专题26.12 反比例函数挑战综合（压轴）题（11大题型）（全章题型梳理与分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.12 反比例函数挑战综合（压轴）题（11大题型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 题型目录 【综合篇】 【题型1】反比例函数的图象与性质...........................................1 【题型2】反比例函数中的平移问题...........................................2 【题型3】反比例函数中的折叠问题...........................................3 【题型4】反比例函数中的旋转问题...........................................4 【题型5】反比例函数中的动点问题...........................................4 【压轴篇】 【题型6】反比例函数中的存在性问题.........................................6 【题型7】反比例函数中的三角形问题.........................................7 【题型8】反比例函数中的四边形问题.........................................8 【题型9】反比例函数中的探究性问题.........................................9 【直通中考与拓展延伸篇】 【题型10】直通中考.......................................................11 【题型11】拓展延伸.......................................................12 【题型1】反比例函数的图象与性质 【1-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【1-2】（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ (3)点、在这个函数的图象上吗？ 【题型2】反比例函数中的平移问题 【2-1】（2024·浙江杭州·一模）一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点． (1)求的值及一次函数的表达式． (2)点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【2-2】（2024·山东济南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求m、n的值及反比例函数的表达式； (2)求的面积： (3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【2-3】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与反比例函数（，）的图象相交于、两点，与x、y轴分别交于点C、D两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线向下平移了几个单位长度？ 【2-4】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． (1)求反比例函数和所在直线的解析式； (2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 【题型3】反比例函数中的折叠问题 【3-1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．     (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【3-2】（19-20八年级上·上海奉贤·期末）如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E． （1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标． 【题型4】反比例函数中的旋转问题 【4-1】（2022·吉林·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，延长至点，连接．，． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将绕点旋转，请直接写出旋转后点A的对应点的坐标． 【4-2】（2024·河南商丘·二模）如图，四边形是平行四边形，，点在轴的负半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点点恰好落在轴的正半轴上，且经过点．   (1)若点在反比例函数的图形上，求及的值． (2)求旋转过程中扫过的面积． 【题型5】反比例函数中的动点问题 【5-1】（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【5-2】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求函数的表达式； (2)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标． 【5-3】（2024·山东泰安·二模）一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)过动点作x轴的垂线l，l与一次函数和反比例函数的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围． 【题型6】反比例函数中的存在性问题 【6-1】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，矩形的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E，连接，，． (1)直接写出结果： ，点E的坐标为 ； (2)点M是y轴正半轴上一点，若，求点M的坐标； (3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【6-2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【6-3】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2) 若，求的值（用含n的代数式表示）． 【题型7】反比例函数中的三角形问题 【7-1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2) 我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【7-2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【题型8】反比例函数中的四边形问题 【8-1】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； (4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【8-2】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．   (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 【8-3】（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 【题型9】反比例函数中的探究性问题 【9-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【9-2】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动． (1)【小组合作：讨论交流】 同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．” 同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．” 同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．” …… (2)【独立操作：探究性质】 在平面直角坐标系中，画出的图像．    结合图像，描述函数图像与性质： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于______________对称； ③图像的增减性是__________________； ④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由． (3)【拓展探究：综合应用】 直接写出不等式的解集是____________________． 【题型10】直通中考 【10-1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【10-2】（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【题型11】拓展延伸 【11-1】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，矩形的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E，连接，，． (1)直接写出结果： ，点E的坐标为 ； (2)点M是y轴正半轴上一点，若，求点M的坐标； (3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【11-2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.12 反比例函数挑战综合（压轴）题（11大题型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 题型目录 【综合篇】 【题型1】反比例函数的图象与性质............................................1 【题型2】反比例函数中的平移问题............................................3 【题型3】反比例函数中的折叠问题............................................9 【题型4】反比例函数中的旋转问题...........................................13 【题型5】反比例函数中的动点问题...........................................16 【压轴篇】 【题型6】反比例函数中的存在性问题.........................................23 【题型7】反比例函数中的三角形问题.........................................32 【题型8】反比例函数中的四边形问题.........................................37 【题型9】反比例函数中的探究性问题.........................................49 【直通中考与拓展延伸篇】 【题型10】直通中考........................................................55 【题型11】拓展延伸........................................................59 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数的图象与性质 【1-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或；(2)； (3)或. 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 解：（1）反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【1-2】（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ (3)点、在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1)；(2)这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大；(3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求反比例函数解析式．（2）利用反比例函数的图象和性质即可解题．（3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 解：（1）将点代入反比例函数中， 即， 解得： ∴与之间的函数表达式为． （2）∵在反比例函数中，， ∴这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． （3）将点、分别代入中， 可得：，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 【题型2】反比例函数中的平移问题 【2-1】（2024·浙江杭州·一模）一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点． (1)求的值及一次函数的表达式． (2)点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)，; (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出、，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点坐标为，根据对称平移性质得到点代入反比例函数解析式求出值即可得到点坐标． 解：（1）点和点在反比例函数图象上， ， ，则， ，在一次函数解析式上， ， 解得， 一次函数的表达式为：； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，根据题意设点坐标为， 点关于轴的对称轴为， 将向下平移4个单位得到点， 点在反比例函数图象上， ， 解得， ． 【2-2】（2024·山东济南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求m、n的值及反比例函数的表达式； (2)求的面积： (3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】(1)，，; (2); (3). 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． （1）将，代入求出，的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可； （2）先求出的长，再利用即可得出结论； （3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 解：（1）将，代入得， ，， 解得，， 将代入，得，即； （2），当时，， 即， ， ， ； （3）直线向下平移个单位得新直线， 与联立得， 消得，化简得， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得或， ， （舍去）， 即． 【2-3】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与反比例函数（，）的图象相交于、两点，与x、y轴分别交于点C、D两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线向下平移了几个单位长度？ 【答案】(1)，(2)直线向下平移了1个单位长度． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的平移规律，一次函数与反比例函数交点情况，以及一元二次方程根的判别式． （1）将、两点坐标代入反比例函数即可即可求得的值，从而求得值，即可解得反比例函数的表达式； （2）首先利用、两点坐标求得直线的表达式，再设直线向下平移个单位长度得直线解析式为，然后根据平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，以及一元二次方程根的判别式求解，即可解题． 解：（1）、， 由反比例函数的性质可知， ， 解得 (负值舍去)， 、， ， 解得， 反比例函数的表达式为：； （2）设直线的表达式为， 代入、得： ， 解得， 直线的表达式为， 设将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， 直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点， ， 整理得， ， 解得或，即m的值为1或9(舍去)， 直线向下平移了1个单位长度． 【2-4】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． (1)求反比例函数和所在直线的解析式； (2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)，; (2). 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、图形的平移、平行四边形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出所在直线的解析式为，再求出点，由点在反比例函数第一象限的图象上即可得到反比例函数的解析式； （2）求出，由平移的性质得到，，得到当时，四边形是平行四边形，求得点的纵坐标为，则利用求出的值即可． 解：（1）∵直线经过点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴点C的横坐标是1，当时，， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为. （2）当时，，   ∴， 由平移的性质得到，， 由题意得， ∴当时，四边形是平行四边形， 由（1）知反比例函数的解析式为， 点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， 解得， 即当为2时，四边形是平行四边形． 【题型3】反比例函数中的折叠问题 【3-1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．     (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1); (2)①；②. 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 解：（1），， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 【点拨】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【3-2】（19-20八年级上·上海奉贤·期末）如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E． （1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标． 【答案】（1）点E（3，4），过点E的反比例函数的解析式；（2）点D坐标（，） 【分析】（1）由矩形的性质可得两对边分别相等，利用翻折的性质可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代换和等角对等边的性质可得OE＝BE，设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，继而求得点E坐标，继而设反比例函数解析式，代入即可求解； （2）过点D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等积法求得，利用勾股定理求出，继而即可求解． 解：（1）∵长方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO ∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4， 由折叠的性质可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD ∴∠CBO＝∠BOD ∴OE＝BE 设CE＝x，则BE＝OE＝8－x， 在Rt△COE中，由勾股定理可得：即 解得： ∴点E（3，4） 设过点E的反比例函数的解析式 将点E（3，4）代入上式可得： ∴ 故过点E的反比例函数的解析式 （2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3， 过点D作DF⊥BC， 由翻折的性质可得∠BAO＝∠BDE＝90° ∴ 解得：， ∵在Rt△DEF中，， ∴， ∴， ∴点D坐标（，） 【点拨】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、反比例函数解析式、等积法，解题的关键是学会做辅助线，求出关键线段的长． 【题型4】反比例函数中的旋转问题 【4-1】（2022·吉林·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，延长至点，连接．，． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将绕点旋转，请直接写出旋转后点A的对应点的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为; (2)或。 【分析】（1）解直角三角形求出，从而得到，根据题意得出即可得到反比例函数解析式； （2）根据旋转的三要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向可知分两种情况分别求解即可． 解：（1）∵轴于点，，， ∴在中，， ∴， ∵点A在直线上，当时，， ∴， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）将绕点旋转，并没有说清楚是顺时针还是逆时针，故分两种情况： 在①顺时针旋转，如图所示： ， ， 在第四象限， ； ②逆时针旋转，如图所示： ， ， 在第二象限， ； 综上所述，或． 【点拨】本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形以及待定系数法求反比例函数的解析式等知识，解题的关键是求出点A的坐标． 【4-2】（2024·河南商丘·二模）如图，四边形是平行四边形，，点在轴的负半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点点恰好落在轴的正半轴上，且经过点．   (1)若点在反比例函数的图形上，求及的值． (2)求旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与结合图形，旋转的性质，求扇形面积； （1）作轴于，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出，，即可得出，代入反比例函数即可求解； （2）根据平行四边形扫过的面积可由扇形、平行四边形、扇形的面积之和减去的面积得到，分别求得扇形的面积与的面积，即可求解． 解：（1）作轴于．    四边形是平行四边形， ， ，， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在中，， ， ， ，， 在第二象限， ， 经过点， ． （2）由图象可知，平行四边形扫过的面积可由扇形、平行四边形、扇形的面积之和减去的面积得到，   ，， ， ， 平行四边形的边上的高为， ， ， ， ． 【题型5】反比例函数中的动点问题 【5-1】（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①，②或 【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标； ①作关于轴的对称点，连接交轴于，由于C和关于轴对称，有，当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点M的坐标；②设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，可证明，则，，列出；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，列出，解得n即可． 解：（1）∵，， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 则点M的坐标为； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，的坐标为或． 【点拨】本题主要考查函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及等直角三角形的性质，解题的关键是熟悉函数的性质． 【5-2】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求函数的表达式； (2)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）点，在一次函数上，求出的值，待定系数法求出的表达式即可； （2）的面积等于的面积，得到点到直线的距离等于点到直线的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，进行求解即可． 解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）∵的面积等于的面积， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∵， 时， ∴将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，如图： ∵， ∴，， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 综上：点的坐标为：或． 【5-3】（2024·山东泰安·二模）一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)过动点作x轴的垂线l，l与一次函数和反比例函数的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：；(2)；(3)或． 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键． （1）把分别代入一次函数和反比例函数求出的值即可得到答案； （2）联立求出点的坐标，令直线与交于点，由直线求出点的坐标，最后由，进行计算即可得到答案； （3）直接由函数图象即可得到答案． 解：（1）把代入一次函数， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 把代入反比例函数得， ， ∴反比例函数的解析式为：； （2）联立， 解得或， ∴， 令直线与x交于点C，如图， 当时，， 解得：， ∴， ∴； （3）由图象可得： 当M在N的上方时，t的取值范围为：或． 【题型6】反比例函数中的存在性问题 【6-1】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，矩形的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E，连接，，． (1)直接写出结果： ，点E的坐标为 ； (2)点M是y轴正半轴上一点，若，求点M的坐标； (3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4， (2) (3)存在；或 【分析】（1）根据四边形是矩形得到轴，轴，结合点B的坐标为得到点A坐标，从而得到，再利用待定系数求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可即可； （2）设点，根据三角形面积关系列式求解即可得到答案； （3）设点，根据平行四边形对角线互相平分，分类讨论对角线表示出点Q，代入解析式求解即可得到答案； 解：（1）∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）设点， ∵，，， ∴，， 当的面积等于的面积时，， 解得：， ∴； （3）设点， ∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形， ∴当以为对角线时， ， ∴， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴； 当以为对角线时， ， ∴， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴； 当以为对角线时， ，， 即， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴，与点E重合，不符合题意舍去； 综上所述：存在使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或； 【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，矩形的性质，求反比例函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【6-2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将和点两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线的解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 解：（1）函数的图像过点和点， ， 解得：， ，； （2）由（1）可知，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， ，， ， 即， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （3：存在，点的坐标为或或，理由如下： 直线交轴于点，交轴于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ； ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ； ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， 在和中， ， ， ，， 矩形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【6-3】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2) 若，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)①；②不存在，见解析； (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键： （1）①当时，，，得到，求出反比例函数的解析式为，将代入即可求出点E的坐标； ②由，得到，证明，得到，由①可知，，则，表示出，求出，不符合题意； （2）设，得到，求得，当时，，求出，，计算出，即可求出比值． 解：（1）①当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； ②不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可知，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，不存在； （2）设， ∵， ∴， ∴ 将点代入，得， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴． 【题型7】反比例函数中的三角形问题 【7-1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2) 我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为; (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 解：（1）①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 【7-2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析; (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 解：（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 【点拨】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 【题型8】反比例函数中的四边形问题 【8-1】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； (4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，；(3)，理由见解析；(4)或3或或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，利用同角的余角相等得到，从而利用即可得证结论； （2）先求得，设反比例函数的表达式为，把点A的坐标代入即可求出，即得到反比例函数的表达式为，同（1）证得，得到，因此点E的横坐标为，把代入反比例函数，得，即可解答； （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，先得出，利用勾股定理可得，进而退出，从而证得，得到，再证，根据四边形的内角和即可解答； （4）利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而求解直线l的解析式为，设，，分三种情况讨论：①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的邻边相等，对角线互相平分分别列方程求解即可解答． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为， ∵该反比例函数经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 把代入函数中，得， ∴点E的坐标为； （3），理由如下： 如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， 由（2）可知， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （4）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线l的解析式为， ∵直线l经过点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设，， ∵，， 又菱形的邻边相等，且对角线互相平分， ∴①若、为对角线，则 ， 解得， ∴ ； ②当，为对角线时， ， 解得： 或（舍去）， ∴； ③当，为对角线时， ， 解得：或， ∴或； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A，C，P，Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或或． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的性质等．注意掌握待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长，理解坐标与图形的性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 【8-2】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．   (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；直线DC的函数关系式为 (2)满足要求的所有点的坐标为：、、 (3)的度数不会变化，等于 【分析】（1）把代入求出值，可得反比例函数解析式，根据平行四边形的性质得出点坐标，利用待定系数法即可得出直线解析式； （2）可分两种情况：为边、为对角线讨论，然后运用中点坐标公式即可解决问题； （3）过点作于，作于，连接、，根据正方形的性质及角平分线的性质可得，利用可证明，得出，由此可得，即可得到是等腰直角三角形，因而为定值． 解：（1）∵双曲线经过的、两点，且点，，， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， 设直线的函数关系式为：，则， 解得：， ∴直线DC的函数关系式为：． （2）由（1）知：反比例函数的解析式为：， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设，， ①如图1，当为边时，    若四边形为平行四边形，则， 解得：， ∴， ∴， ∴中点坐标为，， ∴， 解得：， ∴． 如图2，若四边形为平行四边形，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴． ②如图3，当AB为对角线时，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 综上所述，满足要求的所有点的坐标为：、、． （3）当在上运动时，的度数不会变化，等于，理由如下： 过点作于，作于，连接，，如图所示，    ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题． 【8-3】（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 【答案】教材呈现：证明见解析；方法探究：；方法应用：． 【分析】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则，可得四边形是平行四边形，得到，再根据三角形的面积公式即可求证； 方法探究：过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得，再根据三角形的面积公式即可求解； 方法应用：连接，由教材呈现可得，，由轴可得，，得到，再根据勾股定理得，进而根据菱形的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解． 解：教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 即的面积和的面积相等； 方法探究：如图，过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得， ∵，， ∴， 故答案为：； 方法应用：连接，由教材呈现可得，， ∵轴，函数的图象经过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，反比例函数比例系数的几何意义，勾股定理，菱形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型9】反比例函数中的探究性问题 【9-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】；【拓展】． 【分析】【感知】如图，延长，交延长线于，根据点，坐标得出，，利用三角形面积公式求出、的值，得出和都是等腰直角三角形，可得，即可证明，可得答案； 【探究】①根据反比例函数的几何意义即可得出； ②根据得出对应高相等，可得四边形是矩形，即可证明； 【运用】连接，设，根据，可得，根据点在反比例函数图像上可求出的长，进而求出的值，即可得答案； 【拓展】作交于，作于，作于，根据平行线分线段成比例得出，根据反比例函数图像中心对称的性质得出，利用平行线分线段成比例即可得答案． 解：解：【感知】如图，延长，交延长线于， ∵轴，轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与的位置关系为：平行． 故答案为：16，16，平行 【探究】①如图，连接、， ∵轴，轴， ∴，， ∴． ②过点作于，过点作于，则， ∵， ∴边上的高相等，即， ∴四边形是矩形， ∴． 【运用】如图，连接，设， ∵，， ∴， ∵点，在反比例函数的图像上，且， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【拓展】如图，作交于， ∵，， ∴， ∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查反比例函数图像与性质、反比例函数的几何意义、平行线的判定、等腰直角三角形的判定及矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【9-2】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动． (1)【小组合作：讨论交流】 同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．” 同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．” 同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．” …… (2)【独立操作：探究性质】 在平面直角坐标系中，画出的图像．    结合图像，描述函数图像与性质： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于______________对称； ③图像的增减性是__________________； ④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由． (3)【拓展探究：综合应用】 直接写出不等式的解集是____________________． 【答案】(1)；一、二 (2)画图见解析；轴；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；同学丁的说法是正确的，证明见解析 (3)或或 【分析】（1）根据的的取值进行解答即可； （2）通过列表、描点、连线即可得出函数图像，再根据函数图像进行解答即可②③，通过取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，可得 ，，，即可得出在的第一象限的曲线上； （3）通过解方程组，再结合函数图像即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴因为自变量的取值范围，所以图像与轴不相交．因为函数值大于0，所以图像一定在第一、二象限．” 故答案为：；一、二； （2）列表得： 描点并连线得：    根据函数图像可得： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于轴对称； 故答案为：轴； ③图像的增减性是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； ④同学丁的说法是正确的，理由如下： 取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，    ∴，，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在的第一象限的曲线上， 故将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合，说法正确． （3）∵， ∴或或， ∴不等式的解集是：或或． 故答案为：或或． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，函数图象的画法，反比例函数与一次函数的交点问题、旋转等知识，利用数形结合思想是解题的关键． 【题型10】直通中考 【10-1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；；；(2). 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 解：（1）当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 【10-2】（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)，; (2)或; (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 解：（1）将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 【题型11】拓展延伸 【11-1】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，矩形的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E，连接，，． (1)直接写出结果： ，点E的坐标为 ； (2)点M是y轴正半轴上一点，若，求点M的坐标； (3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，; (2); (3)存在；或 【分析】（1）根据四边形是矩形得到轴，轴，结合点B的坐标为得到点A坐标，从而得到，再利用待定系数求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可即可； （2）设点，根据三角形面积关系列式求解即可得到答案； （3）设点，根据平行四边形对角线互相平分，分类讨论对角线表示出点Q，代入解析式求解即可得到答案； 解：（1）∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）设点， ∵，，， ∴，， 当的面积等于的面积时，， 解得：， ∴； （3）设点， ∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形， ∴当以为对角线时， ， ∴， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴； 当以为对角线时， ， ∴， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴； 当以为对角线时， ，， 即， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴，与点E重合，不符合题意舍去； 综上所述：存在使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或； 【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，矩形的性质，求反比例函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【11-2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)；; (2); (3)点的坐标为或. 【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式； 点评 （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 解：（1）点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$