精品解析：山东省德州市乐陵市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年山东省德州市乐陵市八年级（上）期中 数学试卷 一、单项选择题（共12题，共48分） 1. 如图所示图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，在 中， 边上的高为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：由图可得： 在 中， 边上的高为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟练掌握此定义是解题的关键． 3. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 5cm，6cm，11cm C. 3cm，4cm，8cm D. 5cm，6cm，10cm 【答案】D 【解析】 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【详解】解：A、2+3=5，不能构成三角形； B、5+6=11，不能构成三角形； C、3+4＜8，不能构成三角形； D、5+6＞10，能构成三角形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以． 4. 如图，已知平分，是上一点，于 ，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点 ，设点为上某一点，连接，由角平分线的性质推出，由垂线段最短得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点 ，设点为上某一点，连接， ∵平分，于 ， ∴， ∵， ∴点与射线上某一点连线的长度可以是． 故选：B． 5. 若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】C 【解析】 【分析】从n边形的一个顶点可以作条对角线. 【详解】解：∵多边形从每一个顶点出发都有条对角线， ∴多边形的边数为6+3=9， ∴这个多边形是九边形． 故选：C． 【点睛】掌握 边形的性质为本题的关键. 6. 如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交于点Q,点P是直线MN上任意一点,下列判断错误的是( ) A. AQ=BQ B. AP=BP C. ∠MAP=∠MBP D. ∠ANM=∠NMB 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可判断． 【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴AP=BP，AQ=BQ， ∵点P是直线MN上的点， ∴∠MAP=∠MBP， ∴A，B，C正确，D错误， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 7. 如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段 的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段 的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键． 根据两人作图的过程即可对选项作出判断． 【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段 的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段 的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意； 琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段 的长，第二步作图时，截取的长度是线段 的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：C． 8. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ， 两边中线的交点处 B. ， 两边垂直平分线的交点处 C. ， 两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段 的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段 的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 9. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ） A. 图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D. 图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数学原理在实际生活中的运用，根据直线的性质、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）中用数学原理为：两点确定一条直线，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意； D．图（4）中编号为③的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； 故选D． 10. 如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　） A. α﹣β B. 2（α﹣β） C. α﹣2β D. （α﹣β） 【答案】D 【解析】 【分析】先将∠BAC用α和β表示出来,再算出∠EAC,在直角三角形中利用两锐角互余的性质解出∠DAE即可. 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣（α+β）， 在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣β﹣90°+（α+β）＝（α﹣β）， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形中的角度计算,关键在于正确利用角平分线和直角三角形两锐角互余的性质. 11. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解： 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：D． 12. 如图所示，在等边三角形内有一点D，连接 、，以 为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得到，，判断①②，结合等边三角形的性质判断③④，即可得出结论． 【详解】解：∵ ，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，故①②正确； 若，则：， ∴， ∴，故③正确； 当B、D、C三点共线时，则点D在线段 上，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故不可能等于，故④错误； 综上：正确的有3个； 故选：C． 二、填空题（共6题，共24分） 13. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．直接利用平面内两点关于 轴对称点的性质分析求解,平面内两点关于 轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：关于 轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图所示的方格中，______度． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理．根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．标注字母，然后根据网格结构可得与所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出的度数；再根据所在的三角形是等腰直角三角形可得，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 15. 如图，，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接利用三角形的外角的性质得出，再利用全等三角形的性质得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质以及三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质以及三角形的外角的性质是解题的关键． 16. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为 ，点 、在这把直尺上的刻度读数分别是，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理，平行线的性质，等角对等边； 过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于，作于点M 由题意得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是、， ， 的长度是． 故答案为：． 17. 若等腰三角形的一边长为6，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和构成三角形的条件，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 分6为等腰三角形的腰长和底边长两种情况计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为6，且腰长是底边长的， ①如果腰长为6，则底边为：， ∴等腰三角形的三边为6、6、9，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为：； ②如果底长为6，则腰长为：， ∴等腰三角形的三边为6、4、4，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为：． 故答案为：或． 18. 如图，在中，点A的坐标为，点 的坐标为，点的坐标为，且与全等，点 的坐标是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．分，两种情况，根据全等三角形的性质，坐标与图形的性质解答． 【详解】解：如下图所示， 当时，和关于 轴对称， 点 的坐标是， 当时，的高的高，， ， 点的坐标是或， 故答案为：或或． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 是 的中点，，求证：． 【答案】 证明：∵是 的中点， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】略 20. 小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对． （1）通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？ （2）若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数； （3）若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）多边形的边数为5或6． 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形内角和定理是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理计算求出n的值，n应为整数，据此判断即可； （2）这个外角的度数为α，根据题意列出，求解即可； （3）设这个多边形的边数为 ，没有加上去的内角的度数为，则这个内角所对应的外角为，根据题意列出，求得，再根据0°＜β＜180°且n为整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得， ∵ 应为整数， ∴小明计算的结果不对； 【小问2详解】 解：设这个外角的度数为 ， 根据题意得，， 解得， 即这个外角的度数为； 【小问3详解】 解：设这个多边形的边数为n，没有加上去的内角的度数为β，则这个内角所对应的外角为180°﹣β， 根据题意得，， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵ 为整数， ∴或， 即该多边形的边数为 或． 21. 如图， 与 相交于点O，，，． （1）求证； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【小问1详解】 证明：在与中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 22. 下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线，上截取； （2）分别作，的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是，的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： （1）小亮思考过程的依据1、依据2分别是______、______． （2）请将辅助线及小亮的思考过程补充完整． （3）请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、等量代换 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，等量代换即可求解； （2）利用判定即可； （3）方法不唯一，正确即可． 【小问1详解】 垂直平分线的点到线段两端点的距离相等， 又 、分别是，的垂直平分线， ，． （等量代换）． 【小问2详解】 , ． ， 是的角平分线． 【小问3详解】 ①以点 为圆心画圆，交于点 ，交于点，连接 ； ②分别以点 、点为圆心，大于为半径长作圆，则有两圆交点； ③连接则为的角平分线． 23. （1）【旧题重现】《学习与评价》P19有这样一道习题： 如图①， 、分别是 和的 、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②， 、分别是 和的 、边上的中线，，，．判断 与是否仍然全等，并说明理由． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）全等，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长 至E，使，连接，延长至，使，连接，可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 【详解】（1）证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， 故答案为：①；②；③；④； （2）解： 和仍然全等，理由如下： 如图，延长 至E，使，连接，延长至，使，连接， ∵ 、分别是 和的 、边上的中线， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 24. 已知 的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足试判断△ABC的形状； （2）若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； （3）化简：． 【答案】（1）是等边三角形； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等边三角形的判定，非负数的性质，熟知三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵a，b，c满足， ∴，， ∴，， 解得， ∴ 是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ∵三角形的周长为偶数， ∴c是奇数， ∴； 【小问3详解】 解：由三边关系得， ，，， ∴原式 ． 25. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点 为的中点，连接 、交于点E，请问 、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在 上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图2，在 上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省德州市乐陵市八年级（上）期中 数学试卷 一、单项选择题（共12题，共48分） 1. 如图所示图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中， 边上的高为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 5cm，6cm，11cm C. 3cm，4cm，8cm D. 5cm，6cm，10cm 4. 如图，已知平分，是上一点，于 ，若，则点与射线 上某一点连线的长度可以是（　　） A. B. C. D. 5. 若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 6. 如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交于点Q,点P是直线MN上任意一点,下列判断错误的是( ) A. AQ=BQ B. AP=BP C. ∠MAP=∠MBP D. ∠ANM=∠NMB 7. 如图1，已知 、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段 的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段 的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 8. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ， 两边中线的交点处 B. ， 两边垂直平分线的交点处 C. ， 两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 9. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ） A. 图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D. 图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 10. 如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　） A. α﹣β B. 2（α﹣β） C. α﹣2β D. （α﹣β） 11. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 12. 如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、 ，以为边做一个等边三角形，连接 ，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6题，共24分） 13. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 14. 如图所示的方格中，______度． 15. 如图，，，，则的度数为______． 16. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为 ，边与其中一把直尺边缘的交点为 ，点 、 在这把直尺上的刻度读数分别是，则的长度是________． 17. 若等腰三角形的一边长为6，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为________． 18. 如图，在中，点A的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为，且与全等，点 的坐标是________． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 是 的中点，，求证：． 20. 小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对． （1）通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？ （2）若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数； （3）若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数． 21. 如图，与 相交于点O，，，． （1）求证； （2）求证：垂直平分 ． 22. 下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线 ，上截取； （2）分别作， 的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是， 的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： （1）小亮思考过程的依据1、依据2分别是______、______． （2）请将辅助线及小亮的思考过程补充完整． （3）请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 23. （1）【旧题重现】《学习与评价》P19有这样一道习题： 如图①，、分别是和的 、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的 、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等，并说明理由． 24. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足试判断△ABC的形状； （2）若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； （3）化简：． 25. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点 为的中点，连接 、交于点E，请问 、与 之间有何数量关系？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $