2024年九年级中考数学复习专题02 二次根式

专题02 二次根式 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在式子，，，，中，二次根式有(    ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2.下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列二次根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 4.下列各式的计算中，结果为的是     A. B. C. D. 5.估计的值在     A. 6到7之间 B. 5到6之间 C. 4到5之间 D. 3到4之间 6.化简的结果是     A. B. C. D. 7.下列各数中与的积是有理数的是(    ) A. B. 2 C. D. 8.计算：(    ) A. B. C. D. 9.若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为     A. B. 或 C. 或 D. 10.观察下列等式：①；②；③根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为     A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是          . 12.若为整数，x为正整数，则x的值是          . 13.计算：          . 14.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为          . 15.已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为          ，最大值为          . 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 16.计算： ； 17.计算： ； ； ； 四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____； 以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______； 第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果． 19.本小题8分 已知，，求下列各式的值： ①； ②； 若，则__. 20.本小题8分 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 若，求的值． 21.本小题8分 若最简二次根式与可以合并． 求a的值； 对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※，如：3※请求a※※的值． 22.本小题8分 某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径，如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ 23.本小题8分 观察下列等式： ①； ②； ③； 回答下列问题： ______； ______；为正整数 题：计算______. B题：利用上面所揭示的规律计算： 24.本小题8分 阅读理解题： 学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，我们来进行以下的探索： 设其中a，b，m，n都是正整数，则有，，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法． 请仿照上述方法探索并解决下列问题： 当a，b，m，n都为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得__，__； 利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空： 且a，m，n都为正整数，求a的值． 25.本小题8分 综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律． 等式1： 等式2： 等式3： 等式4：______. 观察、归纳，得出猜想． n为正整数，猜想等式n可表示为______，并证明你的猜想． 应用运算规律． ①化简： ②小丽写出一个等式，若该等式符合上述规律，则的值为______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中 【详解】解：式子，，，，中， 二次根式有：，，，共3个． 故选： 2.【答案】C  【解析】与不能合并，原计算错误；，原计算错误；，正确；，原计算错误．故选 3.【答案】C  【解析】【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可. 【详解】，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C.是最简二次根式，故本选项符合题意； D.是整式，不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查的是二次根式的乘除，根据运算法则一一进行判断即可. 【解答】 解：，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，故D错误. 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】根据，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即的值在3到4之间， 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后再进行二次根式的加法运算即可. 【详解】原式 ， 故选 7.【答案】D  【解析】解： 故选 8.【答案】A  【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可． 【详解】原式 故选：A 9.【答案】C  【解析】【分析】分两种情况，腰长为或腰长为，由三角形三边关系判断此两个等腰三角形都存在，再分别计算周长即可，注意二次根式要化为最简二次根式． 【详解】解：腰长为时，三角形的周长为：； 腰长为时，三角形的周长为：； 故选： 10.【答案】D  【解析】【分析】 本题为一般的规律性数学等式问题，找出其中规律，问题迎刃而解，主要考查学生的观察能力和对数字的敏感性．首先要理解所给出的三个例子，找出其中的规律，即，即代入数据即可得到结果． 【解答】 解：根据上述的三个等式，我们可以得到的规律为，； 所以， 故选 11.【答案】【答案】且  【解析】【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 12.【答案】4或7或8  【解析】，x为正整数，且x为正整数．为整数，或1或当时，；当时，；当时，综上，x的值是4或7或 13.【答案】  【解析】【分析】先计算乘法，再合并，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解． 【详解】解：周长为18的三角形的三边满足，设 解得 故答案为： 15.【答案】3 75   【解析】【分析】根据n为正整数，是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解． 【详解】解：，是大于1的整数， 为正整数 的值可以为3、12、75， n的最小值是3，最大值是 故答案为：3； 16.【答案】【答案】   【解析】【分析】先用算术平方根、绝对值、零次幂化简，然后计算即可； 先用零次幂、负整数次幂、绝对值、特殊角的三角函数值化简，然后计算即可； 先用二次根式的性质、负整数次幂、绝对值、特殊角的三角函数值化简，然后计算即可； 先用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： 解： 解： 解： 17.【答案】【答案】   【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可； 根据二次根式的混合运算法则计算即可； 先根据完全平方公式、平方差公式计算二次根式，然后再合并同类二次根式即可； 先根据绝对值、分数次幂、分母有理化等知识点化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 解： 解： 解： 18.【答案】； ； 二；； 除法没有分配律， 解题过程是从第二步开始错的，  +    -   =  +    -   =  +    =  +    =  +  ． 故答案为：二．   【解析】【分析】根据最简二次根式的定义进行判定即可； 根据进行求解即可得到答案； 由于除法没有分配律即可得到是从第二步开始出错的，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可． 【详解】解：是最简二次根式；，不是最简二次根式；不是最简二次根式；，不是最简二次根式； 故答案为：； ； ， 故答案为：； 除法没有分配律， 解题过程是从第二步开始错的， 故答案为：二． 19.【答案】①；②19；  【解析】【分析】①根据，，可以得到xy、的值，然后即可求得所求式子的值； ②将所求式子变形，然后根据，，可以得到xy、的值，从而可以求得所求式子的值； 根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值． 【详解】解：①， ，， ，， 当，时，原式； ②， ，， ，， 当，时，原式； 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为： 20.【答案】  【解析】【分析】将a的值的分子、分母都乘以得，据此先后求出、及、的值，代入计算可得答案． 【详解】解：， ， ，即， ， ， 则， 即的值为 21.【答案】   【解析】【分析】根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a； 代入a的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】最简二次根式与可以合并， ， ， 当时 a※※ ※※ ※※ ※ 22.【答案】那么这场雷雨大约能持续时间  【解析】【分析】先依据算术平方根的性质得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， 将代入得： 那么这场雷雨大约能持续 23.【答案】 ：1；B：   【解析】【分析】利用分母有理化，进行计算即可解答； 利用分母有理化，进行计算即可解答； 题：利用积的乘方和平方差公式进行计算即可解答； B题：先利用上面的规律化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：； 解：， 故答案为：； 解：A题：       ， 故答案为：1； B题：   24.【答案】；2mn ；4；2；1 或21   【解析】【分析】利用完全平方公式把展开即可得到用含m，n的式子分别表示出a，b； 利用中的表达式，令，，则可计算出对应的a和b的值； 利用的结果得到，则，再利用m，n都为正整数得到，或，，然后计算对应的a的值即可． 【详解】， ，； 取，， 则，； 故答案为：9，4，2，答案不唯一； ， ， 而m，n都为正整数， ，或，， ，时，； 当，时， 即a的值为9或 25.【答案】 ， 证明：等式左边  右边， 所以猜想成立． 故答案为：  ； ①；②或   【解析】【分析】根据所给的特例的形式进行求解即可； 分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证； ①②利用中的规律进行求解即可． 【详解】解：等式1： 等式2： 等式3： 等式4：， 故答案为：； 解：猜想等式n可表示为， 证明：等式左边右边， 所以猜想成立． 故答案为：； 解：①原式 ； ②等式，符合上述规律， ， 解得或4， 或 故答案为：或 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$