． 或； （4）解：由题意，点在轴上， 可设． 又点在轴上，设， ， 点的“友好点”为点， ． ，． ， 点在过且与轴平行的直线上． 如图，设点，过作轴交直线于点，则点在直线上，连接， ． ． ． ． ． 连接，则． 当点在线段上时，， 若点在点左侧，则， ， ． ． 当点在点右侧时， ， ， ． 综上所述，或． 4．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同族点．如下图中的点，两点即为同族点． (1)已知点的坐标为． 在点，，中，为点的同族点的是 ； 若点在轴上，且，两点为同族点，则点的坐标为 ； (2)已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点． 若点为线段上一点时，已知点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，直线上存在点，使得点，两点为同族点，求的取值范围； 若以，，，为顶点的正方形上存在点，使得点，两点为同族点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，；或； (2)；或 ． 【知识点】一次函数的规律探究问题、求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】（）把各点的横纵坐标的绝对值相加，得，则是A的同族点； 因为点在轴上，所以设，则，可得结论； （）首先证明点的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值，然后画出图形即可解决问题； 找出特殊位置进行判断即可； 本题考查了一次函数、同族点的定义，坐标与图形，点到坐标轴的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题． 【详解】（1）∵点A的坐标为， ∴ 则点，，中，，，， ∴点的同族点的是，， 故答案为：，； ∵点在轴上， ∴点的纵坐标为0，设，则， ∴， ∴或， 故答案为：或； （2）由题意，直线与轴交于，与轴交于， 点在线段上，设其坐标为， 则有：，，且， ∵点到轴的距离为, 点到轴的距离为，则， ∴点的同族点满足横纵坐标的绝对值之和为，即点N在图中所示的正方形上， ∵点坐标为，点在直线上， ∴； 如图， 则由题意得： 或． 5．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1) 如图1，若点，，点为，的点，连接，． ① °； ②求点坐标． (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则 ； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为2，则 ． 【答案】(1)①30；② (2)①6；②或 【知识点】其他问题(轴对称综合题)、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、坐标与图形 【分析】（1）①设点为第一象限内上一点，得出与轴的夹角为,即，则即可得出； ②过点作轴于A，过点作轴于，证明．根据是等边三角形，点，点，得出，即可求解； （2）①延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，根据定义得出是等边三角形，证明轴，得出，分别求得，解方程，即可得出； ②当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于A，过点作轴于，设关于的对称点为，则，根据含度角的直角三角形的性质得出；当时，点在点的左侧，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点， ∵为等边三角形，，，则， ,， ∵点为，的点， ∴与轴的夹角为,即， ∴， ∴， 故答案为：30； ②解：过点作轴于A，过点作轴于， ， 点为线段的点， ，，． ． 在和中， ． ，， 是等边三角形，，， ， ， ， ，， 点坐标为． （2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于A，过点作轴于， ∵点为，的点， ∴， 则是等边三角形， 过点作轴于点，则， ∴ ∵关于对称， ∴，则， ∴轴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵，则， ∵，， 则， ∴ 解得： 故答案为：． ②当时，点， 当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设A关于的对称点为，则， ∵,，，则() ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，点在点的左侧， 同理可得，，则， ∴， 解得：， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 例题：（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知， 第1次运动后，动点的坐标是； 第2次运动后，动点的坐标是； 第3次运动后，动点的坐标是； 第4次运动后，动点的坐标是； 第5次运动后，动点的坐标是； 第6次运动后，动点的坐标是； 第7次运动后，动点的坐标是； 由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是． 又， 即第2024次运动后，动点的坐标是，即． 故选：D 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是 【答案】 【分析】 本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次运动到点， 第5次接着运动到点， …， ∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， ∵， 则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶， 故答案为∶ ． 2．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题，能通过计算发现点坐标变化的规律是解题的关键． 【详解】解：根据点的运动方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可见，点的横坐标为，纵坐标为， 当时， ， ， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 …，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，解答本题的关键是找到循环规律．先根据即可得到，再根据，则，可得．即可作答． 【详解】解：由图可得，，， ∵ ∴， 即， ∴，， 故答案为： 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，有一动点从点处出发，按的规律运动，每秒走2个单位，则： （1）第3秒时，点在第 象限； （2）第2024秒时，点P所在位置的坐标是 ． 【答案】 三 【分析】根据点、、、的坐标可得出、及矩形的周长，由可得出当秒时点在点处，即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，， ∵第3秒时，行走了6个单位， ∴此时位于上，距离点有1个单位， 故在第三象限； ，周期为5秒， ， 当秒时，相当于点P第404次回到点A之后，继续行走了4秒，即8个单位， ∵， ∴此时点的坐标为． 故答案为：三，． 【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的运动规律找出当秒时点在点处是解题的关键． 【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 例题：（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交y轴于点D，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即）到点，即可求出点的坐标． 【详解】连接交y轴于点D，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 画出第5次､第6次､第7次翻转后的图形，由图可知:每翻转6次，图形向右平移4， ∵， ∴点向右平移1348（即）到点， ， ∵的坐标为， ∴的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律． 【详解】根据规律 、、、、 、、、、 ，； 每个一个循环， ， 依次规律在次循环后与纵坐标一致， 横坐标分别为：为、为、为、为； 为、为、为、为； 依次规律与横坐标为减， ∴横坐标为， 则坐标是， 故选：． 2．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标． 【详解】解：正方形边长为， ， 正方形是正方形的对角线为边， ， 点坐标为， 同理可知， 点坐标为， 同理可知，点坐标为， 点坐标为，点坐标为， ，，，， 由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即， ， 的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限， 的坐标为， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形等致死点，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 先根据矩形的性质作出旋转后的图形，然后找到C点的坐标规律，并按照规律解答即可． 【详解】解：如图：将矩形绕点A顺时针旋转， 可知：，， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次， ∴当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题之五大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】 1 【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】 7 【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 17 【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 32 【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 36 【典型例题】 【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】 例题：（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 【变式训练】 1．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，，．    (1)如图①，则三角形ABC的面积为______； (2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且满足：． (1)请求出点、点的坐标； (2)连接，当轴时，求的值； (3)在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是8，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知，，，四个点． (1)在图中描出，，，四个点，顺次连接，，，，； (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是、，且、满足方程组，为轴正半轴上一点，且．    (1)求、、三点的坐标； (2)是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若是的中点，是上一点，，连结、，与交于点，连接，求四边形的面积． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．      (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 例题：（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的关联点． (1)在，，中，的关联点是_____； (2)如图2，若为内一点，且为的关联点， 当_____时，；此时，_____； (3)直线为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，直接写出的取值范围． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点的坐标为，则称点为点的“伴动点” (1)已知点，则点的“伴动点”的坐标为______； (2)已知点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行时，此时的值为______； (3)已知点，点与它的“伴动点”所在的直线与轴交于点， ①若、、三点中有一点是连接其他两点所得线段的中点时，求的值； ②点坐标为，以原点为中心作正方形，当线段与正方形的边有公共点（含端点）时，直接写出此时的取值范围． 3．（23-24七年级下·辽宁·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点． (1)求点的“友好点”坐标； (2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度； (3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标； (4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围． 4．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同族点．如下图中的点，两点即为同族点． (1)已知点的坐标为． 在点，，中，为点的同族点的是 ； 若点在轴上，且，两点为同族点，则点的坐标为 ； (2)已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点． 若点为线段上一点时，已知点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，直线上存在点，使得点，两点为同族点，求的取值范围； 若以，，，为顶点的正方形上存在点，使得点，两点为同族点，直接写出m的取值范围． 5．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1) 如图1，若点，，点为，的点，连接，． ① °； ②求点坐标． (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则 ； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为2，则 ． 【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 例题：（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是 2．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是 ． 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 …，则点的坐标是 ． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，有一动点从点处出发，按的规律运动，每秒走2个单位，则： （1）第3秒时，点在第 象限； （2）第2024秒时，点P所在位置的坐标是 ． 【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 例题：（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$