2024年九年级中考数学复习专题05 一次方程(组)及其应用

专题05 一次方程(组)及其应用 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运用等式性质进行的变形，正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2.若代数式的值为，则等于(    ) A. B. C. D. 3.方程的解是(    ) A. B. C. D. 4.对于二元一次方程组，将式代入式，消去可以得到(    ) A. B. C. D. 5.九章算术是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成的．某次计时前如图所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是计时结束后如图所示，求此时“沙漏”中液体的高度为(    ) A. B. C. D. 7.为了增强学生的安全防范意识，某校初三班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共个，记分规则如下：每答对一个得分，每答错或不答一个扣分．小红一共得分，则小红答对的个数为(    ) A. B. C. D. 8.我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 9.五一小长假，小华和家人到公园游玩湖边有大小两种游船．小华发现艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，艘大船与艘小船一次共可以满载游客人．则艘大船与艘小船一次共可以满载游客的人数为(    ) A. B. C. D. 10.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋两种都购买共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案？(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若是方程的根，则           ． 12.二元一次方程组的解为          ． 13.若实数，满足，则           ． 14.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是          ． 15.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图，将个数填在三行三列的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则          ． 三、计算题：本大题共1小题，共24分。 16.解方程组： ；  ；   ． 四、解答题：本题共7小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知关于，的方程． 当为何值时，它是一元一次方程 当为何值时，它是二元一次方程 18.本小题分 判断下面方程组的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程． 解：，得，解得， 把代入方程，得，解得． 原方程组的解为． 19.本小题分 已知代数式是关于的二次多项式． 若关于的方程的解是，求的值； 若当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 20.本小题分 一艘轮船在相距的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用，逆流航行比顺流航行多用． 求该轮船在静水中的速度和水流速度． 若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙码头和从乙地到丙码头所用的航行时间相同，问甲、丙之间相距多少千米？ 21.本小题分 如果一个不等式组的解集中包含一个方程组的解，那么就称这个不等式组的解集为这个方程组的“船山范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程的解，因此是的“船山范围”． 下列不等式______填序号的解集是方程的“船山范围”： ；；． 若不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，求的值． 已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”，求的最小值． 22.本小题分 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，已知点的坐标是． 点的坐标是______； 画出关于轴对称的，其中点，，的对应点分别为点，，． 若点在轴上，求周长的最小值． 某商场购进商品后，加价作为销售价商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和八折，共付款元，两种商品原销售价之和为元两种商品进价分别为多少元？ 23.本小题分 数学乐园：解二元一次方程组，得：， 当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：， 设，，，那么方程组的解就是 求二阶行列式的值； 解不等式：； 用二阶行列式解方程组； 若关于、的二元一次方程组无解，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】根据等式的性质判断即可． 【详解】解：、若，当时，两边都除以无意义，故此选项不符合题意； B、若，两边都乘以，得，故此选项符合题意； C、若，得或，故此选项不符合题意； D、若，两边都乘以，得，故此选项不符合题意． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：根据题意可得， ， 解得：． 故选：． 根据题意可得，，解一元一次方程即可得出答案． 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法进行求解是解决本题的关键． 3.【答案】  【解析】移项，得， 合并同类项，得． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：将式代入式，得，即． 本题考查了代入法解二元一次方程组，将式代入式整理即可． 5.【答案】  【解析】解：设经过天相遇， 根据题意得：， ， 故选：． 设总路程为，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程大雁的路程总路程即可得出答案． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程大雁的路程总路程列出方程是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】根据液体的体积不变列方程解答． 【详解】解：圆柱体内液体的体积为： 设大圆锥的底面半径为，高为，小圆锥的底面半径为，高为，则， 由题意得，， 解得，     “沙漏”中液体的高度为， 故选：． 7.【答案】  【解析】设小红答对的个数为，由题意得，解得即小红答对的个数为． 8.【答案】  【解析】【解答】 解：设该店有客房间，房客人， 根据题意得： 故选：． 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键． 设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可． 9.【答案】  【解析】设艘大船与艘小船一次分别可载人，人，依题意，得，得故选B． 10.【答案】  【解析】设购买毛笔支，围棋副． 根据题意，得，． 两种都买，， 又、都是正整数，解得． 故是的倍数且， ，或，或，或，或，，共有种购买方案． 故选A． 11.【答案】  【解析】解：把代入方程中， 得， 解得． 故答案为：． 把代入方程中，计算即可得出答案． 本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：． 得：， 解得：， 把代入得： 解得：， 所以，方程组的解为 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】根据非负数的性质可求出、的值，进而代入数值可求解． 【详解】解：由题意知，，满足， ，， ，， ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】是关于的一元一次方程的解， ，， ． 15.【答案】  【解析】【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为，然后以此得出可知第三行左边的数字为，第一行中间的数字为，第三行中间数字为，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于可得关于，方程组，解出即可． 【详解】如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为： 可知第三行左边的数字为： 第一行中间的数字为： 第三行中间数字为 第三行右边数字为： 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于可得方程组为：   解得 故答案为： 16.【答案】解：去分母得：； 去括号得：； 移项合并同类项得：； 去分母得：； 去括号得：； 移项合并同类项得：； 系数化为得：； 原方程组可化为： 得：， ， 将的值代入得：， 则， 所以原方程组的解为：； 原方程组可化为： 由得：， 将代入得：， 解得：， 将的值代入得：， 所以原方程组的解为：．  【解析】本题主要考查了一元一次方程的解法和二元一次方程组的解法熟练掌握一元一次方程的解法步骤和二元一次方程组的解题方法是解题的关键． 先将方程进行去分母，再进行去括号，移项合并同类项，最后将系数化为即可，注意去分母时没有分母的项也要乘最简公分母； 先将方程进行去分母，再进行去括号，移项合并同类项，最后将系数化为即可，注意去分母时没有分母的项也要乘最简公分母； 先将方程组化为一般形式，再直接用即可得出的值，将值代入得出的值即可； 将变形为，再将代入即可得出的值，进一步得出的值即可． 17.【答案】解：由题意得，解得或． 当时，，此时方程为一元一次方程． 当时，原方程可化为，此时方程为二元一次方程．   【解析】略 18.【答案】解：上述解法不正确． 正确解题过程如下： ，得，解得， 把代入方程，得，解得． 原方程组的解为．  【解析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 19.【答案】解：代数式是关于的二次多项式， ，且， ， 关于的方程的解是， ， ， ，解得； 当时，代数式的值为， 将代入，得， 整理，得， ， 由，得， ，得，系数化为，得， 把代入，解得， 原方程组的解为 ． 将代入，得．  【解析】本题考查了代数式求值，多项式以及一元一次方程的解的定义，根据“二次多项式”的定义得到是解题的关键． 根据二次多项式的定义表示出、的关系，再把代入方程得到关于的一元一次方程，然后求解即可； 把代入得到一个关于、的方程，然后联立解方程组求出、的值，然后求出，再把代入进行计算即可得解． 20.【答案】【小题】设该轮船在静水中的速度是，水流速度是根据题意，得解得答：该轮船在静水中的速度是，水流速度是． 【小题】设甲、丙之间相距，则乙、丙之间相距根据题意，得，解得答：甲、丙之间相距．   【解析】 见答案  见答案 21.【答案】  【解析】解：由题意，方程的解为：， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， 不等式的解集是方程的“船山范围”； 由题意，解不等式组的得：， 不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数， 方程的解为， 解方程得，， ， 解得； 由题意，解不等式组的得：． 是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值为． 分别解不等式和解一元一次方程，再根据“船山范围”的定义即可判断； 解不等式组得出，再根据题意得到方程的解为，求出方程的解得到，进而求解即可； 解不等式组得出，再根据“船山范围”的定义得出，由可知，代入的得，结合的取值可得答案． 本题主要考查了二元一次方程，一元一次方程和不等式组，熟练掌握以上知识点是关键． 22.【答案】  【解析】解：由图可得，点的坐标是． 故答案为：． 如图，即为所求． 连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， ， 即周长的最小值为． 设两种商品进价分别为元、元，则两种商品原销售价分别为元、元． ， 解得， 两种商品进价分别为元、元． 由图可得答案． 根据轴对称的性质作图即可． 连接，交轴于点，连接，则周长的最小值即为的值，利用勾股定理计算即可． 设两种商品进价分别为元、元，则两种商品原销售价分别为元、元．根据题意可列方程为，利用加减消元法解方程即可． 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质以及根据题目的等量关系正确列出方程． 23.【答案】解：由题意可得， ， 即的值是； 由得， ， 解得：， 不等式的解集为； 由题意可得， ， ， ， ， ， 方程组的解是． 若关于、的二元一次方程组无解，则， ， ．  【解析】根据题意可以直接算出二阶行列式的值； 根据公式得不等式，解不等式即可； 根据题意可以算出、，，从而可以求得、的值，本题得以解决； 根据公式，当等于时方程组无解，即可求出的值． 本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程，解题的关键是明确题目中的新定义，根据新定义可以解决相关的问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$