精品解析： 江苏省泰州市靖江市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省泰州市靖江市九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程的解为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ． 故选D． 2. 已知的半径为6，在外取一点P，连接，则的长可以是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内”是解题的关键． 由的半径及点P在外，可得出的长大于6，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为6，点P在外， ∴的长大于6． 故选：D． 3. 如图，在中，点D，E分别在，边上，．若，下列式子一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C正确，符合题意； 根据题意，无法求解，，， 故A、B、D不符合题意； 故选：C． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的关系是解本题的关键． 由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关系式，求得，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 则， 故选：B． 5. 如图，在中，，，．将沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不一定成比例，故两三角形不一定相似； 综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似． 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 6. 在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查解直角三角形，由余角的性质推出，，再由锐角三角函数的定义逐个判断计算即可． 【解答】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故A不符合题意； ∵，， ∴， 故B符合题意； ∵，， ∴， 故C不符合题意； ∵，， ∴， 故D不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若线段，，则线段a，b的比例中项为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的定义，一般的，如果三个数a，b，c满足比例式，则b就叫做a，c的比例中项．设线段a，b的比例中项为x，然后列比例式求解即可． 【详解】解：设线段a，b的比例中项为x，由题意得， ， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 8. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立． 把代入一元二次方程可得k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， 解得． 故答案为：． 9. 在比例尺为的地图上，小聪量得我市和某市的直线距离是，则实际距离是 ___________． 【答案】150 【解析】 【详解】本题考查比例尺，根据比例尺的定义进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：150． 10. 已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 11. 在中，，若，则的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：在中，、、所对的边分别为、、， ∵，， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理，理解和掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． 12. 某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元，则平均每月利润增长的百分率是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每月利润增长的百分率是x，根据“某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元”列出一元二次方程，解之并取符合题意的值即可． 【详解】解：设平均每月利润增长的百分率是x， 根据题意可得： ， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 即：平均每月利润增长的百分率是， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴直线于x轴的交点A的坐标为，于y轴的交点B的坐标为， ∵， ∴为直角三角形， ∴的外心为斜边的中点，即， 故答案为：． 14. 如图，点G是的重心，，．若的面积为2，则的面积为 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】连接，延长交于，由三角形重心的性质得到，然后证明，于是可得，由平行线的性质推出，，进而证明，于是可得，据此即可求出的面积． 【解答】解：如图，连接，延长交于， 点是的重心， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了重心的有关性质，相似三角形的判定与性质，两直线平行同位角相等，等式的性质，牢记三角形重心的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上．当时，长为 ___________． 【答案】5或3 【解析】 【分析】先分别求出长，分①当时，则点E是的中点，由此可得，②当点E不是的中点时，设为，过点D作于H，证明和相似得，进而得，则，从而得，综上所述即可得出的长． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ①当时， ∴， ∴， ②当和不平行时，设为，过点D作于H，如图所示： 则， 又∵， ∴， ∴，即： ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上所述：的长为5或3． 故答案为：5或3． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行运算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 16. 已知关于x的一元二次方程没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为和4，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 对甲看错的符号进行分类讨论，再结合误求的两根，利用根与系数的关系得出b，c的值，进一步根据此方程没有实数根对b，c的值进行取舍，最后代入2b+3c即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程没有实数根， 所以． 因为因为甲看错了某一项的符号，误求得两根为和4， 则当甲看错b的符号时， ， 解得， 此时， 故不符合题意，舍去． 当甲看错c的符号时， ， 解得， 此时， 故符合题意， 所以． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文 17. 计算 （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）原式第一项化简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，然后合并同类二次根式即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，利用二次根式的性质化简，特殊角的三角函数，零指数幂，二次根式的加减运算等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法及二次根式的运算法则是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，，垂足为点．求的长和的余弦值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出及的长，进而得出的长，最后根据勾股定理及余弦的定义即可得出答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，线段的和与差，勾股定理，求角的余弦值等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理及余弦的定义是解题的关键． 19. 如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【详解】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用垂径定理，得到，证明，得到，即可． 【解答】略 20. 已知关于的一元二次方程（）． （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根； （2）小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 【答案】（1） 证明： ， 关于的一元二次方程（）一定有两个不相等的实数根； （2）正确，该实数根为 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，有理数大小比较，根据判别式判断一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式来证明即可； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：小明的说法是正确的，理由如下： 由求根公式可得： ， ，， 该方程总有一个固定的实数根， 小明的说法是正确的． 21. “复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过点作于，先得到，在中，根据正切的定义列式求出，进而得到．掌握锐角三角函数的定义，数形结合列式求解是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图所示： 则四边形为矩形，，， ，， ，， ， 在中，，， ，则， ， 答：旗杆的高度约为． 22. 某剧院举办文艺演出．经调研，票价每张30元时，1200张门票可以全部售出．为增加收入，剧院合理调高单价，发现实际销售门票数和票价满足如下一次函数关系： 票价（元） 31 32 33 … 实际销售门票数（张） 1170 1140 1110 … 要使门票收入达到36750元，该剧院应将票价调高几元？ 【答案】5元 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一元二次方程的应用， 利用待定系数法求出实际销售门票数关于票价的函数关系式，根据“票价实际销售门票数门票收入”列方程并求解，再由调高票价之前的票价计算出该剧院应将票价调高几元即可． 【详解】解：设调高单价后票价是x元，实际销售门票数是y张，设x与y之间的函数关系为（k、b为常数，且k≠0）． 将和分别代入， 得， 解得， ∴x与y之间的函数关系为， 当票收入达到36750元时，得， 即， 解得， （元）． 答：该剧院应将票价调高5元． 23. 如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求弧CD的度数． ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 【答案】（1）EF＝6；（2）①弧CD的度数为60°；②PC+PD的最小值为6． 【解析】 【分析】(1)求出圆的半径，再判断出四边形OFDE是矩形，再根据对角线相等即可解答； (2)①根据线段中点的定义得到OE＝OC＝OD，根据三角形内角和得到∠DOE＝60°，继而得到结论；②延长CO交⊙O于G，连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）连接OD， ∵⊙O的直径AB＝12， ∴圆的半径为12÷2＝6， ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴四边形OFDE是矩形， ∴EF＝OD＝6； （2）①∵点E为OC的中点， ∴OE＝OC＝OD， ∴∠EDO＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴弧CD的度数为60°； ②延长CO交⊙O于G，连接DG交AB于P， 则PC+PD的最小值＝DG， ∵∠G＝∠COD＝30°， ∵EG＝9， ∴DG＝＝＝， ∴PC+PD的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，一条弧对应的圆周角等于它所对应的圆心角的一半、同弧或等弧对应的圆周角相等；垂径定理及其推论、轴对称-最短路线问题，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，在中，，点D为边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作，射线交边于点E，过点A作，交射线于点F，连接． （1）求证：； （2）探索：点D在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）不变化， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再证，然后由相似三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作于M，由等腰三角形的性质得，再由锐角三角函数定义得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不变，理由如下： 过点A作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即的值不变化． 25. 定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． （1）的友好方程是___________； （2）互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； （3）如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【答案】（1） （2）1或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定义． （1）直接根据新定义求解即可； （2）设这个公共根为，可得，有，可解得或； （3）由的两个根为，知，故，，即可得的两根为． 【小问1详解】 解：根据定义的友好方程是； 故答案为：； 【小问2详解】 设这个公共根为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； 【小问3详解】 ∵的两个根为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴的两根为． 26. 如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． （1）设．若点E是边的中点，且．求的值； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； （3）如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2）①，， ②证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点M是的中点； （3） 解：①．连接，与交于点O．则点O为圆心， ②．在边上任意取一点E，连接并延长交的延长线于点F，连接交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ③．过点O，M作直线，交圆于点Q，H，则线段为垂直于的一条直径．如图， 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的相似的判定定理与性质得到，代入a，b值并化简即可得出结论； （2）①利用线段的中点的定义，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②利用①中的方法类比解答即可； （3）利用矩形的对角线即可得到该圆的圆心，再利用（2）中的方法找到的中点M，过O，M画直线即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴． ∴， ∴点M是的中点； ②略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，线段的中点的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确理解题干中的结论并熟练运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省泰州市靖江市九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程的解为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知的半径为6，在外取一点P，连接，则的长可以是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 如图，在中，点D，E分别在，边上，．若，下列式子一定正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，．将沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ④ 6. 在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若线段，，则线段a，b的比例中项为__________． 8. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ___________． 9. 在比例尺为的地图上，小聪量得我市和某市的直线距离是，则实际距离是 ___________． 10. 已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 11. 在中，，若，则的值为 __． 12. 某商店10月份的利润是10000元，要使12月份的利润达到14400元，则平均每月利润增长的百分率是 ___________． 13. 在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是___________． 14. 如图，点G是的重心，，．若的面积为2，则的面积为 ___________． 15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上．当时，长为 ___________． 16. 已知关于x的一元二次方程没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为和4，则的值为___________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文 17. 计算 （1）解方程：； （2）计算：． 18. 如图，在中，，，，，垂足为点．求的长和的余弦值． 19. 如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 20. 已知关于的一元二次方程（）． （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根； （2）小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 21. “复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 22. 某剧院举办文艺演出．经调研，票价每张30元时，1200张门票可以全部售出．为增加收入，剧院合理调高单价，发现实际销售门票数和票价满足如下一次函数关系： 票价（元） 31 32 33 … 实际销售门票数（张） 1170 1140 1110 … 要使门票收入达到36750元，该剧院应将票价调高几元？ 23. 如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求弧CD的度数． ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 24. 如图，在中，，点D为边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作，射线交边于点E，过点A作，交射线于点F，连接． （1）求证：； （2）探索：点D在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 25. 定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． （1）的友好方程是___________； （2）互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； （3）如果的两个根为．求友好方程的两个根． 26. 如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． （1）设．若点E是边的中点，且．求的值； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； （3）如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $