专题26.11 反比例函数与存在性问题（3大考点10类题型）（考点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.11 反比例函数与存在性问题（3大考点10类题型）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点与题型目录】 【考点一】特殊图形存在性问题 【题型1】直角三角形存在性问题................................................1 【题型2】等腰三角形存在性问题................................................9 【题型3】平行四边形存在性问题...............................................14 【题型4】矩形存在性问题.....................................................21 【题型5】菱形存在性问题.....................................................23 【考点二】面积存在性问题 【题型6】等面积存在性问题...................................................32 【题型7】面积倍分存在性问题.................................................36 【考点三】最值存在性问题 【题型8】线段最值存在性问题.................................................39 【题型9】周长最值存在性问题.................................................43 【题型10】面积最值存在性问题................................................46 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形存在性问题 【例1】（2024·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)或；(3)或. 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点； ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）设直线交轴与点， ∵， ∴当时，，时，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）存在； ①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，则：， ∴， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，， ∴， ∴， 同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或， ∴； 综上：或． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，分割法求面积，旋转的性质，综合性强，难度大，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接和，边分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．   回答下列问题： (1)求的面积． (2)求证：． (3)若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)存在，或或或. 【分析】（1）根据的解集为，，求出点F的坐标为，点E的横坐标为6，再求出反比例函数的解析式为，即可求出点E的坐标为，待定系数法求出所在直线的解析式为，即可求出D的坐标为，利用即可得到答案； （2）求出点G的坐标为，由（1）可知：，，，，，得到，，，，求出，即可证明 ； （3）分三种情况利用勾股定理列方程，解方程即可得到答案． 解：（1）∵的解集为，， ∴点F的坐标为，点E的横坐标为6， 将带入是， ∴反比例函数的解析式为， 将代入得：， ∴点E的坐标为 将、代入得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 将代入得：， ∴点D的坐标为 ∴ （2）将代入得， ∴点G的坐标为， 由（1）可知：，，，，， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （3）存在，点P的坐标是或或或 设点P点的坐标为，由（2）可知，， 则，， ， 当时，， 即， 即， ∴， 当时，， 即， 即， ∴， 当时，， 即， ∴， 即或， ∴或， 综上可知，点P的坐标是或或或 【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的图象和性质、待定系数法求出函数解析式、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分类讨论是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．   (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)， 【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可； （2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出； （3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题． 解：（1）解：四边形是矩形， ，， ， ，， 所以点的坐标为， 点在反比例函数上，代入，得到， 故反比例函数解析式为； （2）如图， ， ， 时，， ， 即，，， ， ； （3）如图，   ， 设所求点坐标为， ，， ， ， ， 当时， ， 即，， 解得，， 故； 当时， ， 即，， 解得，， 故， 综上所述；存在点，坐标为，． 【点拨】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键． 【题型2】等腰三角形存在性问题 【例2】（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2) 在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；②; (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 解：（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1); (2)或；(3)或或或或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、等腰三角形定义、勾股定理等知识点． （1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可； （3）分，，三种情况分别进行解答即可． 解：（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）当时，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）设点Q的坐标为，则 ，，， 当时， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或 当时， ，解得或， ∴点Q的坐标为或 当时， ， 解得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或或或或． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10; (2)存在，或或或或 【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可； （2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可． 解：（1）对于，当时，． ∴， ∴， 设点B的横坐标为t，则 ∵， ∴， 解得． ∴， 把代入中，得 ∴． （2）由（1）得，则反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，． 设，则 ，，． ①若，即， ∴， 解得． 此时点E的坐标为．· ②若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， ③若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， 综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形． 【题型3】平行四边形存在性问题 【例3】（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，; (2)存在，或或 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 解：（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为; (2)不等式的解集为或; (3)满足条件的点的坐标为或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）由函数图象即可得解； （3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可． 解：（1）解：将代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数解析式可得， ∴， 将，代入反比例函数解析式可得， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， 设点， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【变式2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2)或; (3)存在，点坐标为或或. 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合、求反比例函数解析式、根据图象写出不等式的解集、平行四边形的性质、点坐标的平移等，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）把代入一次函数求解，得到点坐标，把点坐标代入求出反比例函数表达式即可 （2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出点坐标，结合点坐标，观察图象，得出不等式的解集即可； （3）由题意知，分与为邻边，与为邻边，与为邻边，三种情况讨论，根据点坐标的平移方式求解即可． 解：（1）解：把代入一次函数得，解得， ∴， 把代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为， ∴联立表达式，得：， 整理得：， ， ∴或， ∴，， ∵， ∴点横坐标， ∴结合图象观察，得不等式的解集为或； （3）解：①当与为邻边，时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点， ∴点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即； ②当与为邻边时，点先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点， ∴点也先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，即； ③当与为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点， ∴点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即． 综上，存在，点坐标为或或． 【题型4】矩形存在性问题 【例4】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，、是函数图象上的两点． (1)求的值； (2)点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，是否存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半？说明理由． 【答案】(1)；(2)存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，理由见解析． 【分析】（）将代入即可得的值； （）点在函数 的图象上，可得矩形的面积是，设存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，设点，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，则，，由此即可解答； 本题主要考查了反比例函数的性质，待定系数法等，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：（1）将、代入得，， 解得：， 即的值； （2）存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，理由如下： 由（）知反比例函数为， ∵点在函数图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形， ∴矩形的面积是， 设存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半， 设点，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形则，， 解得，或，， ∴或， ∴存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半． 【变式1】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转得到，点在反比例函数的图象上，连接．   (1)求的值； (2)若为平面内一点，为双曲线上一点，是否存在点和点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由旋转性质得到，过点向轴作垂线，交轴于点，如图所示，利用互余得到，在中，由含的直角三角形性质及勾股定理求出，代入反比例函数解析式即可求出的值； （2）设，作出图形，由平行四边形性质，结合点的平移得到，当平行四边形是矩形时，，则由两点之间距离公式得到方程求解即可得到答案． 解：（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ， 过点向轴作垂线，交轴于点，如图所示：    ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ∵点在反比例函数的图象上， ； （2）解：存在． 理由如下： ，，为双曲线上一点， 设， 在平面内找一点，使四边形是平行四边形，如图所示：    ∴由点的平移性质可知， 当平行四边形是矩形时，，则由两点之间距离公式得到 ， ，即，解得， ． 【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，涉及旋转性质、互余、含的直角三角形性质、勾股定理、反比例函数图象与性质、点的平移、平行四边形性质、矩形性质、两点之间距离公式及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数与几何综合问题解法是解决问题的关键． 【题型5】菱形存在性问题 【例5】（23-24九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标； (3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2); (3)存在，或或或 【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，求出点坐标，再代入反比例函数解析式，求解即可； （2）求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分为菱形的边长，以及为菱形的对角线，两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）∵，当时间，， ∴， 作点关于轴的对称点， 则：，， ∴当三点共线时，的值最小， 连接，与轴的交点即为点， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵过点作直线轴，交反比例函数的图象于点， ∴点的纵坐标为， ∴， 设，设， 则：，，； 当点，，，为顶点的四边形是菱形，分两种情况： ①当为边时，则：， 当时：，， 则：，解得：， 当时：，，即：； 当时：，，即：； 当时，，， 则：，解得：或（舍掉）， 当时，，，即：； ②当为对角线时：则， ∴， 此时，即：，解得：， ∴，即：； 综上：或或或． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，涉及求函数解析式，利用轴对称解决线段和最小问题，菱形的性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．属于压轴题． 【变式1】（2024·四川宜宾·二模）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)点E在平面内任意一点，在x轴上是否存点F，使得以点E、F、C、D四点为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点F的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式为，直线解析式为; (2); (3)存在，或或或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，菱形的判定和性质： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据平移求出直线的解析式，求出点坐标，设直线交轴与点，分割法求出的面积即可； （3）根据以点E、F、C、D四点为顶点的四边形是菱形，得到等腰三角形，设，利用两点间的距离公式，分三种情况讨论求解即可． 解：（1）解：直线与双曲线相交于点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）设直线交轴与点， ∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线向下平移至处， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴，，， 当点E、F、C、D四点为顶点的四边形是菱形时，则：为等腰三角形， 当时，则：， ∴或， ∴，， 当时，， ∴或（舍去）； ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上：或或或． 【变式2】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当四边形的面积为时，求此时点的坐标； (3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点是平面内一点，点在直线AB上，是否存在这样的点，，，使四边形是“美好菱形”？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，; (2); (3)或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数和反比例函数交点问题，函数几何面积问题，菱形性质，全等三角形性质及判定，解直角三角形． （1）根据题意待定系数法求反比例函数解析式，再将一次函数和反比例函数列式即可求出点的坐标； （2）过点作轴，交于，设点的坐标为，求出，再求出的解析式可得，继而得到本题答案； （3）根据题意分情况讨论（Ⅰ）当点F在点A下方时，证明，的解析式，继而得到，，过点作轴，过点作轴，解直角三角形即可，（Ⅱ）当点F在点A上方时，同理（Ⅰ）中情况即可得到． 解：（1）解：点在直线上， ， ， ，                      ， 反比例函数的表达式为：， 则， 解得：，， ； （2）解：如图1，过点作轴，交于， 设点的坐标为， ， 的解析式为：， 当时，， ， ， ， 设的解析式为：， 则，解得：， 的解析式为：， ， ， 四边形的面积为， ， ， ， 解得：，（舍； ； （3）解：存在，理由如下： 由菱形的定义知，或， （Ⅰ）当点F在点A下方时，则只能， 过点B作垂直，交于点Q，则三角形为等腰直角三角形． 过点作轴于，过点作轴，过点作轴， 则， ，， ， 的解析式为， ， 解得：或（舍， ， ， ， 过点作轴，过点作轴， ， ， ， （Ⅱ）当点F在点A上方时，则只能，此时， 由（Ⅰ）知， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【题型6】等面积存在性问题 【例6】（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且，． (1)求的值； (2)求一次函数的表达式； (3)在直线上是否存在一点(不与点重合)，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2)一次函数的解析式为; (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题； （1）根据，两点都在反比例函数的图象上即可解决问题． （2）利用待定系数法即可解决问题． （3）由与面积相等，得出点是线段的中点，据此可解决问题． 解：（1）解：(1)因为点和点在反比例函数的图象上， 所以， 解得． （2）由（1）知，点的坐标为． 将，两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． （3）存在． 因为与的面积相等，且，，三个点都在直线上， 又因为点不与点重合， 所以点是线段的中点． 因为点坐标为，点坐标为， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．   (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； (2)求的面积． (3)双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，；(2)；(3)存在点或，使得． 【分析】（）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，进而把代入计算即可求出的值； （）利用待定系数法可求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，可得的长，再根据计算即可求解； （）由，可得，当点在的平分线上时，，可证，得到，延长交抛物线于点，可得，又由可得平分，可得点在直线上，最后联立函数解析式解方程组即可求解． 解：（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，； （2）解：∵， ∴， 把、代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：双曲线上存在点或，使得，理由如下： ∵点坐标为，点坐标为， ∴， 当点在的平分线上时，， ∵， ∴， ∴， 延长交直线于点， ∵，平分， ∴， 把代入得，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴点在直线上， 由，解得或， ∴点的坐标为或， 即双曲线上存在点或，使得．    【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【题型7】面积倍分存在性问题 【例7】（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：y＝; (2)(3)存在，点E的横坐标或 【分析】（1）由，得，再将代入，得，可得出点B的坐标，代入即可得出反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标，再由即可求出的面积； （3）先求出点D坐标，再算出面积，设点，根据列出方程，求出点E坐标即可． 解：（1）∵点C在y轴正半轴，，即， 把代入表达式， ∴， ∴一次函数解析式为． 将代入，得， ∴． 将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）将代入，得， ∴点D的坐标是， ∴． 将代入，得， 解得，． 当时，， ∴点A的坐标是， ∵点B的纵坐标为3， ∴． （3）在直线中，当时，， ∴ 根据题意可知， 设点， ， 解得或， ∴点E的横坐标或． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，数形结合是解答本题的关键． 【变式】（2024·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，; (2)4; (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用： （1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式； （2）先由直线解析式求得，根据的面积的面积的面积求得的面积； （3）根据题意得到，即，即可求得的长，从而求得P的坐标． 解：（1）解：将点代入得：， 解得， 故反比例函数的表达式为：； 将点代入得：， 故点， 将点，代入得 ， 解得， 故一次函数解析式为； （2）解：由一次函数可知，当时，当时， 所以，， 则的面积的面积的面积； （3）解：存在，点P的坐标为或； ∵的面积等于的面积的3倍． ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或． 【题型8】线段最值存在性问题 【例9】（2024·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．   (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为; (2)，或;(3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理和圆周角定理；掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤和数形结合思想是解题的关键． （1）先把点A代入反比例函数求得解析式，然后把点B代入反比例函数求得m的值，然后把A、B两点分别代入一次函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据圆周角定理确定点P的运动轨迹，设的中点为，当，，三点共线且，在的同侧时有最小值，由勾股定理求出和的长，由的中点Q求得，即可求出． 解：（1）在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上． ， ， 把，代入得 ， 解得， 一次函数解析式为； （2）由图象知，当时，，或， x的取值范围是：，或， （3）， 点在以为直径的圆上运动，    设的中点为， 当，，三点共线且，在的同侧时有最小值， ，， ， ， 的中点为， ， ∴， ， 故的最小值为． 【变式】（21-22八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积． (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标. 【答案】(1)反比例函数y=(x>0)； (2)线段OD扫过的面积为；(3)P点作标（，0） 【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可． （2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积． （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标． 解：（1）作DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为(4，3)， ∴FO=4，DF=3， ∴DO=5， ∴AD=5， ∴A点坐标为：(4，8)， ∴xy=4×8=32， ∴k=32； 反比例函数y=(x>0) （2） ∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴DF=3， =3， ∴点的纵坐标为3， ∴3=，x=， ∴=， ∴=−4=， ∴平行四边形 平移的面积S=×3=； （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值， ∵OB＝OD＝5 ∴点B的坐标是(0，5)， ∴点的坐标是(0，-5)， 设直线的关系式 把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶ 解得： 当y=0时，， ∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ） 【点拨】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数． 【题型9】周长最值存在性问题 【例10】（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点． (1)求反比例函数的关系式； (2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可； 解：（1）解：把代入，得 ， 解得，， 所以反比例函数解析式是； （2）存在点P使△ABP周长最小，理由： 解和得， 和， ， 和， ， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小， △ABP的周长= ， ， ， ． 【点拨】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键． 【变式】（2024九年级·全国·竞赛）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点，且点为反比例图象上的一点，连接，点M为坐标平面上一动点，轴于点N． (1)写出正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当点M在直线上运动时，是否存在点M，使得与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点M在反比例函数图象位于第一象限的一支上运动时，求以为邻边的平行四边形周长的最小值，并求此时点M的坐标． 【答案】(1)，; (2)存在，或．(3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）分割法求出的面积，设点M为，利用面积公式列式计算即可； （3）根据最小时，平行四边形的周长最小，进行求解即可． 解：（1）解：设正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴， 设点M为，则：， ∴， 所以点M的坐标为或． （3）∵， ∴， ∴当最短时，平行四边形的周长最小， 设点M为，则： ∵ ∴平行四边形的周长最小是， 此时，点M的坐标为． 【题型10】面积最值存在性问题 【例11】（2024·重庆·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 【答案】(1)， (2)点，面积的最小值为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式； （2）求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可． 解：（1）解：如图， ∵反比例函数过点， ， 反比例函数的解析式为， 设， ， ， 四边形的面积为， 四边形的面积为， ， 解得，舍去， ， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小， 设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时， 方程有唯一解， 即有两个相等的实数根， ， 解得或舍去， 与直线平行的直线的关系式为， 方程的解为， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点， 由题意得， ，，，， ， ， 答：点，面积的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.11 反比例函数与存在性问题（3大考点10类题型）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点与题型目录】 【考点一】特殊图形存在性问题 【题型1】直角三角形存在性问题................................................1 【题型2】等腰三角形存在性问题................................................3 【题型3】平行四边形存在性问题................................................4 【题型4】矩形存在性问题......................................................5 【题型5】菱形存在性问题......................................................6 【考点二】面积存在性问题 【题型6】等面积存在性问题....................................................7 【题型7】面积倍分存在性问题..................................................8 【考点三】最值存在性问题 【题型8】线段最值存在性问题..................................................9 【题型9】周长最值存在性问题.................................................10 【题型10】面积最值存在性问题................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形存在性问题 【例1】（2024·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接和，边分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．   回答下列问题： (1)求的面积． (2)求证：． (3)若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标． 【变式2】（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．   (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2】等腰三角形存在性问题 【例2】（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2) 在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3】平行四边形存在性问题 【例3】（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 【变式2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4】矩形存在性问题 【例4】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，、是函数图象上的两点． (1)求的值； (2)点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，是否存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半？说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转得到，点在反比例函数的图象上，连接．   (1)求的值； (2)若为平面内一点，为双曲线上一点，是否存在点和点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5】菱形存在性问题 【例5】（23-24九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标； (3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2024·四川宜宾·二模）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)点E在平面内任意一点，在x轴上是否存点F，使得以点E、F、C、D四点为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点F的坐标，如果不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当四边形的面积为时，求此时点的坐标； (3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点是平面内一点，点在直线AB上，是否存在这样的点，，，使四边形是“美好菱形”？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型6】等面积存在性问题 【例6】（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且，． (1)求的值； (2)求一次函数的表达式； (3)在直线上是否存在一点(不与点重合)，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．   (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； (2)求的面积． (3)双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 【题型7】面积倍分存在性问题 【例7】（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 【变式】（2024·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8】线段最值存在性问题 【例9】（2024·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．   (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值． 【变式】（21-22八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积． (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标. 【题型9】周长最值存在性问题 【例10】（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点． (1)求反比例函数的关系式； (2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式】（2024九年级·全国·竞赛）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点，且点为反比例图象上的一点，连接，点M为坐标平面上一动点，轴于点N． (1)写出正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当点M在直线上运动时，是否存在点M，使得与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点M在反比例函数图象位于第一象限的一支上运动时，求以为邻边的平行四边形周长的最小值，并求此时点M的坐标． 【题型10】面积最值存在性问题 【例11】（2024·重庆·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$