2024年九年级数学中考复习专题 04 整式与因式分解

专题 04 整式与因式分解 1.计算(    ) A.                            B.                          C.                         D. 2.下列整式中，是二次单项式的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如果是完全平方式，那么的值是(    ) A. B. C. D. 5.下列因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 6.电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于(    ) A. B. C. D. 7.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，，按此规律排列下去，则第个图案中菱形的个数为(    ) A. B. C. D. 8.将克含糖的糖水与克含糖的糖水混合，混合后的糖水含糖(    ) A. B. C. D. 9.如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(    ) A. B. C. D. 10.对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为若是“相随数对”，则(    ) A. B. C. D. 11.已知是关于，的七次单项式，则的值为           12.分解因式：          ． 13.已知，则           ． 14.地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是          用科学记数法表示，保留位有效数字 15.古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是，第二个三角形数是，第三个三角形数是，图的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是，第二个正方形数是，第三个正方形数是，由此类推，图中第五个正六边形数是          ． 16.因式分解： 17.已知，求的值． 18.观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式：________； 写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并证明． 19.阅读下列题目的解题过程： 已知、、为的三边，且满足，试判断的形状． 解： 是直角三角形 问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； 错误的原因为：__________； 本题正确的结论为：__________． 20.设是一个两位数，其中是十位上的数字例如，当时，表示的两位数是． 尝试： 当时，； 当时，； 当时， ； 归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由． 运用：若与的差为，求的值． 21.南山植物园中现有，两个园区．已知园区为长方形，长为米，宽为米；园区为正方形，边长为米． 请用代数式表示，两园区的面积之和并化简． 现根据实际需要对园区进行整改，长增加米，宽减少米，整改后园区的长比宽多米，且整改后两园区的周长之和为米． 求，的值； 若园区全部种植种花，园区全部种植种花，且，两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：   投入元米 收益元米 求整改后，两园区旅游的净收益之和．净收益收益投入 22.在学习“乘法公式”时，育红中学七班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段和，把大正方形分成四部分如图所示． 观察发现 请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： ． 类比操作 请你作一个图形验证：． 延伸运用 若，如图中阴影部分的面积和为，求的值． 23.阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解：原式 例：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： 分解因式：；； 已知的三边，，满足，试判断的形状． 24.【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图的长方形 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ； 比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： 用字母表示 【应用】请应用这个公式完成下列各题 计算： 【拓展】结果的个位数字为_____； 计算： 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： 故选D 2.【答案】  【解析】解：是多项式；是二次单项式；的次数是；的次数是． 3.【答案】  【解析】【分析】由合并同类项可判断，由同底数幂的乘法可判断，由积的乘方运算可判断，由幂的乘方运算可判断，从而可得答案． 【详解】解：，故 A不符合题意； ，故 B不符合题意； ，故 C符合题意； ，故 D不符合题意； 故选： 4.【答案】  【解析】解：， 在中，． 故选：． 这里首末两项是和个数的平方，那么中间一项为加上或减去和乘积的倍，故：． 本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解． 5.【答案】  【解析】，，故该选项不符合题意 ，，故该选项符合题意 ，，故该选项不符合题意 ，与没有公因式，不能因式分解，故该选项不符合题意 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查同底数幂的乘法运算的应用，解题的关键是熟记运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据，，，之间的换算关系列出算式，再进行计算即可． 【解答】 解：由题意，得： ， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】根据第个图案中菱形的个数：；第个图案中菱形的个数：；第个图案中菱形的个数：；第个图案中菱形的个数：，算出第个图案中菱形个数即可． 【详解】解：第个图案中菱形的个数：； 第个图案中菱形的个数：； 第个图案中菱形的个数：； 第个图案中菱形的个数：， 则第个图案中菱形的个数为：，故 C正确． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 根据克含糖的糖水与克含糖的糖水混合，可知含糖的质量为，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以即可． 本题考查列代数式分式，解答本题的关键是明确混合前后糖的质量等于混合前的质量之和，糖水前后总质量相等． 【解答】 解：由题意可得， 混合后的糖水含糖：， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：由图可知， 图的面积为：， 图的面积为：， 所以． 故选：． 根据图形可以用代数式表示出图和图的面积，由此得出等量关系即可． 本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 10.【答案】  【解析】解：因为是“相随数对”， 所以， 所以， 即， 所以 ， 故选：． 根据是“相随数对”得出，再将原式化成，最后整体代入求值即可． 本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】根据单项式次数的定义即可求出的值，再将代入后面的式子即可得出答案． 【详解】是关于，的七次单项式 解得 综上所述： 将代入 故答案为． 12.【答案】  【解析】【分析】先提取公因式，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为，分别求得的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为立方千米， 地球的体积约是太阳体积的倍数是：． 故答案是：． 15.【答案】  【解析】根据题意得，题图中第五个正六边形数是． 16.【答案】   【解析】【分析】利用提公因式法分解因式求解即可； 利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可； 首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解； 首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可． 【详解】 ； 设， 原式 ； ； ． 17.【答案】，  【解析】【分析】先将代数式化简，根据可得，整体代入即可求解． 【详解】原式 ． ， ． 原式 ． 18.【答案】解：； 第个等式：， 证明：左边， 右边 ， 左边右边． 等式成立．  【解析】【分析】 本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 根据题目中等式的特点，可以写出第个等式； 根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开并合并同类项，判断是否相等，即可证明猜想． 【解答】 解：因为第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 故答案为：； 见答案． 19.【答案】； 没有考虑的情况； 是等腰三角形或直角三角形．  【解析】【分析】根据等式的性质进行判断即可； 根据题目中到可知没有考虑的情况； 根据，写出正确的结论即可． 【详解】解：由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：， 故答案为； 错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为，即没有考虑的情况， 故答案为没有考虑的情况； 由可知，本题正确的结论为：是等腰三角形或直角三角形， 故答案为是等腰三角形或直角三角形． 20.【答案】； 相等，证明见解析；   【解析】【分析】仔细观察的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； 由再计算，从而可得答案； 由与的差为，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 解：相等，理由如下：   与的差为，   整理得：即 解得：  ， 21.【答案】解：，两园区的面积之和： 平方米 答：、两园区的面积之和为平方米； 整改后的长为： 米， 整改后的宽为： 米， 依题意有： 解得． 由题意得：平方米， 平方米， 元． 答：整改后、两园区旅游的净收益之和为元．   【解析】【分析】根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算、两园区的面积，再相加即可求解； 根据等量关系：整改后区的长比宽多米；整改后两园区的周长之和为米；列出方程组求出，的值； 代入数值得到整改后、两园区的面积之和，再根据净收益收益投入，列式计算即可求解．【详解】 22.【答案】； 如图所示：  ． ．   【解析】【分析】第一种方法为：大正方形面积边长的平方，第二种表示方法为：两个小正方形的面积两个长方形的面积． 根据多项式画出图形，即可解答． 由题意可知，，，将化简得，两边同时平方，将代入计算即可． 【详解】 如图所示： ． 由题意可知，，， ． ， ， ． 23.【答案】解： ； ； ， ， ， ， ，，是的三边， ， ， ， 即是等腰三角形．   【解析】【分析】将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解； 将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解； 将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断． 24.【答案】图：；图： ； 应用：； 拓展：；   【解析】【分析】图阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图阴影部分的面积为长为，宽为的长方形的面积； 由图和图的面积相等，可得到 应用：利用添括号法则，将看做一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可； 拓展：在所求式子前面添加，利用平方差公式逐步计算即可； 利用平方差公式，每前后两个数的平方差先计算，再进行计算即可． 【详解】解：图：；     图：． ． 【应用】    第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$