精品解析：广东省茂名市第一中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

茂名市第一中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初三数学试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 如图，，若，，则的长度是（ ） A. 4 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，熟练的利用平行线分线段成比例计算求值是解本题的关键．由可得，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选A． 3. 如图所示，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域可能性的大小关系为（ ） A B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：某事件的概率等于某事件所占有的面积与总面积之比．利用几何概率的计算方法分别计算出甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：C． 4. 要判断命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题，如图图形可作为反例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理举出反例即可得出答案． 【详解】解：如图A所示，对角线相等四边形不一定是矩形，还可能是等腰梯形， 故选：A． 【点睛】本题考查真假命题的判断，根据知识点解题是关键． 5. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、 B. 、10 C. 8、 D. 8、10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：化为一元二次方程的一般形式， 其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10， 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 7. 如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解． 【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是， ∴AE：CE＝2：5， ∵AE＝2， ∴CE＝5， ∵BE＝1， ∴BC＝BE+EC＝1+5＝6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 8. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元列出方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， 由题意得，， 故选：D． 9. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知∠C=∠AC1B1，AC=AC1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠C=∠CC1A=∠AC1B1=37°，从而可求得∠CC1B1=74°． 【详解】解：由旋转的性质可知：∠C=∠AC1B1，AC=AC1，∠CAC1=106°． ∵AC=AC1，∠CAC1=106°， ∴∠C=∠CC1A=． ∴∠AC1B1=37°． ∴∠CC1B1=∠CC1A+∠AC1B1=37°+37°=74°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于，交于，点是的中点，且，则下列结论：；；四边形为菱形；．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC≌△EOA，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC，直角三角形AOE中利用勾股定理求出AB、AE等的长再逐一进行判断即可得. 【详解】∵EF⊥AC，G是AF的中点， ∴AG=OG=GE， ∴∠OAF=∠AOG=30°， 在直角△ABC中，∠CAB=30°， ∴BC=AC=OC，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a， ∴AB=， 在直角△AOE中，∠EAO=30°，∴AO=2OE， AO2+OE2=AE2， ∴OE=，AE=， ∴OG=， ∴CD=AB=3OG，故（1）正确； OG=≠a=BC，故（2）错误； 易证△FOC≌△EOA， ∴OE=OF， 又∵AO=OC，EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形，故（3）正确； ∵S△AOE=，S矩形ABCD=a•a=a2， ∴S△AOE=SABCD，故（4）正确， 综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及菱形的判定的性质，正确理解图形中∠CAB=30°，从而确定BC、AB以及OA、OC之间的关系是关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 若，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】由已知设a=2k，b=3k，c=4k，代入所求式子进行计算即可得. 【详解】∵， ∴设a=2k，b=3k，c=4k， ∴=8， 故答案为8. 【点睛】本题考查了比例的性质，利用参数进行解答是关键. 13. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得出∠BAD=∠DAE，结合∠ADE=∠B可得出△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质即可求出AD的长度． 【详解】∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAE. ∵∠ADE=∠B， ∴△ABD∽△ADE， ∴=,即=， ∴AD=2，或AD=−2 (不合题意,舍去). 故答案为2. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 14. 初中毕业时，甲、乙、丙三位同学站成一排拍照留念，甲乙两人相邻的概率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4种情况， ∴甲、乙二人相邻的概率是：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图求概率，理解题意是解题关键． 15. 如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】13 【解析】 【分析】连接，，易得，，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而可得出答案． 【详解】解：连接，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 由翻折可得， ， ， 当，，三点共线时，最小， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换折叠问题、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 三、解答题（共75分，其中第16、17、18每题7分，第19、20、21每题9分，第22题13分，第23题14分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 或， 所以． 17. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 18. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 如图，为所作． 【小问2详解】 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 19. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 20. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数． （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） （2）补图见解析， （3）人 （4） 【解析】 【分析】（1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）直接补图即可；根据扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为（人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； 【小问2详解】 解：补图如下； ∵， ∴扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； 【小问4详解】 解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． 21. “当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋． （1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为袋？ （2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ 【答案】（1）每袋鳕鱼的售价为元时，每分钟的销量为袋． （2）鳕鱼的销售单价为元． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答． （1）设每袋鳕鱼的售价为元，根据题意，则，解出，即可； （2）设此时鳕鱼的销售单价为元，根据题意，则方程为，解出方程，即可． 【小问1详解】 解：设每袋鳕鱼的售价为元，每分钟的销售量为袋， ∴， 解得：， 答：每袋鳕鱼的售价为元时，每分钟的销售量为袋． 【小问2详解】 解：设此时鳕鱼的销售单价为元， ∴， 解得：，， ∵要最大限度让利消费者， ∴， 答：此时鳕鱼的销售单价为元． 22. 【阅读发现】如图1，在正方形的外侧，作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则图中，可知，求得________． 【拓展应用】如图2，在矩形的外侧，作等边三角形和等边三角形，连接，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度教． 【答案】【阅读发现】90°；【拓展应用】（1）见解析；（2）100°. 【解析】 【分析】根据正方形的性质及可得DF=CD=AE=AD，根据等边三角形的性质可求出∠FDC=150°，根据等腰三角形的性质可得∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可求出∠CDM=75°，根据三角形内角和定理求出∠DMC的度数即可；【拓展应用】（1）根据矩形的性质及等边三角形的性质可得=150°，，，利用SAS可证明，根据全等三角形的性质即可得ED=FC；（2）根据可得∠ADE=∠DFC=20°，根据三角形外角性质即可求出∠DMC的度数. 【详解】∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴∠CDM=90°-15°=75°， ∴∠DMC=180°-75°-15°=90°， 故答案为90° 【拓展应用】（1）∵为等边三角形， ∴，． ∵等边三角形， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键. 23. 综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． （1）【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． （2）【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； （3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）同意，理由见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（）连接，证明即可得证； （）连接，同法()证明即可得证； （）过点作于点，分点在点的两侧进行讨论求解即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键. 【小问1详解】 解：连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 和中， ∴， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：同意，理由如下： 连接， 同理（）可得， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点， 同理（）可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（）知，， ∴， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 茂名市第一中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初三数学试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，，则的长度是（ ） A. 4 B. 9 C. D. 3. 如图所示，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 要判断命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题，如图图形可作为反例的是（ ） A. B. C. D. 5. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A 、 B. 、10 C. 8、 D. 8、10 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A B. C. 或 D. 或 7. 如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 春节期间电影《热辣滚烫》上映第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于，交于，点是的中点，且，则下列结论：；；四边形为菱形；．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12 若，则______. 13. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD=_____． 14. 初中毕业时，甲、乙、丙三位同学站成一排拍照留念，甲乙两人相邻的概率为_______ 15. 如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 三、解答题（共75分，其中第16、17、18每题7分，第19、20、21每题9分，第22题13分，第23题14分） 16. 解方程：． 17. 关于方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 18. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 19. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 20. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数． （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. “当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋． （1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为袋？ （2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ 22. 【阅读发现】如图1，在正方形的外侧，作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则图中，可知，求得________． 【拓展应用】如图2，在矩形的外侧，作等边三角形和等边三角形，连接，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度教． 23. 综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． （1）【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． （2）【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； （3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$