专题特训(九)与点的坐标有关的规律探究题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

8. C [解析] ∵ 长方形ABCD 的两 条对称轴在坐标轴上,点A 在第一象 限,∴ 点C 在第三象限.∵ 长方形 ABCD 的邻边长分别为4、6,∴ 点C 的坐标为(-2,-3)或(-3,-2). 9. (-2,0) 10. (3,2) [解析] 由题意,得五边形 ABCDE 关于y轴对称,∴ 点E 和点 B 关于y 轴对称.∵ 点B 的坐标为 (-3,2),∴ 点E 的坐标为(3,2). 11. (0,0)或(0,4)或(-4,0) [解析] 如 图,根 据 题 意,得 PT= P'T,∠PTP'=90°.∵ 点P(2,2)的 关联点P'在坐标轴上,∴ 易得点P' 的坐标为(0,0)或(0,4)或(-4,0). (第11题) 12. (1) 如图所示. (2) 如图所示. (3) 如图,四边形ABCD 的面积= 4×5-12×3×3- 1 2×2×3- 1 2× 1×3-12×1×2=20-4.5-3- 1.5-1=10. (第12题) 13. (4,3) [解析] 如图,过点A 作 AM⊥BO,交BO 的延长线于点M,过 点M 作MD⊥y轴于点D,过点A 作 AE⊥DM,交DM 的延长线于点E. ∵ ∠AOB=135°,∴ ∠AOM=45°. ∴ 易得AM=OM.设AM=OM=x. ∵ OA2=12+(-7)2=50,∴ 在 Rt△AMO 中,得x2+x2=50.∴ x= 5.∴ AM =OM =5.∵ ∠E = ∠ODM=∠AMO=90°,∴ ∠AME+ ∠OMD=∠OMD+∠MOD=90°. ∴ ∠AME=∠MOD.∴ △AEM≌ △MDO.∴ AE=MD,ME=OD.设 M(m,n).∴ 1-n=-m, m+7=-n, 解得 m=-4 , n=-3. ∴ M(-4,-3).∵ OM=OB=5, ∴ 易得点M、B 关于原点对称.∴ 点 B 的坐标为(4,3). (第13题) 14. 如图,过点C作CE⊥OB 于点E, CD⊥OA 于点D,记直线l与y轴交 于点F. ∵ OC 平分∠AOB,CE⊥OB,CD⊥ OA, ∴ CD=CE,∠AOC=∠BOC. ∵ 点C 的坐标为(2,4),直线l∥ x轴, ∴ OE =FC=2,CE =OF =4, ∠ACO=∠BOC. ∴ ∠AOC=∠ACO. ∴ AC=AO. 在Rt△COD 和Rt△COE 中, OC=OC, CD=CE, ∴ Rt△COD≌Rt△COE. ∴ OD=OE=2,CD=CE=4. ∴ AD=AO-OD=AC-2. ∵ AC2=AD2+CD2, ∴ AC2=(AC-2)2+42. ∴ AC=5. ∴ AF=3. ∴ 点A 的坐标为(-3,4). (第14题) 专题特训（九）　与点的 坐标有关的规律探究题 1. C [解析] 观察发现:A1(a,b)、 A2(-b+1,a+1)、A3(-a,-b+ 2)、A4(b-1,-a+1)、A5(a,b)、 A6(-b+1,a+1)、…,∴ 依此类推, 每4个点为一组循环.∵ 2023÷4= 505(组)……3(个),∴ 点A2023 的坐 标与点 A3 的 坐 标 相 同,为(-a, -b+2). 2. (0,-675) [解析] 通过观察,可 知第3、6、9、12、…、3n(n为正整数)个点 在y轴的负半轴上.∵ 2025=3×675, ∴ 第2025个点在y 轴的负半轴上. ∴ 第2025个点的坐标为(0,-675). 3. (2023,3) [解析] 过点A1 作 x轴的垂线,垂足为B.∵ △A1A2O 是边长为2的等边三角形,∴ OB= BA2=1,A1B= 22-12=3.∴ 点 A1的横坐标为1,纵坐标为 3.由题 意,可 得 点 A2 的 横 坐 标 为 2,点 A3的横坐标为3,点A4 的横坐标为 4……∴ 点A2023 的横坐标为2023. 由题图,易得点的纵坐标每6个为一 组循环.∵ 2023÷6=337(组)…… 1(个),∴ 点 A2023 的纵坐标与点 A1 的 纵 坐 标 相 同,为 3.∴ 点 A2023的坐标是(2023,3). 4. D 5. B [解析] 根据题意画出图形如 图所 示.∵ P1(3,0)、P2(7,4), ∴ P3(8,3)、P4(5,0)、P5(1,4)、 P6(0,3)、P7(3,0)、….∴ 每6个点 为 一 组 循 环.∵ 2024÷6= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 337(组)……2(个),∴ 点P2024 的坐 标为(7,4). (第5题) 6. (1) 由题意,得点 A2 的坐标为 (a,-b),点A3的坐标为(-a,-b), 点A4 的坐标为(-a,b),点A5 的坐 标为(a,b)……可以发现,每4个点为 一组循环. ∵ 这只电子青蛙跳动99次时,得到 点A100,100÷4=25(组), ∴ 点A100 与点A4 的坐标相同,为 (-a,b). ∴ 这只电子青蛙跳动99次时,所在 点的坐标为(-a,b). (2) ∵ a<0,b>0, ∴ 点A1 在第二象限,点A2 在第三 象限,点A3 在第四象限,点A4 在第 一象限. ∵ 这只电子青蛙跳动第n次时,得到 点An+1, ∴ 若(n+1)÷4的结果正好除尽,则 此时点在第一象限;若(n+1)÷4的 结果余1,则此时点在第二象限;若 (n+1)÷4的结果余2,则此时点在第 三象限;若(n+1)÷4的结果余3,则 此时点在第四象限. 7. B [解析] 由题意,可知第1次运 动到点(0,1)、第2次运动到点(1,0)、 第3次运动到点(2,-2)、第4次运动 到点(3,0)、第5次运动到点(4,1)…… ∴ 动点P 第n次运动到的点的横坐 标为n-1,纵坐标每4次为一组循 环.∵ 2023÷4=505(组)……3(次), ∴ 动点P 第2023次运动到的点的 坐标为(2023-1,-2),即(2022,-2). 8. B [解析] 由题图,可得第1圈有 1个点,即点A1(0,0),这时a1=0;第 2圈有8个点,即点A2 到点A9(1, 1),这时a9=1+1=2;第3圈有 16个点,即点A10 到点A25(2,2),这 时a25=2+2=4……以此类推,第n 圈最后一个点为A(2n-1)2(n-1,n- 1),即a(2n-1)2=2n-2.故选项C、D 错误.由规律,可知点A2023 是在第 23圈上,且点 A2025(22,22),则点 A2023(20,22),即a2023=20+22=42. 故选项A错误.点A2024是在第23圈 上,且点 A2024(21,22),即a2024= 21+22=43.故选项B正确.综上所 述,正确的是选项B. 9. (1,44) [解析] 设这点为(x,y). 由题意,可知到点(0,1)时用了1秒, 到点(1,0)时用了3秒,到点(2,0)时 用了4秒,从点(2,0)到点(0,2)有四 个单位长度,则到点(0,2)时用了4+ 4=8(秒),到点(0,3)时用了9秒;从 点(0,3)到点(3,0)有六个单位长度, 则到点(3,0)时用了9+6=15(秒); 依此类推,到点(4,0)时用了16秒,到 点(0,4)时用了16+8=24(秒),到点 (0,5)时用了25秒,到点(5,0)时用了 35秒,到点(6,0)时用了36秒…… ∴ 在x轴上,当横坐标为偶数时,所 用时间为x2 秒,在y轴上,当纵坐标 为奇数时,所用时间为y2 秒.∵ 45× 45=2025,45为奇数,∴ 第2025秒 时 这 点 的 坐 标 是 (0,45).∴ 第 2024秒时这点的坐标是(0,44). ∴ 第2023秒时这点的坐标是(1,44). 确定点运动后的坐标 寻找沿不封闭路线运动的点 的坐标规律时,先将图形中的点按 照指定的规律、方法动起来,再写 出它们对应的坐标,从数的角度感 受其变化规律,并求得其中任意一 个特殊点的坐标. 10. (1) (16,3);(32,0). (2) ∵ 点A 的坐标为(1,3),点A1的 坐标为(-2,-3),即((-1)1×21, (-1)1×3), 点A2的坐标为(4,3),即((-1)2× 22,(-1)2×3)…… ∴ 易知点An 的坐标为((-1)n·2n, (-1)n·3). ∵ 点B 的坐标为(2,0),点B1 的坐 标为(-4,0),即((-1)1×22,0), 点B2的坐标为(8,0),即((-1)2× 23,0)…… ∴ 易知点Bn 的坐标为((-1)n· 2n+1,0). 第5章复习 ［知识体系构建］ 不变 互为相反数 互为相反数 不变 ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. (1) 如图所示. (2) 由图可知,体育场的坐标是(-4, 2),火车站的坐标是(-1,1),文化宫 的坐标是(0,-2). (3) 汽车站和花坛的位置如图所示. (第1题) 典例2 (1) 由题意,得4x=x-3,解 得x=-1. ∴ 点P 的坐标为(-4,-4). (2) ∵ 点P 在第四象限,且到两坐标 轴的距离之和为9, ∴ 4x+[-(x-3)]=9,则3x=6,解 得x=2. ∴ 点P 的坐标为(8,-1). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 90 　　专题特训（九）　与点的坐标有关的规律探究题 ▶ “答案与解析”见P45 类型一 有序数对点的坐标规律 1. 在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),我们 把P'(-y+1,x+1)叫做点P 的伴随点.已 知点A1 的伴随点为A2,点A2 的伴随点为 A3,点A3 的伴随点为A4……这样依次得 到点A1、A2、A3、…、An.若点A1 的坐标为 (a,b),则点A2023的坐标为 ( ) A. (a,b) B. (-b+1,a+1) C. (-a,-b+2) D. (b-1,-a+1) 2. 在平面直角坐标系中,下列各点按顺序依次 排列:(0,1)、(1,0)、(0,-1)、(0,2)、(2,0)、 (0,-2)、(0,3)、(3,0)、(0,-3)、….这列点 中,第2025个点的坐标为 . 3. (2023·泰安)已知△OA1A2、△A3A4A5、 △A6A7A8、…都是边长为2的等边三角形, 按如图所示的方式摆放.点A2、A3、A5、…都 在x 轴 正 半 轴 上,且 A2A3 =A5A6 = A8A9=…=1,则点A2023的坐标是 . (第3题) 类型二 沿循环封闭路线运动的点的坐标规律 4. 如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1)、 B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),动点P 从点A 出 发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B→ C→D→A→…的路线运动,当运动到第 87秒时,点P 的坐标为 ( ) (第4题) A. (3,2)B. (2,3)C. (2,1)D. (1,2) 5. 在平面直角坐标系中,动点P 从点(0,3)出 发,沿如图所示的方向运动,每当碰到长方形 OABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射 角.记点P 第1次碰到长方形的边时的点为 P1(3,0),第2次碰到长方形的边时的点为 P2(7,4)……当点P 第2024次碰到长方形 的边时,点P2024的坐标为 ( ) (第5题) A. (0,3)B. (7,4)C. (8,3)D. (1,4) 6. 一只电子青蛙从平面直角坐标系中的点 A1(a,b)处出发,第1次跳到点A1关于x轴 的对称点A2处,第2次跳到点A2关于y轴 的对称点A3处,第3次跳到点A3关于x轴的 对称点A4处……按以上规律继续跳动下去. (1) 写出这只电子青蛙跳动99次时,所在点 的坐标. (2) 如果a<0,b>0,写出这只电子青蛙跳动 第n次时所在的象限. 类型三 沿不封闭路线运动的点的坐标规律 7. (2023·石嘴山平罗二模)如图,在平面直角 坐标系内,动点P 按图中箭头所示的方向依 次运动,第1次从点(-1,0)运动到点(0,1), 第2次运动到点(1,0),第3次运动到点 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 91 (2,-2)……按这样的运动规律,动点P 第 2023次运动到的点的坐标为 ( ) (第7题) A. (2023,0) B. (2022,-2) C. (2023,1) D. (2022,0) 8. (2023·日照)数学家高斯推动了数学学科的 发展,被数学界誉为“数学王子”,据传,他在 计算1+2+3+4+…+100时,用到了一种 方法,将首尾两个数相加,进而得到1+2+ 3+4+…+100=100× (1+100) 2 . 人们借助 这样的方法,得到1+2+3+4+…+n= n(1+n) 2 (n是正整数).如图,在平面直角坐 标系中有一系列格点Ai(xi,yi),其中i=1、 2、3、…、n、…,且xi、yi 是整数.记an=xn+ yn,如A1(0,0),即a1=0,A2(1,0),即a2= 1,A3(1,-1),即a3=0,…,以此类推,则下 列结论正确的是 ( ) A. a2023=40 B. a2024=43 C. a(2n-1)2=2n-6 D. a(2n-1)2=2n-4 (第8题) (第9题) 9. ★(2023·恩施宣恩一模)如图,有一点在第一 象限及x轴、y 轴上运动,第1秒内,它从原 点运动到点(0,1),再按图中箭头所示的方向 运动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…], 且每秒运动一个单位长度,则第2023秒时这 点所在位置的坐标是 . 类型四 图形变换中点的规律 答案讲解 10. 如图,在平面直角坐标系中,第一 次将△OAB 变换成△OA1B1,第二 次将△OA1B1 变换成△OA2B2, 第三次将△OA2B2 变换成△OA3B3,顶点 坐标分别为A(1,3)、A1(-2,-3)、A2(4, 3)、A3(-8,-3)、B(2,0)、B1(-4,0)、 B2(8,0)、B3(-16,0). (1) 观察每次变换前后的三角形有何变化, 找 出 其 中 的 规 律,按 此 变 化 规 律 再 将 △OA3B3变换成△OA4B4,则点A4的坐标 为 ,点B4的坐标为 . (2) 若按(1)中找到的规律将△OAB 进行 了n次变换,得到△OAnBn,求点An、Bn 的 坐标. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　平面直角坐标系