精品解析：江西省南昌市第二中学2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试题

南昌二中2024-2025学年度上学期高三数学月考（二） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件． C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. ，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（ ） ①若，，则与所成的角等于与所成的角； ②若，，，则与是异面直线； ③若，，，则； ④若，，，则． A. B. C. D. 6. 已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（ ） A B. C. D. 7. 在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设数列，前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则数列为等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若数列是等差数列，则，，成等差数列 D. 若数列是等比数列，则，，成等比数列 10. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 若是上的中点，则 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 11. 已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若4为函数的极小值点，则 C. 若在内有最小值，则的取值范围是 D. 若有三个互不相等的实数解，则的取值范围是 三、填空题 12 已知数列满足，，则________. 13. 已知复数满足，则复数辐角的主值是________. 14. 已知函数，若，则最大值为______ 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和为. 16. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 17. 椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形. （1）求椭圆的方程； （2）设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 19. 对于一个给定数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2024-2025学年度上学期高三数学月考（二） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合A,再根据绝对值不等式应用交集定义计算即可. 【详解】集合， ，则. 故选：B.     2. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知求出,再根据复数模长公式计算即可. 【详解】因为,所以, 则。 故选：C. 3. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量方向上. 故选：A 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件． C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】由得， 由不能得到，如； 反之，一定有； “”是“”的必要而不充分条件. 故选： B. 5. ，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（ ） ①若，，则与所成的角等于与所成的角； ②若，，，则与异面直线； ③若，，，则； ④若，，，则． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案. 【详解】对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确； 对②，根据题意，既不平行也不相交，故，异面，所以②正确； 如图，在正方体中，若为平面，为平面，取为，为，显然异面，所以③错误； 若为平面，为平面，则为，取为，则，所以④错误. 故选：B. 6. 已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化简计算得函数，利用整体法，代入对称轴计算得的值，然后利用整体法分析函数的值域，列关于的不等式计算即可得答案. 【详解】， ， ， ，因为函数的一条对称轴为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 当时，， 因为函数在区间上值域为， 所以，解得， 所以实数的最大值为. 故选：D 7. 在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值. 【详解】由题意可知，， ， ， ，， ，. 故选：B. 8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果. 二、多选题 9. 设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则数列为等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若数列是等差数列，则，，成等差数列 D. 若数列是等比数列，则，，成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断 【详解】解：对于A，由等差数列的定义可知当时，数列为等差数列，所以A正确； 对于B，当时，满足，但数列不是等比数列，所以B错误； 对于C，数列是等差数列，数列的前项和为， 则， ， 所以，所以，，成等差数列，所以C正确； 对于D，当等比数列的公比，为偶数时，，，均为零，所以，，不成等比数列，所以D错误， 故选：AC 10. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 若是上的中点，则 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出空间中的点的坐标，利用与平面法向量的数量积等于零可判断A；根据可判断B；求出平面的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法可判断D. 【详解】由题意可得，，，， ，，，设， ，， 直三棱柱中，， 可得为平面的一个法向量， 为平面的一个法向量， 对于A，，， 即，又平面，所以平面，故A正确； 对于B，若是上的中点，则， 所以，所以与不垂直，故B不正确； 对于C，由为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角， 则，故C正确； 对于D，设， 则， 当时，即时，取最大值， 即直线与直线所成角最小，此时， ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若4为函数的极小值点，则 C. 若在内有最小值，则的取值范围是 D. 若有三个互不相等的实数解，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】先求得，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，， ，，则或，而，则， 令，得或，令，得， 故在单调递增，单调递减，单调递增；， 的极大值点为，，A对. 对于B，若4为极小值点，则，则，B错. 对于C，在内有最小值，则在处取得最小值， 则, 且，， 即， ，， 综上，则的取值范围是,故C错误. 对于D，有三个互不相等的实数解，， 则，故，故D正确； 故选：AD 【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础. 条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断. 三、填空题 12. 已知数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】借助题目所给条件可得该数列为周期数列，结合周期数列的性质即可得解. 【详解】，， ，故数列是以为周期的周期数列， 则. 故答案为：. 13. 已知复数满足，则复数的辐角的主值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数三角形式的运算即可求解. 【详解】由， 可得： 即， ， ， ， 复数的辐角的主值是. 故答案为： 14. 已知函数，若，则最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意函数，根据得，即，令，通过导数求的最大值即可. 【详解】由题意，， 注意到，， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令，则， 令，则， 令，则， 所以单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由得，然后结合导数求解待求表达式最大值即可. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，两式相减，然后利用等比数列的定义求解； （2）由（1）得到，再利用错位相减法求解. 【小问1详解】 解：由， 得， 两式相减得，即， 因为，， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以为公差的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 则， 两式相减得， ， ， ， 所以. 16. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得； （2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解. 【小问1详解】 ，， ， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 因为BD为的平分线，，所以， 又，， 所以， 即，① 由余弦定理，得，即，② 由①②可得（舍去负值），， 所以a，c是关于的方程的两个实根，解得. 又因为BD为的平分线，所以， 又，， 所以，， 所以的周长为. 17. 椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形. （1）求椭圆的方程； （2）设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分析可得，可得出，再将点坐标代入椭圆的方程，求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线是否与轴重合进行分类讨论，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：因为椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，该正方形的边长为， 两条对角线长分别为、，则，所以，， 所以，椭圆的方程可表示为，、 将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，则，， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：当直线与轴重合时，则、为椭圆长轴的顶点，不妨设、， 则，，此时； 易知点，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， ，， . 综上所述，. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴； 【小问2详解】 由题意， ∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，，                ∵，∴， 又，解得， ∴ ， 设（）， 则， ∴在上单调递减， 又，， ∴， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（2）问中，由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 19. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 【答案】（1） （2） （3）的最大值是，公差为 【解析】 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【小问1详解】 由题意得，，，， ∴，， 设数列的二阶和数列的公比为，则， ∴，，， ∴，，， ∴，，． 【小问2详解】 设的二阶和数列的前项和为， 由题意得，，， 由得数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴. 【小问3详解】 ∵， ∴，故． 设数列的公差为，则， ∴，得， ∵反比例函数在上为增函数， ∴由得，，故， ∵， ∴，故， ∴的最大值是，由得公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $