河北省石家庄市第九中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024-2025学年河北省石家庄九中九年级（上） 期中数学试卷及解析 一.选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分） 1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．﹣3x+2＝0 B．2x2+y﹣1＝0 C．2x﹣3y+1＝0 D．x2﹣x﹣3＝0 2．（3分）现有50个苹果重量如下：则这些苹果重量的众数和中位数分别是（　　） 重量（g） 100 120 140 160 数量（个） 10 15 17 8 A．140，120 B．140，130 C．17，16 D．17，130 3．（3分）如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1：6的斜坡铺设管道．下列等式成立的是（　　） A．sinα＝ B．cosα＝ C．tanα＝ D．tanα＝2 4．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，AE、BD交于点O．若S△DOE：S△BOA＝4：9，则CE：AD等于（　　） A．4：9 B．1：3 C．2：3 D．3：2 6．（3分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（3分）下列命题正确的有（　　） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （3）直径所对的圆周角是直角； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（3分）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝812 B．x（x+1）＝812 C．2x（x﹣1）＝812 D． 9．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 10．（3分）已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（3，0） D．（3，1） 11．（2分）如图，已知△ABC是半径为1的⊙O的内接三角形，其中∠A＝60°，∠B＝75°，则AB的长度为（　　） A． B． C． D． 12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 13．（2分）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正切值是（　　） A． B． C． D． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 15．（2分）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y＝的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为（　　） A． B．2 C． D． 16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝2；②；③S△PDQ＝；④，下列结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（17、18题每题3分，19题每空2分，共10分） 17．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是　 　． 18．（3分）一组数据2、3、5、6、x的平均数正好也是这组数据的中位数，那么x＝ 　 　． 19．（3分）如图，在直角坐标系中，A（3，0），B（0，），则： （1）∠ABO＝ 　 　°； （2）若D（m，）（m＞0），把Rt△AOB沿着AB翻折得到Rt△AEB，若tan∠AED＝，则线段DE的长度为 　 　． 三、解答题 20．（12分）解下列方程： （1）2x2﹣3x+1＝0； （2）（x+3）2＝2x+6； （3）计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°． 21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD． （1）求证：△AEC∽△DEB； （2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 22．（8分）王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： （1）根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（S2） 王华 80 b 80 d 张伟 a 85 c 260 则a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　，d＝ 　 　， （2）将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是 　 　． （3）现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？ 23．（11分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数为交于点A（1，3），B（3，m）． （1）分别求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出，当y1＜y2时，x的取值范围； （3）在坐标轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标． 24．（8分）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转180°，CD处可摆放平板或者手机．其中AB＝91mm，BC＝75mm，CD＝80mm．研究表明，当手机（CD）与桌面的夹角为55°时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当AB和桌面垂直且BC⊥CD时，可将BC绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时∠CBA的度数； （2）在（1）的条件下求点D到AB的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．） 25．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 26．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D． （1）当sinB＝时， ①求证：BE＝2CD； ②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长． 2024-2025学年河北省石家庄九中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分） 1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．﹣3x+2＝0 B．2x2+y﹣1＝0 C．2x﹣3y+1＝0 D．x2﹣x﹣3＝0 【答案】D 【分析】一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程． 同时满足以上三条的方程就是一元二次方程． 【解答】解：A、不是整式方程，故错误； B、有两个未知数，故错误； C、有两个未知数，故错误； D、x2﹣x﹣3＝0符合要求． 故选：D． 2．（3分）现有50个苹果重量如下：则这些苹果重量的众数和中位数分别是（　　） 重量（g） 100 120 140 160 数量（个） 10 15 17 8 A．140，120 B．140，130 C．17，16 D．17，130 【答案】B 【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则中间的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数解答即可． 【解答】解：∵总数为50， ∴中位数为第25和26个数的平均值， ∴中位数为（120+140）÷2＝130， ∵140g的有17个，最多， ∴众数为140． 故选：B． 3．（3分）如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1：6的斜坡铺设管道．下列等式成立的是（　　） A．sinα＝ B．cosα＝ C．tanα＝ D．tanα＝2 【答案】C 【分析】根据坡度的定义解答，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比． 【解答】解：根据坡度的定义可知tanα＝＝． 故选：C． 4．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 【答案】B 【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得 m2﹣9＝0， 解得m＝﹣3或3， 当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去， 故选：B． 5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，AE、BD交于点O．若S△DOE：S△BOA＝4：9，则CE：AD等于（　　） A．4：9 B．1：3 C．2：3 D．3：2 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质及相似三角形的判定定理得出△DOE∽△BOA，再根据S△DOE：S△BOA＝4：9即可得出相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：BA的值，由AB＝AD＝CD＝BC即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝AD＝CD＝BC， ∴∠EAB＝∠DEA，∠AOB＝∠EOD，∠EDB＝∠ABD， ∴△DOE∽△BOA， ∵S△DOE：S△BOA＝4：9， ∴DE：BA＝2：3， ∴CE：AD＝1：3， 故选：B． 6．（3分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0， x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1， （x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3 解得：x1＝4，x2＝﹣2， 由上可得，丁同学是错的， 故选：D． 7．（3分）下列命题正确的有（　　） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （3）直径所对的圆周角是直角； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据圆心角与弧的关系，圆周角定理，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故（1）错误； （2）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故（2）错误； （3）直径（或半圆）所对的圆周角是直角，故（3）正确； （4）圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故（4）错误； 所以正确的结论只有一个，故选D． 8．（3分）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝812 B．x（x+1）＝812 C．2x（x﹣1）＝812 D． 【答案】A 【分析】若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1），根据题意列方程即可． 【解答】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张， 则可列方程为：x（x﹣1）＝812． 故选：A． 9．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝π＞0， ∴此函数图象的两个分支在一、三象限， ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴A、B在第三象限，点C在第一象限， ∴y1＜0，y2＜0，y3＞0， ∵在第三象限y随x的增大而减小， ∴y1＞y2， ∴y3＞y1＞y2． 故选：D． 10．（3分）已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（3，0） D．（3，1） 【答案】A 【分析】如图，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心． 【解答】解：如图，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，0）． 故选：A． 11．（2分）如图，已知△ABC是半径为1的⊙O的内接三角形，其中∠A＝60°，∠B＝75°，则AB的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AO，BO，先根据三角形的内角和求出∠C＝45°，再根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠C＝90°，最后根据勾股定理即可求出AB． 【解答】解：连接AO，BO， ∵∠A＝60°，∠B＝75°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∴∠AOB＝2∠C＝90°， ∵AO＝BO＝1， ∴， 故选：D． 12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 【答案】C 【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2． 【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC＝HD， ∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝8， ∴OA＝4， ∴OP＝OA﹣AP＝2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°， ∴∠POH＝60°， ∴OH＝OP＝1， 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH＝＝， ∴CD＝2CH＝2． 故选：C． 13．（2分）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正切值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC＝∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠ABC的值，即为tan∠AED的值． 【解答】解：由同弧所对的圆周角相等可得：∠ABC＝∠AED， 在直角三角形ABC中，tan∠ABC＝＝， ∴tan∠AED＝tan∠ABC＝， 故选：C． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【答案】C 【分析】由在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标． 【解答】解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O， ∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）． 故选：C． 15．（2分）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y＝的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AD＝AB＝10，DE＝BE；然后设点E的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长度，进而求出k的值是多少；最后用k的值除以点F的纵坐标，求出线段AF的长为多少即可． 【解答】解：∵△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合， ∴AD＝AB＝10，DE＝BE， ∵AO＝8，AD＝10， ∴OD＝，CD＝10﹣6＝4， 设点E的坐标是（10，b）， 则CE＝b，DE＝8﹣b， ∵CD2+CE2＝DE2， ∴42+b2＝（8﹣b）2， 解得b＝3， ∴点E的坐标是（10，3）， ∴k＝10×3＝30， ∴线段AF的长为： 30． 故选：A． 16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝2；②；③S△PDQ＝；④，下列结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ＝OB，可证到∠AOD＝∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ＝DA＝2； ②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到的值； ③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值； ④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得，把AN＝2﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值． 【解答】解：①连接OQ，OD，如图1． ∵点P是CD中点，正方形ABCD， ∴DP∥OB，DP＝OB， ∴四边形DOBP是平行四边形， ∴DO∥BP， ∴∠BQO＝∠DOQ，∠QBO＝∠AOD， ∵OQ＝OB， ∴∠OBQ＝∠BQO， ∴∠AOD＝∠QOD， ∵OA＝OQ，OD＝OD， ∴△AOD≌△QOD（SAS）， 则有DQ＝DA＝2． 故①正确；②连接AQ，如图2． 则有，． ∵Rt△AQB∽Rt△BCP， ∴， ∴， ∴． 故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3． ∵△PHQ∽△PCB， ∴QH＝， ∴S△DPQ＝DP•QH＝×＝． 故③正确； ④过点Q作QN⊥AD于N，如图4． ∵DP∥NQ∥AB， ， 则有， 解得：． 由DQ＝1，得． 故④正确． 综上所述：正确结论是①②③④． 故答案为：D． 二、填空题（17、18题每题3分，19题每空2分，共10分） 17．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是　﹣6　． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【解答】解：连接OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△CAB＝3， 而S△OAB＝|k|， ∴|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 18．（3分）一组数据2、3、5、6、x的平均数正好也是这组数据的中位数，那么x＝ 　﹣1，4或9　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均数的计算公式先表示出这组数据的平均数，再根据中位数的定义进行讨论，即可得出答案． 【解答】解：∵数据2、3、5、6、x的平均数是＝， ∴当x＝﹣1时，这组数据的平均数是3，中位数也是3； 当x＝4时，这组数据的平均数是4，中位数也是4； 当x＝9时，这组数据的平均数是5，中位数也是5； ∴x＝﹣1，4或9； 故答案为：﹣1，4或9． 19．（3分）如图，在直角坐标系中，A（3，0），B（0，），则： （1）∠ABO＝ 　60　°； （2）若D（m，）（m＞0），把Rt△AOB沿着AB翻折得到Rt△AEB，若tan∠AED＝，则线段DE的长度为 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设BD交AE于点F，过D作DG⊥AE于G，首先根据A，B，D的坐标可得出∠OAB＝30°，BF∥OA，从而∠EBD＝∠EBA﹣∠DBA＝60°﹣30°＝30°，得出EF＝1，BF＝2，AF＝2，设，利用勾股定理得，FG＝EF﹣EG＝1﹣2x，再根据，列出方程即可． 【解答】解：设BD交AE于点F，过点D作DG⊥AE于点G， ∵∠AOB＝90°，，OA＝3， ∴，AB＝＝2， ∴∠OAB＝30°，∠ABO＝60°， ∵BF∥OA， ∴∠DBA＝∠BAO＝30°， ∵∠OBA＝∠EBA＝60°， ∴∠EBD＝∠EBA﹣∠DBA＝30°， ∵， ∴EF＝1，，AF＝AE﹣EF＝2， ∵， 设， ∴EG＝2x， ∴，FG＝EF﹣EG＝1﹣2x， ∵∠FAB＝∠OAB＝30°，BF∥OA， ∴∠BFE＝∠OAF＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：60，． 三、解答题 20．（12分）解下列方程： （1）2x2﹣3x+1＝0； （2）（x+3）2＝2x+6； （3）计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°． 【答案】（1）x1＝，x2＝1； （2）x1＝﹣3，x2＝﹣1； （3）2． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）将三角函数值代入，再进一步计算即可． 【解答】解：（1）∵2x2﹣3x+1＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 则2x﹣1＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝，x2＝1； （2）∵（x+3）2＝2x+6， ∴（x+3）2﹣2（x+3）＝0， 则（x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1； （3）原式＝2×﹣4××+（）2 ＝1﹣2+3 ＝2． 21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD． （1）求证：△AEC∽△DEB； （2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立； （2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB， ∴△AEC∽△DEB； （2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°， ∴∠B＝30°， ∵AB是⊙O的直径，AD＝3， ∴∠ADB＝90°， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3． 22．（8分）王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： （1）根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（S2） 王华 80 b 80 d 张伟 a 85 c 260 则a＝ 　80　，b＝ 　80　，c＝ 　90　，d＝ 　60　， （2）将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是 　张伟　． （3）现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别求解可得； （2）根据提供数据，可以分别求出两人的优秀率，即可得出答案； （3）可以从两人平均成绩和优秀率得出答案． 【解答】解：（1）王华10次成绩分别为：80，70，90，80，70，90，70，80，90，80； 按大小顺序排列为：70，70，70，80，80，80，80，90，90，90； 则中位数b＝80； 方差d＝×[（80﹣80）2×4+（70﹣80）2×3+（90﹣80）2×3]＝60； 张伟的平均成绩a＝＝80（分）， 90出现了3次，出现的次数最多，则众数c＝90； 故答案为：80，80，90，60； （2）王华的优秀率为：×100%＝30%， 张伟的优秀率为：×100%＝50%， 则张伟的优秀率高． 故答案为：张伟； （3）∵王华与张伟的平均成绩相同，而张伟的优秀率高于王华， ∴可以选张伟参加竞赛． 23．（11分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数为交于点A（1，3），B（3，m）． （1）分别求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出，当y1＜y2时，x的取值范围； （3）在坐标轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，再利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可； （3）分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据三角形的面积求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b与反比例函数为交于点A（1，3），B（3，m）． ∴1×3＝3m，解得m＝1， ∴反比例函数的解析式为， ∴B（3，1）， 将A，B两点坐标代入y1＝kx+b，得， 解得， ∴一次函数解析式为y1＝﹣x+4， ∴两个函数的解析式分别为y1＝﹣x+4，； （2）根据题意得，一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：0＜x＜1或x＞3； （3）当P在x轴上时， 设P（s，0）， ∵△OAP的面积为6， ∴， ∴s＝±4， ∴P点坐标为（4，0）或（﹣4，0）， 当P在y轴上时， 设P（0，t）， ∵△OAP的面积为6， ∴， ∴t＝±12， ∴P点坐标为（0，12）或（0，﹣12）， 综上所述，P点的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（0，12）或（0，﹣12）． 24．（8分）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转180°，CD处可摆放平板或者手机．其中AB＝91mm，BC＝75mm，CD＝80mm．研究表明，当手机（CD）与桌面的夹角为55°时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当AB和桌面垂直且BC⊥CD时，可将BC绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时∠CBA的度数； （2）在（1）的条件下求点D到AB的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，根据题意可得：∠CDE＝55°，∠DEB＝90°，再根据垂直定义可得∠C＝90°，然后利用四边形内角和定理进行计算，即可解答； （2）过点C作CF⊥DE于F，过点B作BG⊥CF于G，根据垂直定义可得∠DFC＝∠BGC＝90°，再根据题意可得：BG＝EF，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DCF＝35°，从而可得∠BCG＝55°，进而可得∠CBG＝35°，最后分别在Rt△CDF和Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出DF和BG的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E， 由题意得：∠CDE＝55°，∠DEB＝90°， ∵DC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∴∠ABC＝360°﹣∠C﹣∠DEB﹣∠CDE＝125°， ∴此时∠CBA的度数为125°； （2）过点C作CF⊥DE于F，过点B作BG⊥CF于G， ∴∠DFC＝∠BGC＝90°， 由题意得：BG＝EF， ∵∠CDE＝55°， ∴∠DCF＝90°﹣∠CDE＝35°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠BCG＝∠DCB﹣∠DCF＝55°， ∴∠CBG＝90°﹣∠BCG＝35°， 在Rt△CDF中，CD＝80mm， ∴DF＝DC•sin35°≈80×0.57＝45.6（mm）， 在Rt△BCG中，BC＝75mm， ∴BG＝BCcos35°≈75×0.82＝61.5（mm）， ∴DE＝DF+EF＝DF+BG＝45.6+61.5≈107（mm）， 答：点D到AB的距离约为107mm． 25．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件， 依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20， 整理，得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60（舍去）． 答：售价应定为50元； （2）该商品需要打a折销售， 由题意，得，62.5×≤50， 解得：a≤8， 答：该商品至少需打8折销售． 26．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D． （1）当sinB＝时， ①求证：BE＝2CD； ②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先根据锐角三角函数求出∠B，进而求出∠A＝60°， ①先判断出EH＝CD，再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）①先求出AD＝AF＝EF＝2，再求出AB＝10，进而利用勾股定理求出BF＝＝6，得出BE＝BF﹣EF＝4，最后判断出△ACD∽△ABE，即可得出结论； ②同①的方法即可得出结论． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ①如图1，过点E作EH⊥BC于点H， ∵ED⊥AC ∴∠ADE＝∠C＝90°， ∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD， ∴在Rt△BEH中，∠B＝30°， ∴BE＝2EH ∴BE＝2CD； ②BE＝2CD成立， 理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形， ∴∠BAC＝∠EAD＝60°， ∴∠CAD＝∠BAE， 又∵，， ∴， ∴△ACD∽△ABE， ∴， 又∵Rt△ABC中，＝2， ∴＝2， 即BE＝2CD； （2）∵sinB＝， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°， ∵ED⊥AD， ∴∠AED＝∠BAC＝45°， ∴AD＝DE，AC＝BC， 将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况： ①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°， 当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°， 又∵AD＝DE， ∴四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF＝EF＝2， ∵AC＝10＝BC， 根据勾股定理得，AB＝10， 在Rt△ABF中，BF＝＝6， ∴BE＝BF﹣EF＝4， 又∵△ABC和△ADE都是直角三角形， 且∠BAC＝∠EAD＝45°， ∴∠CAD＝∠BAE， ∵，， ∴， ∴△ACD∽△ABE， ∴＝，即＝， ∴CD＝2； ②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°， 当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°， 又∵AD＝ED， ∴四边形ADEF是正方形， ∴AD＝EF＝AF＝2， 又∵AC＝10＝BC， ∴AB＝10， 在Rt△ABF中，BF＝＝6， ∴BE＝BF+EF＝8， 又∵△ACD∽△ABE， ∴＝，即＝， ∴CD＝4， 综上所述，线段CD的长为2或4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$