专题04 一元一次方程（考题猜想，压轴必刷65题13种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题04 一元一次方程（压轴必刷65题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！100 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元一次方程解的综合应用 题型二 一元一次方程新定义问题 题型三 一元一次方程的含参问题 题型四 配套问题 题型五 销售盈亏问题 题型六 方案选择问题 题型七 几何问题 题型八 电费和水费问题 题型九 日历问题 题型十 一元一次方程与数轴动点结合 题型十一 一元一次方程中的其他问题 题型十二 一元一次方程综合 题型十三 江苏地区期末压轴题综合 一．一元一次方程解的综合应用（共5小题） 1．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，由方程得，设，则方程可转化为，即可得，据此即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可转化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴方程， 故答案为：． 三、解答题 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度． （1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）利用乘法分配律可化为，再计算的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得的值，从而求解方程． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：； （2）解：原式可化为： 而 ， 即， 解得：． 4．已知代数式，其中为常数，当时，时，． (1)求的值； (2)关于的方程的解为，求的值． (3)当时，求式子的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【分析】（1）将时，代入代数式A，然后再化简即可解答； （2）将代入方程得到：，再将时代入代数式B得到：，然后将上面两个等式通过整理变形即可求出k值； （3）先分别求出A、B、E，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解：将时，代入代数式A，可得：，即． （2）解：由题意可知：当时， ， 整理得①， 将时代入代数式B得到：， 整理得：②， 将②式代入①中可得：， 整理得，解得：． （3）解：∵，， ∴，整理得：， ∵， ∴ ∴当时，， ，， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的加减涉及到一元一次方程的解等知识点，掌握整体思想成为解答本题的关键． 5．已知，当时，的值为10． (1)当时，求的值． (2)当时，的值为，求的值． (3)设，当时，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，，代入等式中，求值即可； （2）把，代入等式，求解即可； （3）分别求出时，的值，即可得解． 【详解】（1）解：把，，代入，得： ， 整理，得：， 解得：； （2）解：把，代入，得： ， ∴ ∴， ∵当时，的值为10， ∴，即：， ∴； （3）当时，， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查整式的加减，以及解一元一次方程．熟练掌握合并同类项法则，以及解一元一次方程的步骤，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 二．一元一次方程新定义问题（共5小题） 6．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 7．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”； (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，求的值． 【答案】(1)是，过程见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解； （3）根据定义列出方程，并根据m的系数为0时，符合题意，求出解． 【详解】（1）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； （3）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 即， 当时，即，对于任何数m，得，它们不是“2差解方程”． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解含字母系数的方程等，理解新定义是解题的关键． 8．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【分析】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可； （3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． 9．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：，． ．． 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2）解：“美好方程”的两个解的和为1， 另一个方程的解为：． 两个解的差为8， 或． 或； （3）解：．． 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为． 关于的一元一次方程可化为：． ． ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 10．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可； （2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可； （3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可． 【详解】（1）由得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“小美方程”， 故答案为：是； （2）解：∵ 解得：； 对于，解得； 由题意，当时，，解得：； （3）解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键． 三．一元一次方程的含参问题（共5小题） 11．已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 【答案】(1) (2)3或8 【分析】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可； （2）用含的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定的值即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得，， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ， 去小括号，得：， 去中括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， ∵方程的解是正整数， ∴能被整除， 又∵为正整数， ∴或， 解得：或； 故答案为：3或8． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母的时候，不要漏乘，去括号，移项时，注意符号的变换． 12．已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程． （1）若该方程的解是x＝3，求t的值． （2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值． 【答案】（1）t＝；（2）当x=1时，t=3，当x=4时，t=0，当x=-1时，t=-5，当x=-4时，t=-2，当x=2时，t=1，当x=-2时，t=-3． 【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n＝2，m＝﹣1，然后将x＝3代入可得t的值； （2）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论， 【详解】解：（1）由题意得：n＝2，m＝﹣1； ∴﹣x﹣xt+4＝0， 当x＝3时，则﹣3﹣3t+2+2＝0， ∴t＝； （2）（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0， ∵n＝2，m＝﹣1， ∴﹣x﹣xt+4＝0， ∴t≠﹣1，x≠0 ∵t是整数，x是整数， ∴当x＝1时，t＝3， 当x＝4时，t＝0， 当x＝﹣1时，t＝﹣5， 当x＝﹣4时，t＝﹣2， 当x＝2时，t＝1， 当x＝﹣2时，t＝﹣3． 【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件． 13．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号的意义是． 例如：，． (1)直接写出的值 ； (2)计算：当时，的值； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）利用已知的新定义计算即可得出结果； （2）由得出或，再由新定义列出代数式，化简后代入计算即可得出结果； （3）由新定义得出一元一次方程，解方程即可得出m的值． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， 解得：或， 由题意可得： ， 当时，， 当时， ； （3）解：由题意得： ， 解得：． 14．小王在解关于x的方程时，误将看作，得方程的解． (1)求a的值； (2)求此方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义： （1）把代入方程中求出a的值即可； （2）根据（1）所求得到正确的方程，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知正确的方程为， ∴， 解得． 15．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 四．配套问题（共5小题） 16．列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 【答案】(1)应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘，根据每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍列出方程求解即可； （2）先分别求出窗户的总面积和遮光帘的面积，再分别用含a的式子表示出甲、乙两个厂家所给方案的费用，再根据选择甲、乙两个厂家所需费用相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘； （2）解：由题知，窗户的总面积为平方米，遮光帘的面积为（平方米）， ∴该窗户的透光面积共平方米． ∵． ∴， ∴窗户玻璃的面积超过平方米． 甲商家所需的费用为：， ∵，， ∴赠送的遮光帘面积小于实际需要的遮光帘面积． 乙商家所需的费用为：， ∵李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同， ∴， 解得：． 故的值为． 17．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)12；20 (2)100张裁剪A型， 30张裁剪B型；300个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，列出算式计算即可； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，根据1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：12，20； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用张原材料板材裁剪B型纸板， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做300个纸盒． 18．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题： （1）若有11张白板纸． ①请完成下表： x张白板纸裁成盒身 （    ）张白板纸裁成盒盖 盒身的个数 （    ） 0 盒盖的个数 0 （    ） ②若盒身与盒盖全部配套用完，求可做多少个包装盒． （2）若仓库中已有5个盒身，4个盒盖和21张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖，当盒身与盒盖全部配套用完，可做多少个包装盒？ （3）若有n张白板纸，先把一张纸适当裁成3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖，当盒身与盒盖全部配套用完，求n的可能值． 【答案】（1）15个；（2）32个；（3）57 【分析】（1）①根据题意可填表；②由题意可得3x×2=5（11-x），求出做盒身的白纸板有多少即可求出做盒子的个数； （2）设裁成盒身用y张白纸板，则裁盒盖的白纸板有（21-y）张，列出方程2×3y+2×5=4+5（21-y）； （3）设用z张白纸板裁盒身，则裁盒盖的白纸板有（n-z-1）张，列方程为3×2+2×3z=5（n-z-1）+1，求出n与z的关系式为5n=11z+10，再由50≤n≤60，求得≤z≤，进而求出n的值． 【详解】解：（1）①表中依次填3x，（11-x），5（11-x）； ②由题意可得：3x×2=5（11-x）， 解得x=5， ∴有5张白纸做盒身， ∴最多可以做15个包装盒； （2）设裁成盒身用y张白纸板，则裁盒盖的白纸板有（21-y）张， 由题意可得2×3y+2×5=4+5（21-y）， 解得y=9， ∴9张白纸板能做27个盒身， ∴可以做32个包装盒； （3）设用z张白纸板裁盒身，则裁盒盖的白纸板有（n-z-1）张， 由题意可得3×2+2×3z=5（n-z-1）+1， ∴5n=11z+10， ∵50≤n≤60， ∴250≤11z+10≤300， ∴≤z≤， ∴z的值为22，23，24，25，26， ∴n的值为57， 故答案为57． 【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用；能够理解题意，准确的找到等量关系，列出代数式是解题的关键． 19．在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图1）.七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面（图2）或剪10个圆柱底面（图3）. （1）七（1）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套. 【答案】（1）七年级（1）班有男生24人，女生26人；（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援14人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【分析】（1）设七年级（1）班有男生有x人，则女生有（x+2）人，根据“男生人数+女生人数=50”列出方程，求解即可； （2）分别计算出24名男生和26名女生剪出的筒身和筒底的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）设七年级（1）班有男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得： x+x+2=50， 解得：x=24， 女生：24+2=26（人）， 答：七年级（1）班有男生24人，女生26人； （2）男生剪筒身的数量：24×20=480（个）， 女生剪筒底的数量：26×10=260（个）， 因为一个筒身配两个筒底，480：260≠1：2， 所以原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，每小时剪出的筒身与筒底不能配套． 设男生应向女生支援y人，由题意得： 20（24-y）×2=10（26+y）， 解得：y=14， 答：男生应向女生支援14人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程． 20．某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品. （1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？ （2）工厂补充 40名新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工 4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 【答案】（1）48；（2）64，能． 【分析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据“生产的装置总数=每人每天生产的数量×人数”结合每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中即可求出结论； （2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中即可求出补充新工人后每天能配套生产的套数，进而求出20天生产的总数，与1200比较即可得出结论． 【详解】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置， 根据题意得：， 解得：x=32，∴48． 答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品． （2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置， 根据题意得：， 解得：y=64，∴y=64． ∵64×20=1280＞1200，∴补充新工人后20天内能完成总任务． 答：补充新工人后每天能配套生产4套产品，补充新工人后20天内能完成总任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 五．销售盈亏问题（共5小题） 21．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 22．W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 【答案】(1)购进A，B两款服装分别为200件、150件 (2)B款服装的原售价是378元 (3)小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元、1290元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）设购进A款服装x件，则购进B款服装件，根据用72000元同时购进A、B两款服装共350件，列出方程进行求解即可； （2）设A、B两款服装的原售价分别为元，元，根据10月份售出A，B两款服装共获利40%，列出方程进行求解即可； （3）设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元，分，，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：设购进A款服装x件，则购进B款服装件， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A，B两款服装分别为200件，150件； （2）解：设A、B两款服装的原售价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ∴（元），（元）， 答：B款服装的原售价是378元． （3）解：设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元， 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案二实际付款为：（元）． ∵， ∴两人各自购物实际付款总额为：（元）， ∵小钟所购物品的原总价高于小依， ∴， ∴， ①当时，， 解得：，与矛盾； ②当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； ③当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； 答：小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元，1290元． 23．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表1 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表2 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 表3 【答案】(1)1盆饼干售价为370元 (2)每盒糖果的进价为元 (3)当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）设1盆饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，根据购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元，建立一元一次方程，求解即可； （2）根据题意得12月份1盆饼干售价为元，1盒糖果的售价为元，饼干销售量为500盒，糖果的销售量为盒，根据总销售额等于总成本，建立一元一次方程，求解即可； （3）由销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元，可计算出月成交销售额为元，设购进饼干的数量为m盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额为元，建立一元一次方程，求解出m的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盆饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，由题意得： 解得：， 答：1盆饼干售价为370元； （2）解：12月份1盆饼干售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干销售量为500盒，糖果的销售量为（盒）， 设每盒饼干的进价为y元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元； （3）解：由题意得： （元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， ①当饼干的数量大于1500盒，糖果的数量小于500盒时， 此时饼干的总进价为：， 糖果的总进价为：， ， 解得：， （盒）； ②当饼干的数量大于1000盒小于1500盒，糖果的数量大于500盒小于1000盒时， 此时饼干的总进价为：， 糖果的总进价为：， ， 解得：， （盒）； 综上，购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒；或购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒； 当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利：（元）； 当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利：（元）， 答：当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元． 24．2023年冬季已经到来，哈市某商店计划购进一批冰雪吉祥物“冰敦敦”，生产厂家定价为每个“冰敦敦”40元，由于临近冰雪节，生产厂家进行促销活动，商店以八折的价格购进，结果比计划多购进了30个“冰敦敦”． (1)该商店购进这批“冰敦敦”共花费多少元？ (2)该商店将每个“冰敦敦”在进价的基础上提高50％进行销售．由于“冰敦敦”深受人们的喜欢，所以很快售完．商店以同样的进价又购进了300个“冰敦敦”，并以同样的售价进行销售，快到春节了，商店还有第二次购进的30％的“冰敦敦”没卖出去，求此时商店获利多少元； (3)在（2）的条件下，春节过后商店将剩下的“冰敦敦”以售价的五折进行降价处理，那么商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利多少元？ 【答案】(1)共花费4800元 (2)获利2880元 (3)共获利5040元 【分析】本题考查了方程的应用，分数的混合运算； （1）设商店购进这批“冰敦敦”共花费x元，根据题意列出方程即可求解； （2）由（1）所求可得第一次购得“冰墩墩”的数量及实际的进价、售价，根据总利润=总售价总进价，即可求解； （3）先计算出剩余“冰墩墩”的利润，即可求得全部销售完后的总利润． 【详解】（1）解：设该商店购进这批“冰敦敦”共花费x元， 由题意得：， 解得：， 答：该商店购进这批“冰敦敦”共花费4800元； （2）解：第一次购得“冰墩墩”的数量为：（个），实际的进价为（元），实际的售价为：（元）， 销售出去的“冰墩墩”的总利润为：（元） 答：商店此时获利2880元； （3）解：（元），（元） 答：商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利5040元． 25．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)60， (2)购进甲商品40件，乙商品10件 (3)13或14件 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为． 故答案为：60，． （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品10件． （3）解：设第一天购买乙种商品a件， 依题意得，， 解得或4.5（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 设第二天购买甲种商品b件， 依题意得，， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， （件）或（件）． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键． 六．方案选择问题（共5小题） 26．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【答案】(1)24 (2)56 (3)元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过3小时计算即可； （2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可； （3）按白天停车6小时，夜间停车小时计算即可； （4）分类讨论：①当，时，②当，时，③当，时和④当，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （2）解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分， 所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费， 所以刘老师需付停车费元； （3）解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时， 因为离场时间介于当日的间， 所以夜间停车未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （4）解：分类讨论：①当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即． 因为均为非负整数， 所以只能取，； ②当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即， 因为均为非负整数， 所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，； ③当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即，不符合题意； ④当，时， 刘老师应付停车费元，不符合题意． 综上可知，或，或，． 27．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 28．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 29．曙光双语学校月日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买支双色圆珠笔和支单色圆珠笔共需要元． (1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 球珠直径 单价 元 元 元 现在学校用元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】() 设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， 则，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得：， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． 30．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人 (2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多于（2）班人数，所以51<x<100，则0<102−x<51， 利用单独购买门票，一共应付5500元列方程，解方程即可； （2）按照团体票的单价计算总费用，即可得到答案； 【详解】（1）解：设去该景区游玩的七年级（1）班有x人，（2）班有人．根据题意，得 解得． 则（2）班人数为：（人）． 答：七年级（1）班有62人，（2）班有40人． （2）解：方案一：各自购买门票需（元）； 方案二：联合购买门票需（元）； 方案三：联合购买101张门票需（元）； 综上所述：因为． 答：七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用：方案选择问题，解题的关键是读懂题意，利用隐含条件找出等量关系列方程． 七．几何问题（共5小题） 31．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①点表示的数为或2；② 【分析】（1）利用正方形的面积为16，可得长，再根据，进而可得点表示的数； （2）①先根据正方形的面积为16，可得边长为4，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数； ②当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：正方形的面积为16， ， 点表示的数为， ， ， 数轴上点表示的数为， 故答案为：． （2）解：①正方形的面积为16， 边长为4， 当时，分两种情况： 若正方形向左平移，如图1， ， ， 点表示的数为； 若正方形向右平移，如图2， ， ， 点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或2； ②的值为4．理由如下： 当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意； 当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图3， ，点表示， 点表示的数为， ，点表示， 点表示的数为， 点，所表示的数互为相反数， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． 32．如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 33．已知：中，，点P是的边上一动点，点P从点B开始沿着的边按路径顺时针运动，移动速度为每秒2个单位．如图1． (1)试求出P点第一次回到B点的运动时间： (2)如图2，若点Q是的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着边顺时针移动，移动的速度为每秒4个单位，试问：当t为何值时，在三角形同一边上，P、Q两点的路径距离第1次相差为3个单位? (3)若点P、点Q沿着的边顺时针运动不停止，在三角形同一边上，t为何值时，它们路径距离第2次、第3次……第n次相差为3个单位?（结果用n表示） 【答案】(1)P点第一次回到B点需要秒 (2)时，点P点Q第一次在同边（边）上相差3个单位 (3)（n为正整数）秒时，在同一边上，P、Q两点的路径距离第n次相差3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，动点运动问题．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据P点第一次回到B点需要的时间为，计算求解即可； （2）由题意知，分①当点P在点Q前面时，②当点Q在点P前面时，两种情况列方程求解，然后判断作答即可； （3）由题意知，每隔秒，点P回到B点，点Q回到C点，由在运动过程中，在同边边上，P、Q两点的路径距离相差为3，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴P点第一次回到B点需要秒； （2）解：由题意知，分①当点P在点Q前面时，②当点Q在点P前面时两种情况求解； ①当点P在点Q前面时，由题意得：， 解得：， 此时，点P移动的路程为1﹐点Q移动的路程为2， ∴点P在边上，Q在边上，不在同一边，不符合要求； ②当点Q在点P前面时：由题意，得：， 解得：， 此时，点P移动的路程为7，点Q移动的路程为， ∴点P在边上，Q在边上，在同一边上，符合要求； ∴当时，点P点Q第一次在同边（边）上相差3个单位； （3）解：由题意知，每隔秒，点P回到B点，点Q回到C点， ∵在运动过程中，在同边边上，P、Q两点的路径距离相差为3， ∴（n为正整数）秒， ∴（n为正整数）秒时，在同一边上，P、Q两点的路径距离第n次相差3． 34．两个正方形在数轴上的位置如图1所示，若左边正方形沿数轴向左移动4个单位长度，右下角的点落在数轴上的点A处，右边正方形沿数轴向右移动6个单位长度，左下角的点落在数轴上的点B处，如图2所示． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点A与点B之间的距离为 ． (2)如图3，左边正方形从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动；同时右边正方形从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，当两点重合时，两个正方形立即以原速度返回，回到各自原先的位置时停止运动，设运动时间为秒． ①当两点重合时，请求出此时A′在数轴上表示的数． ②在整个运动过程中，当A，三点中有一点到其它两点距离相等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)；6；10 (2)①；②t的值为2或3 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数和一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键． （1）由平移的方向和距离可知，两点表示的数，即可求出两点的距离； （2）①由点和点的运动可知，可得到运动后点所对应的数是：，点所对应的数是，由点与点相遇，可知所对应的数相等，列出方程求解即可； ②分两种情况，分别求出为的中点时的值即可． 【详解】（1）由平移的方向和距离可知点表示的数为，点表示的数为6， 点与点之间的距离为； 故答案为：，6，10； （2）①运动后点所对应的数是，点所对应的数是， 当点与点重合时，可知所对应的数相等， ， 解得， ， 此时在数轴上表示的数为； ②当点与点重合之前，为的中点， ， 解得， 当点与点重合之后， 设再过秒，为的中点， ， 解得， ， 的值2秒或3秒． 35．如图，面积为30的长方形的边在数轴上，O为原点，．线段从出发，以每秒1个单位的速度向右移动，与此同时线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动．连接，新长方形与原长方形重叠部分的面积记为S，设运动时间为t． (1)当在O、A之间，用含t的代数式表示：______． (2)S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数是多少？ (3)长方形与长方形未重叠部分的面积记为，请直接写出时，t的值． 【答案】(1) (2)数轴上点表示的数是0或4 (3)或或 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）先根据长方形面积公式求出，再求出，则； （2）分当在左侧时，重叠部分即为长方形，，当在右侧时，重叠部分即为长方形，根据重叠面积为原长方形面积的一半建立方程求解即可； （3）分当线段、在长方形内部，且相遇前，当线段、在长方形内部，且相遇后，当线段在长方形外部，线段在长方形内部，当线段、在长方形外部在O左侧，在右侧，四种情况根据长方形竖直方向的边长相同结合面积之间的关系转化成水平方向上线段的之间的关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∵线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动， ∴， ∴， 故答案为： ； （2）解：由题意得，，， 如图所示，当在左侧时，重叠部分即为长方形， ∴， 解得， ∴， ∴数轴上点表示的数是4， 如图所示，当在右侧时，重叠部分即为长方形， ∴， 解得， ∴， ∴数轴上点表示的数是0， 综上所述，数轴上点表示的数是0或4； （3）解：如图所示，当线段、在长方形内部，且相遇前， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图所示，线段、在长方形内部，且相遇后， ∴， ∴， 解得； 如图所示，线段在长方形外部，线段在长方形内部， ∴， ∴， 解得，舍去， 如图所示，线段、在长方形外部在O左侧，在右侧， ∴， ∴， 解得． 综上所述，t的值为或或． 八．电费和水费问题（共5小题） 36．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 37．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 【答案】(1)元 (2) (3)当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； （3）当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元，则选择套餐A更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则，解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；据此可得答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 解得； （3）解：设贝贝的爸爸使用流量， 当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元， ∵， ∴选择套餐A更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 综上所述，当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 38．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 39．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 【答案】（1）；（2）B套餐更合算 【分析】（1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费，由此列方程即可求解； （2）根据主叫时间不超过，可知使用两种套餐均无主叫超时费；根据表二计算出六月份使用流量，根据计费规则计算出两种套餐的月结话费，比较大小即可． 【详解】解：（1）由题意知，小王使用流量，流量免费， 则， 解得； （2）主叫时间不超过，因此使用两种套餐均无主叫超时费； 由表二知，小张六月份使用流量为：， 使用A套餐费用为：（元）， 使用B套餐费用为：（元）， ， 因此B套餐更合算． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是看懂两个套餐的计费规则． 40．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思?电费是如何计算的?第一档与第二档又有什么关系？ 表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改） 电压等级 普通电价（元/度） 峰谷电价（元/度） 峰时电价 谷时电价 第一档 年用电量不超过度的部分 第二档 年用电量超过度但不超过度的部分 第三档 年用电量超过度的部分 【解读信息】 通过互联网查询后获得上表（如表1）．小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为： ． 第一档年用电量的上限为度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度．不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度． 【理解信息】 (1)若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元．（精确到） (2)若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元．（用含有m的代数式表示） 【重构信息】 (3)月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为．请根据上述对话完成下列问题： ①通过计算判断：截至月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？ ②月份谁家的用电量多，多了多少？ 【答案】(1) (2) (3)①小江家月份的用电量必定超过第一档；②小江家用电量多，比小北家多用度． 【分析】（1）电价乘用电量即可得； （2）用电量为1度，则有，即可得； （3）①假设小江家月的用电量未超过第一档，即可求出该月最多支付电费，根据，即可得小江家月份的用电量必定超过第一档；②设小江家月份用电量为x度， 进行计算得， 即可得． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：． （2）解：用电量为1度，则有（元）， 故答案为：． （3）解：①假设小江家月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费： （元）， ∵， ∴小江家月份的用电量必定超过第一档； ②设小江家月份用电量为x度， ， 解得， （度）， 即小江家用电量多，比小北家多用度． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出一元一次方程，正确计算． 九．日历问题（共5小题） 41．观察某月日历，回答下列问题：    (1)观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论． (2)小敏外出了5天，这5天的日期之和是65，小敏是几号外出的？ 【答案】(1)①横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍；②竖着看，下一个数字比上一个数字大7（答案不唯一） (2)11号 【分析】（1）根据横向看表格相邻两个数字差1，竖向看表格相邻两个数字差7，回答问题； （2）设小敏号外出，根据相邻两个数字差1，5天的日期之和是65，列一元一次方程，解答即可． 【详解】（1）①横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍； ②竖着看，下一个数字比上一个数字大7； （2）设小敏是x号外出的 根据题意得： 去括号并合并同类项： 解得：． 答：小敏是11号外出的． 【点睛】本题主要考查了表格数字问题．解题的关键是熟练掌握月历表数字规律，列一元一次方程解答． 42．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 【答案】(1)10；； (2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析； (3)21，23或29． 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a3，同样可用含x的式子表示a4； （2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值． 【详解】（1）解：由题意得：a3=1+7+2=10，若a＝x，则a4=x+1-7=x-6， 故答案为：10；x-6； （2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对， 理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24； 大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)； ∴小胖的说法对，大胖的说法不对； （3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61； ∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1， ∴b的值可以为：21，23，29， 故答案为：21，23或29． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 43．把正整数，．．排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第行、第行、…，从左到右分别称为第列、第列、．．．．用图2所示的方框在图1中框住个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为．设 （1）在图1中，排在第 行第 列；排在第行第列的数为 ．其中，，且都是正整数：(直接写出答案） （2）若，求出所表示的数； （3）在图2中，被阴影覆盖的这些数的和能否为？如果能，请求出这些数中最大的数，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）237，8；8m+n-8；（2）77；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）每行8个数，1896÷8=237，1896排在第237行第8列；第m行第8列数为8m，第m行第n列为8m+n-8； （2）设A=x，可以依据A、B、C、D四个数排列的规律依次用含x的代数式表达，再根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程求出x，如果x为正整数，并且不在第6、7、8列，才能符合题目要求． 【详解】解：（1）∵1896÷8=237，1896排在第237行第8列； 根据数字排列规律：第m行最后一列数字为8m， ∴排在第m行第n列的数为8m+n-8； 故答案为：237，8；8m+n-8； （2）由题意得：A=x，B=x+24，C=x+27，D=x+3， ∵A+2B+3D=357， ∴x+2（x+24）+3（x+3）=357， 解得：x=50， ∴C=x+27=50+27=77； （3）这些数的和不能为4170； ∵被阴影覆盖的这些数的和=x+1+x+2+x+8+x+9+x+10+x+11+x+16+x+17+x+18+x+19+x+25+x+26=12x+162， 若12x+162=4170， ∴x=334，是正整数， ∵334=8×41+6， ∴334在第6列，不符合题意． 【点睛】本题考查了规律型问题和一元一次方程的应用，解题的关键是弄清楚数字的排列规律． 44．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框柱5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用，，，，表示． （1）若，则______． （2）直接写出，，，，的和与之间的一个等量关系：______． （3）设，判断的值能否等于2035？若能，请求出框内5个数，若不能，请说明理由．    【答案】（1）68；（2）；（3）不能等于2035，详见解析 【分析】（1）由x=17可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据M=5x，代入2010求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2010． 【详解】（1）∵ ∴，，， ∴； （2）∵观察图片可知，比小，比小，比大，比大 ∴，，，； ∴ ∴； （3）不能等于2035，理由如下： ∵， ∴， 当时，， ∵407为奇数，，所以2035在第34行第6列 ∴的值不能等于2035 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． 45．（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在横线上） （2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出16个数． ①图中框出的这16个数的和是__________； ②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于2016，2168，是否可能？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．     【答案】（1），，；（2）①352；②框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138；它们的和不可能等于2168，见解析 【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是a，则上面的数是a-7，下面的数是a+7； （2）①可以把这16个数直接加起来即可， ②可以设最小的数是m，那么第一行的四个数的和就是4m+6，第二行的四个数的和就是4m+6+7×4=4m+34，第三行的四个数的和是4m+34+7×4=4m+62，第四行的四个数的和是4m+62+7×4=4m+90，（其中最大数是m+24），然后这16个数相加也就是四行数相加，令其结果等于2016或2168，看计算出的m的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是就说明不存在． 【详解】解：（1）若中间的数是a，那么上面的数是a-7，下面的数是a+7， 故这三个数从小到大排列分别是a-7，a，a+7； （2）①16个数中， 第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46， 第二行的四个数之和是：46+4×7=74， 第三行的四个数之和是：74+4×7=102， 第四行的四个数之和是：102+4×7=130． 于是16个数之和=46+74+102+130=352． 故图中框出的这16个数之和是352； ②设这16个数中最小的数为，则这16个数分别为，，，，，，，，，，，，，，，， 它们的和为（为正整数）， 所以它们的和可以等于2016， 理由：，解得， 所以， 因此框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138， 它们的和不可能等于2168， 理由：，解得， 而应为整数，所以16个数的和不可能等于2168． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． 一十．一元一次方程与数轴动点结合（共5小题） 46．如图，数轴上点、、表示的数分别是，0，8，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，到达线段的中点时停留1秒后继续向右运动；点从点出发的同时，点从点出发；沿数轴以每秒2个单位长度的速度按照的路径匀速运动．当点回到点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的中点表示的数是_________； (2)当时，线段的长为_________； (3)当时，线段的长为_________； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点中点计算公式求解即可； （2）分别求出点P和点Q表示的数，再根据数轴上两点中点计算公式求解即可； （3）分别求出点P和点Q表示的数，再根据数轴上两点中点计算公式求解即可； （4）先求出点P到达数3的时间，以及点Q回到点B的时间，再分点P到达数3的过程中点Q向点O运动和点Q向点B运动，点P停留过程中，点P停留结束后，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点、表示的数分别是，8， ∴线段的中点表示的数是， 故答案为：； （2）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 故答案为：4； （3）解：秒，秒， ∴点P运动5秒后到达线段的中点，点Q运动4秒到达点O， ∴当时，点P表示的数为3，点Q表示的数为， ∴， 故答案为：． （4）解：当秒， ∴点P的运动时间为8秒， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为3，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或或． 47．【定义】：在同一直线上的三点、、，若满足点到另两个点、的距离具有倍关系，则我们就称点是其余两点的强点（或弱点），具体地： ①当点C在线段上时，若，则称点是【，】的强点，若，则称点是【，】的强点； ②当点C在线段的延长线上时，若，则称点是【，】的弱点． 【例如】如图，数轴上点A、、、分别表示数，，，，则点是【，】的强点，又是【，】的弱点；点是【，】的强点，又是【，】的弱点； 【应用】Ⅰ．如图，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． （1）【，】的强点表示的数为；【，】的弱点表示的数为． 【应用】．数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为．一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． （）①当时，是【，】的弱点． ②当时，、、三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 【答案】（1）2；；（2）①；②或或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）先根据两点距离公式得到，设的强点为T，根据强点的定义得到，则点T表示的数为，据此可得答案；设的弱点为S，则，可得，进而求出点S表示的数为； （2）①由题意得，运动t秒后点P表示的数为，由弱点的定义可得方程，解方程即可得到答案； ②分其中一点是另外两点的强点，根据强点的定义分情况列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点M所表示的数为，点N所表示的数为4， ∴， ∴设的强点为T， 由题意得，， ∴， ∴点T表示的数为， ∴的强点表示的数为2； 设的弱点为S，则， ∴， ∴点S表示的数为， ∴的弱点表示的数为； （2）①由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∵P是【，】的弱点， ∴且点P在延长线上， ∴， 解得； ②当P是的强点时，则， ∴， 解得； 当P是的强点时，则， ∴， 解得； 当是的强点时，则， ∴， 解得； 当是的强点时，则， ∴， 解得； ∵从点出发，则点在线段的延长线或反向延长线上， ∴点不可能是B、P两点的强点， 综上所述，当或或或时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 48．数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ； (2)当 时，M、N两点在折线段上相遇； (3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； (4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 【答案】(1) (2) (3)或． (4)为秒或秒时 【分析】（1）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解； （2）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解；根据题意列出方程即可求解； （3）根据（2）的结论，分相遇前与相遇后分类讨论，即可求解． （4）分点在上，上，上三种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，点表示的数为，点表示的数为， ， 故答案为：． （2）解：当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点、都运动到折线段上时，即， ∴点表示的数为，点表示的数为； ∴、两点间的和谐距离；、两点间的和谐距离； 当、两点相遇时，，解得， 故答案为：； （3）解：由（2）可得当、两点相遇前相距4，则 ， 解得： 相遇后相距4，则， 解得：； 故答案为：或． （4）解：当点在上即时，点表示的数为，点表示的数为， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 当点在折线段上，即时，点表示的数为，点表示的数为， 题意得，或， 解得或； 当点在上，即时，点表示的数为，点表示的数为，则点在点的左侧， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 综上，当为秒或秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握一元一次方程的应用． 49．阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点A和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)当代数式取最小值时，求此时的取值范围及该代数式的最小值． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①求出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点A与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②或5 (2)当时，最小，最小值是 (3)①，，；②不变，2 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点距离计算，整式的加减计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）①根据两点之间的距离公式可得；②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，即数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和最小，，那么应在和2之间的线段上，据此可得答案； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②∵，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）解：∵， ∴即为数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和，如下图，    ∴的最小值，即数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和最小， ∴当时，最小，最小值是； （3）解：①∵是最大的负整数， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2，理由如下： ∵点以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴． 50．已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1) ， ， ． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数． ③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 【答案】(1)，，12 (2)①（秒；②点在数轴上表示的有理数为：6；③ 【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可； （2）①点到点用时6秒，到点用时3秒，点运动18个单位长度在的中点处，根据第一次相遇，列方程求解即可； ②求得运动时间，然后由运动路程时间速度解答； ③当时，确定，的值，利用绝对值的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：根据二次多项式的定义可得：，即， ，， 故答案为：，，12； （2）解：①点表示的数是，点表示的数是， ， 点从点到点用时（秒）， 点从点到点用时（秒）， 此时点运动的长度为：个单位长度， 点在的中点， 设再经过秒两点第1次重合，则有， ， 解得：， （秒）； ②点表示的数是，点表示的数是12， ， 点从点到点用时：（秒）， 则点一共运动个单位长度， ， 点在数轴上表示的有理数为：6； ③当时，点在上，点在上运动， ∵， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了多项式、一元一次方程的应用，相反数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 一十一．一元一次方程中的其他问题（共5小题） 51．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 【答案】（1）  （2）  （3）   （4）①  ② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解新方法是解题的关键. （1）根据题中的方法求解； （2）根据题中的方法求解； （3）根据题中的方法求解； （4）①根据题中的方法求出的值，再比较大小；②根据题中的方法求解. 【详解】（1）解：由于， 设① 则②， ②①得，解得， 于是， 同理：， 故答案为：； （2）由于，设① 则② ②①得， 解得：， ； 故答案为：； （3）设①则， ②①得，解得：； 同理：， 故答案为： ； (4)①设则 ， 解得： 故答案为：； ②， 设， 则 ， 故答案为：． 52．哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 53．设有理数，在数轴上所对应的点为，，记为，，计算，将其值称为点，的关联系数，记为，即．对于定点，若动点在线段上，将的最小值称为线段关于点的关联系数，记为． (1)点，，，在数轴上． ①________，________； ②若，则________． (2)点，，在数轴上，且． ①当时，________； ②当线段在数轴上运动时，请直接写出的最大值及此时的值． 【答案】(1)①；；② (2)，的最大值为，此时 【分析】（1）①根据点，的关联系数的定义可求．②由，可得，可求的值． （2）①根据线段关于点的关联系数的定义，可求的值．②当时，可求的最大值及此时的值． 【详解】（1）解：（1）①，， ，． ②若， ， ， ． 故答案为：；；． （2）解：①当时，， ，， ． ②当时， 解得，， 此时， 当时，，； 当时，，； 的最大值为，此时． 故答案为：； 【点睛】本题考查了数轴上点表示有理数，两点的距离，绝对值的性质．关键是点，的对称指标和线段关于点的对称指标两个定义的理解和运用． 54．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发现了的简便解法： 设， 则 即：． 请用你学到的方法解决以下问题： (1)计算：． (2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？ (3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．求满足如下条件的所有正整数，且这一列数前项和为2的正整数幂．请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值． 【答案】(1) (2)塔的顶层共有3盏灯 (3)18或95 【分析】本题考查的是乘方的含义，与乘方运算相关的运算规律的探究，一元一次方程的应用； （1）设，再两边都乘以3，再进一步结合题干信息解答即可； （2）设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可． （3）由题意求得数列的每一项，及前n项和，及项数，由题意可知：为2的整数幂．只需最后一项将消去即可，再分类即可求得N的值 【详解】（1）解：设， 则， ， ，， 即：． （2）解：设塔的顶层有盏灯，依题意得： ， ∴， 解得：， 答：塔的顶层共有3盏灯． （3）解：由题意可知：第一项，，第二项，，，第三项，…，，…，第n项， 结合（1）可得每项和分别为：   每项含有的项数为：1，2，3，…，n， 前组共有项数为， 前组所有项数的和为： ， 由题意可知：为2的整数幂．只需最后一项将消去即可， 则①当，解得：， 总项数为，不满足， ②当，解得：， 总项数为，满足， ③当，解得：， 总项数为，满足， ④当，解得：， 总项数为，不满足， 所有满足条件的软件激活码正整数的值为：18或95． 55．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 一十二．一元一次方程综合（共5小题） 56．阅读以下材料： 高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．他最出名的故事就是在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算？”．这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后得出正确的答案，他观察到：，， ，…，这么一来，就等于 ① 个101个相加，从而得 ② ． 根据以上材料，完成下列问题： (1)补全材料中①②所缺的内容； (2)计算：________；（用含n的代数式表示） (3)将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下数的平均数为，求删去的这个数是多少？ 【答案】(1)①50；② (2) (3)35 【分析】（1）根据题意可得一共有50个101相加，再根据乘法计算法则求出对应的结果即可； （2）仿照题意分n为奇数和偶数两种情况讨论求解即可； （3）设删去的数为x，一共有n个自然数，则这n个自然数的平均数为，，根据，得到，进而得到，据此求出或或，再讨论n的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， …， ， ∴一共有50个101相加， ∴， 故答案为：①50；②； （2）解：当n为偶数时，， ， ， ……， 以此类推，一共有个相加， ∴； 当n为奇数时，同理可知一共有个相加，还要加上， ∴； 综上所述，； （3）解：设删去的数为x，一共有n个自然数， ∴这n个自然数的和为， ∴这n个自然数的平均数为， ∵删去x后的平均数为， ∴， ∵去掉的数是这n个数中的一个， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵n为正整数， ∴或或， 当时，则， 解得，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意； ∴删去的数为35． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数字类的规律探索，有理数的加法和乘法计算，正确理解题意是解题的关键． 57．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列三个单项式：①，②，③．其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知均为关于的多项式，，，．若的任意两项都是“准同类项”，求的值． (3)已知均为关于的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)； 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）根据多项式的加减计算，根据C的任意两项都是“准同类项”，即可求解； （3）根据新定义得出的值，进而根据，，分三种情况讨论，化简绝对值，分别求得的最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：单项式，，中，与是“准同类项”的是， 故答案为：①③． （2）解：∵， ∴ ∵C的任意两项都是“准同类项”， ∴，且为正整数， ∴或； （3）解：∵，，与是“准同类项”， ∴，， ∴，， ∴ ∴，； ∵， ①若，   ∴，， 当取得最大值时，也取的最大值，即， ∴， ∴当取得最小值时，取得最大值，此时， ∴ 解得：，即的最大值为； ②若，   ∴，， ∵． ∴此情形不存在； ③若时   ∴，， ∴取得最大值为， ∵， ∴当取得最小值时，也取得最小值为， ∴， 解得：， 综上所述，最小值为，最大值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减，绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握新定义是解题的关键． 58．阅读理解：对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若和5关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，和关于4的“美好关联数”为1，和关于5的“美好关联数”为1，…，和关于100的“美好关联数”为1，… ①的最小值为 ； ②试求的最小值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①；② 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解绝对值方程，数字类的规律探索，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）根据新定义列式，再计算即可； （2）根据新定义列方程，再解方程即可； （3）先计算出和到1的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，进而求出和到2的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，由此得到规律的最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和5关于2的“美好关联数”为6； （2）解：∵和5关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ∴； 当时，的最小值为1； 当时，则，即， ∴，， ∴； 当时，的最小值为1； 当时，则，即， ∴的最小值为1； 当或时，都不符合题意，舍去； 综上：有最小值1； ②∵和关于2的“美好关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， 当或时，都不符合题意； ∴的最小值为3； 同理：， ， 以此类推，可得的最小值为； ……； ∴的最小值为： ． 59．观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 【答案】(1)①；3；② (2)2；3 (3) 【分析】本题考查了代数式求值及一元一次方程的解，熟练掌握列代数式是解答本题的关键． （1）①将对应的值代入含有的代数式计算即可；②根据题意可得关于x的方程，解方程即可求解； （2）根据表格中的数据分析判断即可； （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数．又因为时，的值为6．所以．解得即可得到代数式． 【详解】（1）①当时，代数式；当时，； 故答案为：． ②根据题意得， 解得． （2）表中的值的变化规律是的系数是1，的值每增加1，的值就增加1； 的值的变化规律是的系数是2，的值每增加1，的值就增加 2． 类似的，的值的变化规律是的系数是，的值每增加1，的值就减少 3． 故答案为：2；3． （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数． 又因为时，的值为6． 所以．解得， 故这个代数式为 60．创新题：类比同类项的概念，我们规定：对于两个多项式A和B，若所含字母相同，项数相同，并且对于A中的每一项，B中都有对应的项是同类项，我们就称这两个多项式是“同类多项式”． 例如：与是“同类多项式”，与不是“同类多项式” (1)给出下列三个多项式： ①，②，③． 其中与是“同类多项式”的是 （填写序号）． (2)已知A，B，C均为关于x，y的多项式，，，，若C与是“同类多项式”，求m，n的值． (3)已知D，E为关于x的“同类多项式”，，，若是关于x的一元一次方程且有正整数解，若a为整数，求k，a的值． 【答案】(1)①③ (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的定义，解一元一次方程： （1）根据“同类多项式”的定义，即可求解； （2）先求出，再根据“同类多项式”的定义，即可求解； （3）根据“同类多项式”的定义，可得，，再求出，可得，即可求解． 【详解】（1）解：与是“同类多项式”的是，． 故答案为：①③ （2）解：          因为C与是“同类多项式”， 所以，， ，． （3）解：因为D、E是“同类多项式”， 所以，． ， 因为是关于x的一元一次方程，且有正整数解， ∴是关于x的一元一次方程，且有正整数解， 所以， 所以．   所以 解得：， 因为22的正因数有1、2、11、22，a是整数， 所以，，不符合题意，舍去； ，，不符合题意，舍去； ，，符合题意； ，，不符合题意，舍去； 综上所述，． 一十三．江苏地区期末压轴题综合（共5小题） 61．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2) 或 (3)2022 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解． 【详解】（1）解：∵3x+m=0 ∴x ∵ ∴x=4 ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴m=9． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是1-n ∵两个解的差是8 ∴1-n-n=8或n-（1-n）=8 ∴ 或 ． （3）解：∵ ∴x=-2022 ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为： x=1-（-2022）=2023 ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴y+1=x=2023 ∴y=2022． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 62．点分别对应数轴上的数，且满足，点是线段上一点，． （1）直接写出 ， ，点对应的数为 ； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围； ②若，求的值； ③若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，为何值时，恰好是的中点． 【答案】（1）-2，10，2；（2）①不变，2；②或；③或 【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，再根据可得出点对应的数； （2）①先根据题意用t表示出点、点对应的数，再根据两点间的距离分别得出PD和AC的长，从而确定的值 ②根据列出关于t的方程，求出t的值即可． ③分和两种情况进行讨论 【详解】（1）解（1）∵， ∴a=-2，b=10， ∴AB=b-a=10-（-2）=12． 设点P 表示的数为x； ∵点是线段上一点，， ∴10-x=2（x+2），∴x=2 ∴点对应的数为2 故答案为：，， （2）①根据题意得: 点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴ ， ∴ ②∵点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴， ∵ ∴ ∴或 ③∵点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴点E表示的数为: ∴或 或 【点睛】本题考查了数轴与绝对值、解一元一次方程，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．． 63．已知关于x的方程与方程的解相同，求的值. 【答案】 【分析】先求出方程的解，再将此解代入中求m的值. 【详解】解： 将代入中，得 ∴ 【点睛】本题考查了同解方程，先根据其中一个方程求出两个方程相同的解是解答此题的关键. 64．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）根据和解方程定义,将x=代入方程求解即可,（2）根据和解方程定义,将x=和x代入方程求解即可. 【详解】解：（1）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴是方程的解． ∴ ∴． （2）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴是方程的解． 又∵是它的解， ． ∴． 把代入方程，得． ∴． ∴． ． ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解,和解方程的定义,中等难度,理解和解方程的定义,将解代入方程求解是解题关键. 65．数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示． 例如：，当时，． (1)已知，求的值． (2)已知，当时，求的值． (3)已知（a，b为常数），对于任意有理数k，总有，求a，b的值． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题主要考查的是求代数式的值、解一元一次方程、整式加减的无关性问题等知识点，掌握记号的运算方法是解题的关键． （1）将代入中进行计算即可； （2）将代入中，根据列方程计算即可； （3）根据题意将代入中，可知k的倍数，进而完成解答． 【详解】（1）解：将代入中可得： ． （2）将代入中可得：， ∵， ∴，解得：． （3）解：将代入中可得： ， ∵对于任意有理数k，总有， ∴，即， ∴，解得：． $$ 专题04 一元一次方程（压轴必刷65题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元一次方程解的综合应用 题型二 一元一次方程新定义问题 题型三 一元一次方程的含参问题 题型四 配套问题 题型五 销售盈亏问题 题型六 方案选择问题 题型七 几何问题 题型八 电费和水费问题 题型九 日历问题 题型十 一元一次方程与数轴动点结合 题型十一 一元一次方程中的其他问题 题型十二 一元一次方程综合 题型十三 江苏地区期末压轴题综合 一．一元一次方程解的综合应用（共5小题） 1．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题 3．解方程： (1) (2) 4．已知代数式，其中为常数，当时，时，． (1)求的值； (2)关于的方程的解为，求的值． (3)当时，求式子的值． 5．已知，当时，的值为10． (1)当时，求的值． (2)当时，的值为，求的值． (3)设，当时，比较与的大小． 二．一元一次方程新定义问题（共5小题） 6．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 7．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”； (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，求的值． 8．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 9．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 10．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 三．一元一次方程的含参问题（共5小题） 11．已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 12．已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程． （1）若该方程的解是x＝3，求t的值． （2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值． 13．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号的意义是． 例如：，． (1)直接写出的值 ； (2)计算：当时，的值； (3)当时，求m的值． 14．小王在解关于x的方程时，误将看作，得方程的解． (1)求a的值； (2)求此方程正确的解． 15．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 四．配套问题（共5小题） 16．列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 17．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 18．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题： （1）若有11张白板纸． ①请完成下表： x张白板纸裁成盒身 （    ）张白板纸裁成盒盖 盒身的个数 （    ） 0 盒盖的个数 0 （    ） ②若盒身与盒盖全部配套用完，求可做多少个包装盒． （2）若仓库中已有5个盒身，4个盒盖和21张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖，当盒身与盒盖全部配套用完，可做多少个包装盒？ （3）若有n张白板纸，先把一张纸适当裁成3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖，当盒身与盒盖全部配套用完，求n的可能值． 19．在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图1）.七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面（图2）或剪10个圆柱底面（图3）. （1）七（1）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套. 20．某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品. （1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？ （2）工厂补充 40名新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工 4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 五．销售盈亏问题（共5小题） 21．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 22．W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 23．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表1 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表2 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 表3 24．2023年冬季已经到来，哈市某商店计划购进一批冰雪吉祥物“冰敦敦”，生产厂家定价为每个“冰敦敦”40元，由于临近冰雪节，生产厂家进行促销活动，商店以八折的价格购进，结果比计划多购进了30个“冰敦敦”． (1)该商店购进这批“冰敦敦”共花费多少元？ (2)该商店将每个“冰敦敦”在进价的基础上提高50％进行销售．由于“冰敦敦”深受人们的喜欢，所以很快售完．商店以同样的进价又购进了300个“冰敦敦”，并以同样的售价进行销售，快到春节了，商店还有第二次购进的30％的“冰敦敦”没卖出去，求此时商店获利多少元； (3)在（2）的条件下，春节过后商店将剩下的“冰敦敦”以售价的五折进行降价处理，那么商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利多少元？ 25．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 六．方案选择问题（共5小题） 26．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 27．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 28．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 29．曙光双语学校月日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买支双色圆珠笔和支单色圆珠笔共需要元． (1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 球珠直径 单价 元 元 元 现在学校用元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用． 30．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 七．几何问题（共5小题） 31．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 32．如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 33．已知：中，，点P是的边上一动点，点P从点B开始沿着的边按路径顺时针运动，移动速度为每秒2个单位．如图1． (1)试求出P点第一次回到B点的运动时间： (2)如图2，若点Q是的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着边顺时针移动，移动的速度为每秒4个单位，试问：当t为何值时，在三角形同一边上，P、Q两点的路径距离第1次相差为3个单位? (3)若点P、点Q沿着的边顺时针运动不停止，在三角形同一边上，t为何值时，它们路径距离第2次、第3次……第n次相差为3个单位?（结果用n表示） 34．两个正方形在数轴上的位置如图1所示，若左边正方形沿数轴向左移动4个单位长度，右下角的点落在数轴上的点A处，右边正方形沿数轴向右移动6个单位长度，左下角的点落在数轴上的点B处，如图2所示． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点A与点B之间的距离为 ． (2)如图3，左边正方形从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动；同时右边正方形从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，当两点重合时，两个正方形立即以原速度返回，回到各自原先的位置时停止运动，设运动时间为秒． ①当两点重合时，请求出此时A′在数轴上表示的数． ②在整个运动过程中，当A，三点中有一点到其它两点距离相等时，请直接写出t的值． 35．如图，面积为30的长方形的边在数轴上，O为原点，．线段从出发，以每秒1个单位的速度向右移动，与此同时线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动．连接，新长方形与原长方形重叠部分的面积记为S，设运动时间为t． (1)当在O、A之间，用含t的代数式表示：______． (2)S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数是多少？ (3)长方形与长方形未重叠部分的面积记为，请直接写出时，t的值． 八．电费和水费问题（共5小题） 36．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 37．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 38．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 39．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 40．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思?电费是如何计算的?第一档与第二档又有什么关系？ 表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改） 电压等级 普通电价（元/度） 峰谷电价（元/度） 峰时电价 谷时电价 第一档 年用电量不超过度的部分 第二档 年用电量超过度但不超过度的部分 第三档 年用电量超过度的部分 【解读信息】 通过互联网查询后获得上表（如表1）．小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为： ． 第一档年用电量的上限为度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度．不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度． 【理解信息】 (1)若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元．（精确到） (2)若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元．（用含有m的代数式表示） 【重构信息】 (3)月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为．请根据上述对话完成下列问题： ①通过计算判断：截至月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？ ②月份谁家的用电量多，多了多少？ 九．日历问题（共5小题） 41．观察某月日历，回答下列问题：    (1)观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论． (2)小敏外出了5天，这5天的日期之和是65，小敏是几号外出的？ 42．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 43．把正整数，．．排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第行、第行、…，从左到右分别称为第列、第列、．．．．用图2所示的方框在图1中框住个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为．设 （1）在图1中，排在第 行第 列；排在第行第列的数为 ．其中，，且都是正整数：(直接写出答案） （2）若，求出所表示的数； （3）在图2中，被阴影覆盖的这些数的和能否为？如果能，请求出这些数中最大的数，如果不能，请说明理由． 44．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框柱5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用，，，，表示． （1）若，则______． （2）直接写出，，，，的和与之间的一个等量关系：______． （3）设，判断的值能否等于2035？若能，请求出框内5个数，若不能，请说明理由．    45．（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在横线上） （2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出16个数． ①图中框出的这16个数的和是__________； ②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于2016，2168，是否可能？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．     一十．一元一次方程与数轴动点结合（共5小题） 46．如图，数轴上点、、表示的数分别是，0，8，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，到达线段的中点时停留1秒后继续向右运动；点从点出发的同时，点从点出发；沿数轴以每秒2个单位长度的速度按照的路径匀速运动．当点回到点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的中点表示的数是_________； (2)当时，线段的长为_________； (3)当时，线段的长为_________； (4)当时，直接写出的值． 47．【定义】：在同一直线上的三点、、，若满足点到另两个点、的距离具有倍关系，则我们就称点是其余两点的强点（或弱点），具体地： ①当点C在线段上时，若，则称点是【，】的强点，若，则称点是【，】的强点； ②当点C在线段的延长线上时，若，则称点是【，】的弱点． 【例如】如图，数轴上点A、、、分别表示数，，，，则点是【，】的强点，又是【，】的弱点；点是【，】的强点，又是【，】的弱点； 【应用】Ⅰ．如图，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． （1）【，】的强点表示的数为；【，】的弱点表示的数为． 【应用】．数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为．一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． （）①当时，是【，】的弱点． ②当时，、、三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 48．数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ； (2)当 时，M、N两点在折线段上相遇； (3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； (4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 49．阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点A和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)当代数式取最小值时，求此时的取值范围及该代数式的最小值． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①求出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点A与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 50．已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1) ， ， ． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数． ③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 一十一．一元一次方程中的其他问题（共5小题） 51．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 52．哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 53．设有理数，在数轴上所对应的点为，，记为，，计算，将其值称为点，的关联系数，记为，即．对于定点，若动点在线段上，将的最小值称为线段关于点的关联系数，记为． (1)点，，，在数轴上． ①________，________； ②若，则________． (2)点，，在数轴上，且． ①当时，________； ②当线段在数轴上运动时，请直接写出的最大值及此时的值． 54．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发现了的简便解法： 设， 则 即：． 请用你学到的方法解决以下问题： (1)计算：． (2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？ (3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．求满足如下条件的所有正整数，且这一列数前项和为2的正整数幂．请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值． 55．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 一十二．一元一次方程综合（共5小题） 56．阅读以下材料： 高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．他最出名的故事就是在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算？”．这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后得出正确的答案，他观察到：，， ，…，这么一来，就等于 ① 个101个相加，从而得 ② ． 根据以上材料，完成下列问题： (1)补全材料中①②所缺的内容； (2)计算：________；（用含n的代数式表示） (3)将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下数的平均数为，求删去的这个数是多少？ 57．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列三个单项式：①，②，③．其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知均为关于的多项式，，，．若的任意两项都是“准同类项”，求的值． (3)已知均为关于的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 58．阅读理解：对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若和5关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，和关于4的“美好关联数”为1，和关于5的“美好关联数”为1，…，和关于100的“美好关联数”为1，… ①的最小值为 ； ②试求的最小值． 59．观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 60．创新题：类比同类项的概念，我们规定：对于两个多项式A和B，若所含字母相同，项数相同，并且对于A中的每一项，B中都有对应的项是同类项，我们就称这两个多项式是“同类多项式”． 例如：与是“同类多项式”，与不是“同类多项式” (1)给出下列三个多项式： ①，②，③． 其中与是“同类多项式”的是 （填写序号）． (2)已知A，B，C均为关于x，y的多项式，，，，若C与是“同类多项式”，求m，n的值． (3)已知D，E为关于x的“同类多项式”，，，若是关于x的一元一次方程且有正整数解，若a为整数，求k，a的值． 一十三．江苏地区期末压轴题综合（共5小题） 61．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 62．点分别对应数轴上的数，且满足，点是线段上一点，． （1）直接写出 ， ，点对应的数为 ； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围； ②若，求的值； ③若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，为何值时，恰好是的中点． 63．已知关于x的方程与方程的解相同，求的值. 64．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 65．数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示． 例如：，当时，． (1)已知，求的值． (2)已知，当时，求的值． (3)已知（a，b为常数），对于任意有理数k，总有，求a，b的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$