精品解析：四川省眉山市青神县共同体2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024·2025学年共同体九年级半期检测 数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若，则=（ ） A. －15 B. －9 C. 9 D. 15 4. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 7. 点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，则的的值为（） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. 只有①②④ B. 只有①②③ C. 只有②③④ D. 只有①② 12. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 二．填空题（共6小题） 13. 用配方法解方程时，配方后方程变形为______． 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么__________． 15. 已知、是方程的两根，则的值为______． 16. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________． 17. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则_____． 18. 如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为___________． 三．解答题（共7小题） 19. 解方程或计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 22. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根  满足，求的值． 23. 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． （1）求A、C两处的距离； （2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 24. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 25. 如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ （3）几秒钟后，与相似？ 26. 探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024·2025学年共同体九年级半期检测 数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的性质及二次根式乘除法则计算即可得到答案． 【详解】解∶． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，二次根式的被开方数非负，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ∴x的值可以是3， 故选：D． 3. 若，则=（ ） A. －15 B. －9 C. 9 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 当时，， ． 故选：D 4. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 5. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0， 解得k≤且k≠0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据可得相似比为，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴，且， ∴， ∴， 故选：A． 7. 点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义，得到，由此计算得到答案． 【详解】如图， 点，点是线段的黄金分割点，若， ， ， ， 故选：． 8. 如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 【详解】解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 9. 如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，则的的值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 如图，过点作交于点．得出利用相似三角形性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，点是的中点， ∴ 则， ∴， 故答案为：C． 10. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，，， 则由勾股定理得：， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：． 11. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. 只有①②④ B. 只有①②③ C. 只有②③④ D. 只有①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【详解】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性， 故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 12. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可判定①正确； 连接交于点O,Q，点M，点G关于直线对称，故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,故的最小值是，故②错误；先证明，得，可证，故③ 正确；根据，故④正确．本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， 故①正确； 连接交于点O,Q， ∵正方形，且, ∴， ∵垂直平分， ∴点M，点G关于直线对称， 故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为, 故的最小值是， 故②错误； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③ 正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 故选D． 二．填空题（共6小题） 13. 用配方法解方程时，配方后方程变形为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故答案为． 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，根据定义建立方程求解即可． 【详解】解： 最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：2． 15. 已知、是方程的两根，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数的关系得，，然后根据完全平方公式把变形代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 故答案为：10． 16. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可． 【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G， ∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置， ∴，， ∴△AEG∽△DEF， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平移的性质，也考查了相似三角形面积与比相似比间的关系，将题中给出的面积比转化为相似比是解题的关键． 17. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，先利用勾股定理求出、、的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后根据即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理，含乘方的有理数混合运算，勾股定理的逆定理，求角的正切值，二次根式的除法，求一个数的算术平方根等知识点，连接并利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形是解题的关键． 18. 如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质分别求出的边长即可解决问题． 【详解】∵等边的边长为1，作于点D， ∴， ∴的长分别为， ， 等边的顶点的横坐标＝， 等边的边的中点的横坐标为， 其纵坐标为， ∴的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是发现点的横坐标变化规律． 三．解答题（共7小题） 19. 解方程或计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1），． （2），． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （3）先化简二次根式，化简绝对值，再合并即可； （4）先计算零次幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的加减乘法运算，零次幂，负整数指数幂的含义，特殊角的三角函数值，掌握基础运算的运算法则与运算顺序及解方程的方法是关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ∵， 代入得：原式； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 【答案】（1） 解：如图，即为所求： （2） 解：如图，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据点的位置，写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为， 故答案为：． 22. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根  满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． （1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值． 【小问1详解】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵方程两实根 ， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． （1）求A、C两处的距离； （2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】（1）、两处的距离为20海里； （2）救援船到达处所用的时间为小时． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）过点作于点，由锐角三角函数定义得海里，海里，则海里，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，过作于点， 由题意得：海里，，， （海里），是等腰直角三角形， （海里）， 答：、两处的距离为20海里； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点， 在中，海里，， （海里）， （海里）， （海里）， 在中，由勾股定理得：（海里）， （小时）， 答：救援船到达处所用的时间为小时． 24. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 25. 如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ （3）几秒钟后，与相似？ 【答案】（1）1秒 （2）2秒 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解； （2）由勾股定理得：，即可求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． 【小问2详解】 解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． 【小问3详解】 解：当时， 即，解得 当时， ， 即， 解得， 或． 26. 探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形，为对角线， ， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形得，，，再根据等腰直角三角形的性质得，，由此可证，再根据即可得出结论； （2）设，则， ， ，根据（1）的结论得，则，故得，则点F为的中点，再根据，得，则由此可得的值； （3）过点D作交延长线于点K，则，进而得，再求出，证明，根据相似三角形性质得则，然后证明即可求出的值． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形，为对角线， ， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F为的中点， ∴， 在中，，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作交延长线于点K，则， ∵四边形为菱形，， ∴， 设， ∴， 在中，则，由勾股定理得：， ∵点F是中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $