精品解析：广东省深圳市龙岗区德琳学校2024-2025学年高二上学期第二次考试（10月）数学试卷

深圳市龙岗区德琳学校2024-2025学年度第一学期 高二第一次考试数学试卷 考试时间：2024.10 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可. 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知点，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为. 故选：A 3. 过点且斜率为1的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 5. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 6. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 7 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的空间向量的坐标运算可得答案. 【详解】因为，又，所以， 所以，解得， 故选：. 7. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题得. 故选：A. 8. 如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，连接，易证平面，即为直线与平面所成角. 【详解】取的中点为，连接，可得， ∵平面，平面，∴， ∴又，，平面， ∴平面，又，∴平面， ∴为直线与平面所成角，设，， ∴， 则， ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10. 已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断. 【详解】对于A，直线方程可变为，截距是2，故A正确； 对于B，斜率，故B错误； 对于C，由直线方程可知，故直线l不经过第三象限，故C正确； 对于D，该直线的一个方向向量为，与平行，故D正确； 故选：ACD 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故，故C错误； 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正方体中，取为基，若点为平面的中心，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据图象将向量分解为的组合，进而得出相应的系数求和. 【详解】为的中点，由图可知，，所以. 故答案为：. 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案. 【详解】由于底面，平面，所以， 而底面是矩形，所以， ， ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】代入点坐标得到，利用均值不等式得到，计算面积得到答案. 【详解】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 如图，在直四棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求的坐标； （2）求的值 【答案】（1），，， （2）6 【解析】 【分析】（1）根据图形写出坐标即可； （2）写出向量的坐标，然后用数量积公式计算即可. 【小问1详解】 ∵， ∴，，，， 【小问2详解】 由（1）可知，， ∴. 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. 【小问2详解】 因为，所以 解得或. 17. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求的中点坐标，利用斜率公式求的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得结论； （2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 18. 如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连结，交于，连结. 在三棱柱中，侧面是平行四边形，故是的中点， 又因是的中点，则得. 因平面平面，故得平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连结，交于，连结，证明，由线线平行即可推得线面平行； （2）方法一：先证平面，过点作于点，过点作于点，连结，证明是二面角的平面角，借助于直角三角形分别求出和，即可求得；方法二：以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系，依题求出相关点和向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因侧面均为正方形，则. 又因平面，故平面. （方法一）三棱柱是直三棱柱，侧面底面. 过点作于点，过点作于点，连结. 因为平面，平面平面， 所以平面，又因平面，则, 因.则平面， 因平面，故. 即是二面角的平面角. 因为侧面均为正方形，， 所以，所以,. 在直角中，， 故， 在直角中，，故. 即二面角的余弦值为. （方法二）如图，以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系. 因，侧面均为正方形，故. 由，可得. 设平面的法向量， 则有，故可取； 又,设平面的法向量， 则有，故可取. 设二面角的大小为，由图知，为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 19. 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面ABC； （2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） 由于正方形ABCD的边长为，所以． 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直； （2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，以及两个平面的法向量，利用夹角公式，即可求得参数的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，又， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，． 所以，，， 由题意知，所以． 所以． 设平面MBC的法向量为， 则令，得； 设平面的法向量为， ，令，得； 则， 设，，则上式可化为， 即，所以（舍去）， 所以，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市龙岗区德琳学校2024-2025学年度第一学期 高二第一次考试数学试卷 考试时间：2024.10 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 过点且斜率为1的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 7 D. 1 7. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正方体中，取为基，若点为平面的中心，且，则______． 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 14. 直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 如图，在直四棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求的坐标； （2）求的值 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 17. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 18. 如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面ABC； （2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $