专题 解直角三角形的实际应用解答题（4大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 专题 解直角三角形的实际应用解答题 题型一 与视角有关的实际问题 1．（2024秋•碑林区校级期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小明站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，求小明到古塔的水平距离即BC的长．（结果保留根号） 2．（2024秋•锦江区校级期中）如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌CD．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离（即DH的长度）．已知测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小张在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝10m，且图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，求DH的长．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86） 3．（2024秋•滦州市期中）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡CB的坡度为，BC＝6米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为60°． （1）α＝ 　 　度； （2）求杨树AB的高度．（AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到0.1米，参考数据： 4．（2024秋•信都区期中）直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，PO为飞机的高度．求： （1）∠APB的度数； （2）求PO的长． 5．（2024•喀什地区二模）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米，求小区楼房BC的高度．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 6．（2024•临渭区一模）贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告： 课题 测量古树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF ②平面镜大小忽略 ③测倾器高度忽略 测量数据 小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米，小刚到平面镜的距离CD＝3米， 平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53° 参考数据 sin53°，cos53，tan53 请你根据以上测量报告，求古树AB的高度． 7．（2024秋•重庆期中）山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚C处集合，此时测得山顶A的仰角是45°，两人边走边聊，沿着倾斜角为30°的斜坡前进1200m到达凉亭D，在凉亭D测得山顶A的仰角为60°．（参考数据：1.41，1.73，2.45）（1）求山AB的高度（结果保留根号）． （2）随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭D出发的后一段，两人的行进速度为3千米/时．当他们从凉亭D出发的同时，小庆在山脚C处乘坐观光缆车到山顶A与小育小才会合．已知观光缆车的速度为6千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶A？请通过计算说明． 8．（2024秋•钢城区期中）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 题型二 与方位角有关的实际问题 1．如图，城市A的正东方向100km处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段AB），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东30°和B城的北偏西45°的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，50km为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 2．（2023秋•九原区期末）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C． （1）求∠C的度数； （2）求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）． 3．（2024秋•綦江区期中）如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向． （1）求此时货轮到小岛B的距离． （2）在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由． 4．（2023秋•滑县期中）一艘轮船在南海由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行10海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里； （2）小岛点P方圆4海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触焦的危险？说明理由． 5．（2024秋•南岸区校级期中）某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点A在点C的正南方，点B在点C的东南方向，点D在点A的正西方，点D在点C的南偏西60°方向上，点B在点A北偏东37°方向上，若AB＝200米．（参考数据：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8） （1）求CD的长度； （2）小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线A﹣D﹣C慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线A﹣B﹣C散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？ 6．（2023•朝阳县四模）为建设成为“宜居宜业宜游”的城市，朝阳市计划对市内大凌河某河段进行区域性景观打造，如图，某施工单位测量员先在点M处观测到河对岸有两座凉亭，且凉亭A在M点正南方后向正东方向走200米后到达点N处，此时观测到凉亭A在南偏西在南偏西30°方向上，凉亭B在东南方向上． （1）填空：∠MAN＝　 　度，∠ANB＝　 　； （2）请你求出两座凉亭之间的距离AB．（结果保留根号） 7．（2023春•渝中区校级期中）如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟90米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，10分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西15°方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：1.73） （1）求健身步道BC的长；（结果保留根号） （2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道AB段向正东方向延伸至P处，再修建新步道CP，且在P处测得C在P的北偏西60°方向上．若修建步道的成本为每米80元，公园对扩建预算的费用为20万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 8．（2024•泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 题型三 与坡度、坡角有关的实际问题 1．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为43°，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93；sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60】 2．（2024秋•肇源县月考）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 3．（2024•梅县区一模）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上． （1）求改善后滑板AD的长为多少米？ （2）若滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由． （参考数据：1.414，1.732，2.449，以上结果均保留到小数点后两位）． 4．（2024•满洲里市模拟）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：． （1）求通道斜面AB的长； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：1.41，2.24，2.45） 5．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）． （参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 6．（2023秋•桂东县期末）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2． （1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； （2）大树BC的高度约为多少米？ （参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 7．（2023秋•徐汇区期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼AB的高度； （2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 8．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，坡长AB为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°． （1）求坡顶B到地面AH的距离BH的长； （2）求古塔CD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49） 题型四 利用直角三角形其它解决实际问题 1．（2024秋•郑州期中）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为40米，C处与D处的距离为36米，．（计算结果保留整数） （1）求入口A处到出口B处的距离； （2）求海洋球D处到出口B处的距离． 2．（2024秋•淄博期中）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 3．（2024•惠东县校级模拟）综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 4．（2024•西岗区校级一模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40cm；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知B'、O'、C三点在一条直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，1.73）． （1）求散热架ACO'底边AC的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？ 5．（2024•运城一模）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 6．（2024秋•成都期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝6m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°，点C，A，D在同一直线上，且直线CD与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）求AB的长； （2）求物体上升的高度CE（结果保留根号）． 7．（2024秋•沙坪坝区校级期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东53°．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯AD到达点D，，再沿DC到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， （1）求楼梯AD的长度； （2）小明计划19：30出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是100m/min，如果选择路线②则可以跑步跑步的平均速度是200m/min，表演正式开始时间是20：00，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 8．（2024•叙永县模拟）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 专题 解直角三角形的实际应用解答题 题型一 与视角有关的实际问题 1．（2024秋•碑林区校级期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小明站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，求小明到古塔的水平距离即BC的长．（结果保留根号） 【分析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO＝40米，OC＝20米，OE＝BD，OE∥BD，从而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，进而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方方向匀速飞行4秒到达空中O点处，匀速飞行8秒到达塔顶，无人机的速度为5米/秒，作OD⊥BC交BC的延长线于点D，作OE⊥AB交AB于点E，如图： ∴AO＝8×5＝40（米），OC＝4×5＝20（米），OE＝BD，OE∥BD， ∴∠EOC＝∠OCD＝45°， ∵∠AOC＝75°， ∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°， 在Rt△OCD中，CD＝OC•cos45°＝2010（米）， 在Rt△AOE中，OE＝AO•cos30°＝4020（米）， ∴OE＝BD＝20米， ∴BC＝BD﹣CD＝（2010）米， ∴小李到古塔的水平距离即BC的长为（2010）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2024秋•锦江区校级期中）如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌CD．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离（即DH的长度）．已知测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小张在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝10m，且图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，求DH的长．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86） 【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可． 【解答】解：如图所示：延长EF交CH于N， 则∠CNF＝90°， ∵∠CFN＝45°， ∴NF＝CN， 由题意可得，EF＝AB＝10m，CD＝6m， 设DN＝x m，则NF＝CN＝DN+CD＝（x+6）m， ∴EN＝EF+FN＝10+（x+6）＝（x+16）m， ∵， ∴EN•tan∠DEN＝DN， ∴x≈（x+16）×0.6， ∴x≈24， ∴DH＝DN+NH≈24+1.2＝25.2（m）， 答：点D到地面的距离DH的长约为25.2m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 3．（2024秋•滦州市期中）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡CB的坡度为，BC＝6米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为60°． （1）α＝ 　 　度； （2）求杨树AB的高度．（AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到0.1米，参考数据： 【分析】（1）延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，根据三角函数的定义即可求得答案； （2）解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）延长AB交DC于H， 则∠AHD＝90°， 在Rt△BCH中，tanα＝tan∠BCH， ∴α＝30°． 故答案为：30； （2）在RtBCH中，cos∠BCH，∠BCH＝30°，BC＝6米， ∴BHBC＝3米，CHBC＝3米， 在Rt△ADH中，tan∠ADH＝tan60°，DH＝DC+CH＝（4+3）米， ∴AH（4+3）＝（49）米， ∴AB＝AH﹣BH＝49﹣3＝46≈12.9（米）， 答：杨树AB的高度约为12.9米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024秋•信都区期中）直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，PO为飞机的高度．求： （1）∠APB的度数； （2）求PO的长． 【分析】（1）过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，过点A作AQ⊥PO于Q，可得PC∥OB∥AQ，得到∠CPA＝∠PAQ＝30°，∠CPB＝∠PBO＝60°，再根据角的和差关系即可求解； （2）由（1）可得∠ABP＝90°﹣60°＝30°，即得∠APB＝∠ABP，得到AP＝AB＝200米，进而由直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【解答】解：（1）从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，过点A作AQ⊥PO于Q，则PC∥OB∥AQ，如图， ∴∠CPA＝∠PAQ＝30°，∠CPB＝∠PBO＝60°， ∴∠APB＝∠CPB﹣∠CPA＝60°﹣30°＝30°； （2）∵∠ABP＝90°﹣60°＝30°， ∴∠APB＝∠ABP， ∵直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， ∴AP＝AB＝200米， 在Rt△APC中，∠CPA＝30°， ∴米， ∴PO＝AC+AB＝300米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2024•喀什地区二模）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米，求小区楼房BC的高度．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，解直角三角形求出DE、DF的长，即可解决问题． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示： 则∠DAE＝75°，∠DCF＝45°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴DF＝CF， 在Rt△ADE中，tan∠DAE， ∴AE20（米）， ∴BE＝AB﹣AE≈70﹣20＝50（米 ）， ∵四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE≈50米， ∴DF＝CF≈50米， ∴BC＝EF＝DE﹣DF≈74.6﹣50＝24.6（米）， 答：小区楼房BC的高度约为24.6米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．（2024•临渭区一模）贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告： 课题 测量古树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF ②平面镜大小忽略 ③测倾器高度忽略 测量数据 小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米，小刚到平面镜的距离CD＝3米， 平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53° 参考数据 sin53°，cos53，tan53 请你根据以上测量报告，求古树AB的高度． 【分析】根据垂直定义可得∠EDC＝∠ABC＝∠ABF＝90°，然后设BF＝x米，则CB＝（33﹣x）米，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再根据题意可得：∠ACB＝∠DCE，从而证明△EDC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵ED⊥DF，AB⊥DF， ∴∠EDC＝∠ABC＝∠ABF＝90°， 设BF＝x米， ∵CF＝33米， ∴CB＝CF﹣BF＝（33﹣x）米， 在Rt△ABF中，∠AFB＝53°， ∴AB＝BF•tan53°x（米）， 由题意得：∠ACB＝∠DCE， ∴△EDC∽△ABC， ∴， ∴， 解得：x＝9， 经检验：x＝9是原方程的根， ∴ABx＝12（米）， ∴古树AB的高度约为12米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2024秋•重庆期中）山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚C处集合，此时测得山顶A的仰角是45°，两人边走边聊，沿着倾斜角为30°的斜坡前进1200m到达凉亭D，在凉亭D测得山顶A的仰角为60°．（参考数据：1.41，1.73，2.45）（1）求山AB的高度（结果保留根号）． （2）随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭D出发的后一段，两人的行进速度为3千米/时．当他们从凉亭D出发的同时，小庆在山脚C处乘坐观光缆车到山顶A与小育小才会合．已知观光缆车的速度为6千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶A？请通过计算说明． 【分析】（1）首先根据题意分析图形；作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，构造两个直角三角形，分别求解可得DF与EA的值，再利用图形关系，进而可求出答案； （2）求出小育小才所用时间和小庆所用时间即可得到结论． 【解答】解：作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，在Rt△CDF中∠DCF＝30°，CD＝1200米， ∴DF＝CD•sin30°1200＝600（米） CF＝CD•cos30°1200＝600（米） 在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，设DE＝x米， ∴AE＝tan60°•xx（米） 在矩形DEBF中，BE＝DF＝600米， 在Rt△ACB中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC， 即：x+600＝600x ∴x＝600， ∴AB＝AE+BE＝（600600）米； （2）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠ADE＝60°，DE＝600米， ∴AD＝2DE＝1200米， ∴小育小才所用时间为1.2÷3＝0.4（小时）， ∵ACAB＝6006002.318千米， ∴小庆所用时间为2.318÷6≈0.386（小时）， ∵0.4＞0.386， ∴小庆先到达山顶A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．（2024秋•钢城区期中）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 【分析】（1）根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC； （2）延长ED交BC的延长线于点F，设DE＝x m，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知：AB＝6.8×5＝34（m）， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， 则BC＝AB＝34m， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34m； （2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F， 则四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝34m， 设DE＝x m，则DF＝（34﹣x）m， 在Rt△DFC中，∠DFC＝45°， 则FC＝DF＝（34﹣x）m， ∴BF＝CF+BC＝（68﹣x）m， 在Rt△BFD中，∠FBD＝20°， ∵tan∠FBD， ∴DF＝BF•tan∠FBD，即34﹣x＝（68﹣x）×0.36， 解得：x≈15， 答：四门塔DE的高度约为15m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型二 与方位角有关的实际问题 1．如图，城市A的正东方向100km处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段AB），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东30°和B城的北偏西45°的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，50km为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 【分析】在Rt△APD中，设AD＝x，BD＝PDx，由题可得x+x＝100，进而可得x的值；再由PDx，将求得的值与半径50千米作比较，即可作出判断． 【解答】解：这条快速通道不会穿过核辐射区，理由如下： 过点P作PD⊥AB，垂足为D，如图， ∵AE∥PD∥FB， ∴∠APD＝30°，∠BPD＝45°． 设AD＝x， 在Rt△APD中，AP＝2x， 由勾股定理得：PDx， 在Rt△PBD中，BD＝PDx， ∴x+x＝100，x＝50， ∴PDx＝5063.4km＞50km， ∴这条快速通道不会穿过核辐射区． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用，解答本题的关键是作出高线． 2．（2023秋•九原区期末）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C． （1）求∠C的度数； （2）求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）． 【分析】（1）过点B作BD∥AF，交AC于点D，根据平行线的性质求出∠ABD，再根据三角形内角和定理求出∠AC； （2）过点B作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，进而求出AB． 【解答】解：（1）如图，过点B作BD∥AF，交AC于点D， 则∠ABD＝∠FAB＝30°， ∵∠FAC＝60°， ∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABD﹣∠DAC＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°； （2）如图，过点B作BE⊥AC于E， 在Rt△BEC中，BC＝20海里，∠C＝50°， ∵sinC， ∴BE＝BC•sinC≈20×0.766＝15.32（海里）， 在Rt△ABE中，∠BAE＝30°， 则AB＝2BE＝2×15.32≈30.6（海里）， 答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024秋•綦江区期中）如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向． （1）求此时货轮到小岛B的距离． （2）在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由． 【分析】（1）先根据题意求出∠BAC＝40°，∠ACB＝100°，据此得∠ABC＝∠ACB＝40°，从而得出AC＝BC，从而可得答案； （2）作BD⊥CD于点D，由∠BCD＝30°，BC＝80海里，可得：海里，从而可得答案． 【解答】解：（1）如图1，标注字母， 一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向．由题意知：∠EAB＝80°，∠EAC＝40°，∠QCB＝60°， ∴∠ACQ＝40°， ∴∠BAC＝80°﹣40°＝40°，∠ACB＝40°+60°＝100°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴BC＝AC＝80海里， 即此时货轮到小岛B的距离为80海里； （2）如图2，作BD⊥CD于点D， 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣60°＝30°，BC＝80海里， ∴海里， ∵40＞36， ∴货轮向正东方向航行没有触礁危险． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是构造出直角三角形． 4．（2023秋•滑县期中）一艘轮船在南海由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行10海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里； （2）小岛点P方圆4海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触焦的危险？说明理由． 【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解． （2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与4海里比较大小． 【解答】解：（1）过P作PD⊥AB于点D， ∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°， 且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90°﹣75°＝15°， ∴∠PAB＝∠APB， ∴BP＝AB＝10（海里）． （2）作PD⊥AB于D， ∵A处测得小岛P在北偏东75°方向， ∴∠PAB＝15°， ∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向， ∴∠APB＝∠ABP＝15°， ∴AB＝PB＝10海里， ∵∠PBD＝∠30°， ∴， ∴该船继续向东航行，没有触礁的危险． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质与判定，方位角问题，含30度角的直角三角形的性质． 5．（2024秋•南岸区校级期中）某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点A在点C的正南方，点B在点C的东南方向，点D在点A的正西方，点D在点C的南偏西60°方向上，点B在点A北偏东37°方向上，若AB＝200米．（参考数据：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8） （1）求CD的长度； （2）小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线A﹣D﹣C慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线A﹣B﹣C散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？ 【分析】（1）过连接AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用解直角三角形，求出BF、CF、AF，得AC＝280米，再在Rt△ACD求出CD计算结果保留整数即可． （2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论． 【解答】解：（1）如图，连接AC，过点B作BF⊥AC于点F， 已知点A在点C的正南方，点B在点C的东南方向，点D在点A的正西方，点D在点C的南偏西60°方向上，点B在点A北偏东37°方向上，AB＝200米， ∴∠MCA＝90°，∠CAD＝90°，∠BAC＝37°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°， ∴BF＝AB•sin∠BACBF＝AB•sin∠BAC＝200•sin37°≈200×0.6＝120（米）， AF＝AB•cos∠BAC＝200•cos37°≈200×0.8＝160（米）， ∴（米）， ∴AC＝AF+CF＝160+120＝280（米）， ∴（米）， 答：CD的长度为560米； （2）∵CD＝560米，∠DCA＝60°， ∴（米）， ∴小聪选择沿路线A﹣D﹣C慢跑到点C，所需要的时间为：（484.4+560）÷400≈2.6（分）， ∵（米）， 所以爸爸选择沿路线A﹣B﹣C散步到点C，所需要的时间为：（200+169.2）÷100≈3.7（分）， ∵2.6＜3.7， 答：小聪先到达点C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，数形结合、正确计算是解题的关键． 6．（2023•朝阳县四模）为建设成为“宜居宜业宜游”的城市，朝阳市计划对市内大凌河某河段进行区域性景观打造，如图，某施工单位测量员先在点M处观测到河对岸有两座凉亭，且凉亭A在M点正南方后向正东方向走200米后到达点N处，此时观测到凉亭A在南偏西在南偏西30°方向上，凉亭B在东南方向上． （1）填空：∠MAN＝　 　度，∠ANB＝　 　； （2）请你求出两座凉亭之间的距离AB．（结果保留根号） 【分析】（1）过点N作NC⊥AB于点C，由题意得∠ANC＝30°，AM∥CN，∠CNB＝45°，根据平行线的性质以及角的和差即可求解； （2）由题意得MN＝200米，在Rt△AMN中，解直角三角形即可求解； （3）易得CN＝BN，在Rt△NBC中，通过解直角三角形可得BC，即可求解求解． 【解答】解：（1）过点N作NC⊥AB于点C， 由题意得∠ANC＝30°，AM∥CN，四边形AMNC是矩形，∠CNB＝45°， ∴∠MAN＝∠ANC＝30°， ∴∠ANB＝∠MAN+∠CNB＝75°， 故答案为：30，75°； （2）在Rt△AMN中， ∵MN＝200米，∠MAN＝30°， ∴， 解得：（米）， ∴该河段的宽度AM为200米； （3）∵∠BNC＝45°， ∴CN＝BN， ∵米， ∴，解得：米， ∴米， ∴两座凉亭之间的距离AB为200（1）米． 【点评】此题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键把实际问题转化为数学问题加以解决． 7．（2023春•渝中区校级期中）如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟90米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，10分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西15°方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：1.73） （1）求健身步道BC的长；（结果保留根号） （2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道AB段向正东方向延伸至P处，再修建新步道CP，且在P处测得C在P的北偏西60°方向上．若修建步道的成本为每米80元，公园对扩建预算的费用为20万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 【分析】（1）过点B作BN⊥AC于N，则AN＝BNAB＝450（米），由∠ABC＝90°﹣15°＝75°，可得∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝75°﹣45°＝30°，解直角三角形即可求解； （2）过点B分别作BM⊥CP于M，设BM＝x，解直角三角形求出CM，PM，BP，CN，根据AB＝900米求出x的值，即可求解． 【解答】解：（1）过点B作BN⊥AC于N， 在RtABN中，∠BAN＝90°﹣45°＝45°，AB＝90×10＝900（米）， ∴AN＝BNAB＝450（米）， ∵∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝75°﹣45°＝30°， ∴BC300（米）， ∴健身步道BC的长为300米； （2）过点B分别作BM⊥CP于M， 设BM＝x， ∵∠BPC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝75°， ∴∠BCP＝∠ABC﹣∠BPC＝75°﹣30°＝45°， ∴CM＝PMBC＝300（米）， ∴PMBM＝900（米），PB＝2BM＝600（米）， ∴BP+PC＝BP+PM+CM＝600900+3009002457（米）， 2457×80＝196560（元）， ∵196560＜200000， ∴预算费用够用． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．（2024•泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【分析】过C作CH⊥AB于H，根据三角函数的定义得到BC10（n mile），过D作DG⊥AB于G，求得∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，得到∠CDB＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过C作CH⊥AB于H， ∵∠CAB＝45°，AC＝30n mile， ∴AH＝CH＝15n mile， ∵∠CBH＝60°， ∴BC10（n mile）， 过D作DG⊥AB于G， ∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°， ∴∠BDG＝60°， ∴∠CDB＝60°， ∴CD20（n mile）， 答：C，D间的距离为20n mile． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型三 与坡度、坡角有关的实际问题 1．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为43°，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93；sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60】 【分析】首先在Rt△ABC中，求出AC的长，再在Rt△ADC，由，即可求出CD的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，， ∴AC＝AB•sin43°＝2×0.68＝1.36（m）， 在Rt△ADC中，， ∴， ∴斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.3m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形． 2．（2024秋•肇源县月考）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 【分析】根据题意可得：EN＝DM＝BF，DF＝BM，DE＝MN＝1米，然后设AN＝x米，在Rt△AEN中，利用锐角三角函数的定义求出EN的长，从而求出CF和DF的长，再在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义可得CF＝DF，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：EN＝DM＝BF，DF＝BM，DE＝MN＝1米， 设AN＝x米， 在Rt△AEN中，∠EAN＝31°， ∴EN＝AN•tan31°≈0.6x（米）， ∴EN＝DM＝BF＝0.6x米， ∵BC＝4米，AB＝6米， ∴CF＝BC﹣BF＝（4﹣0.6x）米，BM＝DF＝AB﹣AN﹣MN＝6﹣x﹣1＝（5﹣x）米， 在Rt△DCF中，∠CDF＝45°， ∴CF＝DF•tan45°＝DF， ∴4﹣0.6x＝5﹣x， 解得：x＝2.5， ∴BM＝5﹣x＝2.5（米）， ∴DM和BC的水平距离BM的长度约为2.5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024•梅县区一模）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上． （1）求改善后滑板AD的长为多少米？ （2）若滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由． （参考数据：1.414，1.732，2.449，以上结果均保留到小数点后两位）． 【分析】（1）滑滑板增加的长度实际是（AD﹣AB）的长．在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解； （2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全． 【解答】解： （1）在Rt△ABC中， AC＝AB•sin45°＝42（米）． ∵∠ABC＝45°， ∴AC＝BC＝2（米）． 在Rt△ADC中， AD4（米）， 改善后滑板AD的长为4米； （2）这样改造能行，理由如下： ∵CD24.898（米）， （或CD2（米）） BD＝CD﹣BC＝224.898﹣2.828≈2.07（米）． ∵6﹣2.07≈3.93＞3， ∴这样改造能行． 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路． 4．（2024•满洲里市模拟）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：． （1）求通道斜面AB的长； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：1.41，2.24，2.45） 【分析】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM＝CMCD＝3，则AN＝DM＝3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i＝1：，得出BNAN＝6，然后根据勾股定理求出AB； （2）先解Rt△MED，求出EMDM＝3，那么EC＝EM﹣CM＝33，再根据BE＝BC﹣EC即可求解． 【解答】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M， ∵∠BCD＝135°， ∴∠DCM＝45°． ∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6， ∴DM＝CMCD＝3， ∴AN＝DM＝3， ∵通道斜面AB的坡度i＝1：， ∴tan∠ABN， ∴BNAN＝6， ∴AB37.4． 即通道斜面AB的长约为7.4米； （2）∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3， ∴EMDM＝3， ∴EC＝EM﹣CM＝33， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣（33）＝8+334.9． 即此时BE的长约为4.9米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）． （参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m， 在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m， ∴BMAB＝150m＝EF， ∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m）， 答：登山缆车上升的高度DE为450m； （2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m， ∴BD ＝562.5（m）， ∴需要的时间t＝t步行+t缆车 ≈19.4（min）， 答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 6．（2023秋•桂东县期末）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2． （1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； （2）大树BC的高度约为多少米？ （参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 【分析】（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH； （2）延长BD交AE于点G，解Rt△GDH、Rt△ADH，求出GH、AH，得到AG；设BC＝x米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据GC﹣AC＝AG列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）作DH⊥AE于H，如图1所示： 在Rt△ADH中，∵， ∴AH＝2DH， ∵AH2+DH2＝AD2， ∴（2DH）2+DH2＝（3）2， ∴DH＝3． 答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米； （2）如图2所示：延长BD交AE于点G，设BC＝xm， 由题意得，∠G＝31°， ∴GH5， ∵AH＝2DH＝6， ∴GA＝GH+AH＝5+6＝11， 在Rt△BGC中，tan∠G， ∴CGx， 在Rt△BAC中，∠BAC＝45°， ∴AC＝BC＝x． ∵GC﹣AC＝AG， ∴x﹣x＝11， 解得：x＝16.5． 答：大树的高度约为：16.5米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键． 7．（2023秋•徐汇区期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼AB的高度； （2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 【分析】（1）根据正切的定义求出AB； （2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，设DG＝x米，根据坡度的概念用x表示出DH，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°， ∵tan∠ACB， ∴AB＝BC•tan∠ACB＝2060（米）， 答：高楼AB的高度为60米； （2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H， 则四边形HBGD为矩形， ∴BH＝DG，DH＝BG， 设DG＝x米， ∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米， ∵斜坡CD的坡比是i＝1：6， ∴CG＝6x米， ∴BG＝（206x）米， 在Rt△AHD中，tan∠ADH， ∴0.75， 解得：x6.2， 经检验，x是原方程的解， 答：点D离地面的距离约为6.2米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，坡长AB为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°． （1）求坡顶B到地面AH的距离BH的长； （2）求古塔CD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49） 【分析】（1）根据题意可得：BH⊥AH，再根据已知可设BH＝5x米，则AH＝12x米，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）延长CD交AN于点E，根据题意可得：BD＝HE，BH＝DE＝15米，然后设BD＝HE＝x米，则AE＝（36+x）米，在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，再在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：BH⊥AH， ∵斜坡AB的坡度为i＝1：2.4， ∴， ∴设BH＝5x米，则AH＝12x米， 在Rt△ABH中，AB13x（米）， ∵AB＝39米， ∴13x＝39， 解得：x＝3， ∴BH＝15米．AH＝36米， ∴坡顶B到地面AH的距离BH的长15米； （2）延长CD交AN于点E， 由题意得：BD＝HE，BH＝DE＝15米， 设BD＝HE＝x米， ∵AH＝36米， ∴AE＝AH+HE＝（36+x）米， 在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE•tan45°＝（36+x）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝74°， ∴CD＝BD•tan74°≈3.49x（米）， ∵DE+CD＝CE， ∴15+3.49x＝36+x， 解得：x≈8.4， ∴CD＝3.49x≈29（米）， ∴古塔CD的高度约为29米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型四 利用直角三角形其它解决实际问题 1．（2024秋•郑州期中）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为40米，C处与D处的距离为36米，．（计算结果保留整数） （1）求入口A处到出口B处的距离； （2）求海洋球D处到出口B处的距离． 【分析】（1）根据题意可得：∠ABE＝90°，然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答； （2）先利用三角形内角和定理可得：∠D＝∠BAC＝30°，然后在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：∠ABE＝90°， 在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，AE＝40米， ∴BEAE＝20（米），ABBE＝2048（米）， ∴入口A处到出口B处的距离为48米； （2）∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∠ABD+∠BAC+∠AEB＝180°，∠C＝∠ABE，∠CED＝∠AEB， ∴∠D＝∠BAC＝30°， 在Rt△CDE中，CD＝36米， ∴DE24（米）， ∵BE＝20米， ∴DB＝DE+BE＝242069（米）， ∴海洋球D处到出口B处的距离约为69米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2024秋•淄博期中）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【分析】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M， ∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°． 由题意得：∠BAF＝90°， ∴四边形ABMF为矩形， ∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°． ∵∠ABC＝150°， ∴∠MBC＝60°． ∵BC＝18cm， ∴CM＝BC•sin60°＝189（cm）． ∴CF＝CM+MF＝（92）cm． 答：支点C离桌面l的高度为（92）cm； （2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H， ∴∠EHC＝90°． ∵DE＝24cm，CD＝6cm， ∴CE＝18cm． 当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝189（cm）； 当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）； ∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm） ∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA． 3．（2024•惠东县校级模拟）综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【分析】（1）过B作BMLDE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可； （2）过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可． 【解答】解：（1）如图1，过B作BM⊥DE于M， ∴CD＝BM＝1.5，BC＝DM＝1.5， 在Rt△BEM中，tan∠BEM， 即5， ∴EM＝0.3， ∴DE＝DM﹣EM＝1.5﹣0.3＝1.2． 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m． （2） 过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE 于M， 则BF＝DM＝1.2， ∴CF0.9， ∴BM＝DF＝CD﹣CF＝1.5﹣0.9＝0.6， 由表格可知，在12时﹣14时， 角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小， ∴当14时，点E最靠近墙角， 此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在Rt△BEM中，tan∠BEM， 即1.25， ∴EM＝0.48， ∴DE＝DM﹣EM＝1.2﹣0.48＝0.72． 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题． 4．（2024•西岗区校级一模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40cm；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知B'、O'、C三点在一条直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，1.73）． （1）求散热架ACO'底边AC的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？ 【分析】（1）利用AC＝AO'cos∠O'AC计算即可； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，先计算BD，再解△O'AC，计算O′C＝AO′sin37°，得到B′C＝O′B+O′C，再计算B'C﹣BD即可得解． 【解答】解：（1）∵O′C⊥AC， ∴∠ACO′＝90°， ∵∠CAO′＝37°，cos37°≈0.8， ∴AC≈0.8AO′＝0.8×40＝32（cm）， 答：AC的长约为32cm； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠OBD＝30°， ∴， ∴， ∵O′C⊥OA，∠CAO′＝37°， ∴O′C＝AO′sin37°≈40×0.6＝24（cm）， ∴B′C＝O′B+O′C≈40+24＝64（cm）， 因为64﹣34.6＝29.4（cm）． 所以显示屏顶部B′比原来升高了约29.4cm． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 5．（2024•运城一模）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 【分析】（1）过点A作AE⊥BD，分别解直角三角形AOE和直角三角形ABE，进行求解即可； （2）易得GH＝CE，旋转得到OC′＝OC，解直角三角形得到GH＝CE＝0.6OC米，C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米，利用C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，求出OC的长，再减去OA的长即可得出结果． 【解答】解：（1）过点A作AE⊥BD， 在Rt△AEO中，OA＝4米，∠COD＝37°， ∴（米）， 在Rt△AEB中，∠ABD＝53°， ∴（米）； （2）由题意，得：GH＝CE， 在Rt△COE中，∠COD＝37°， ∴米， ∴GH＝CE＝0.6OC米， ∵OC′＝OC，∠COC′＝27°， ∴∠C′OG＝37°+27°＝64°， 在Rt△C′OG中，∠C′OG＝64°， ∴C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米， ∵C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米， ∴OC＝10米， ∴AC＝OC﹣OA＝6米， 故：AC伸长到的最大长度为6米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．（2024秋•成都期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝6m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°，点C，A，D在同一直线上，且直线CD与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）求AB的长； （2）求物体上升的高度CE（结果保留根号）． 【分析】（1）在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，然后进行计算即可解答． 【解答】（1）在Rt△ACB中，AC＝6m，∠CAB＝60°， ∴（m）， 答：AB长12m； （2）在Rt△ACB中，AC＝6m，∠CAB＝60°， ∴BC＝ACtan60°（m）， 在Rt△BCD中，∠CDB＝37°， （m）， ∴m， 答：物体上升的高度CE为m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（2024秋•沙坪坝区校级期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东53°．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯AD到达点D，，再沿DC到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， （1）求楼梯AD的长度； （2）小明计划19：30出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是100m/min，如果选择路线②则可以跑步跑步的平均速度是200m/min，表演正式开始时间是20：00，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【分析】（1）根据勾股定理列方程求解； （2）根据“时间＝路程÷速度”列式计算． 【解答】解：（1）如图：取点D，过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接CD，AD， 由题意得：∠BCD＝45°，∠CAB＝90°﹣53°＝37°，CD＝1600m，∠B＝90°， ∴CF＝DF＝1600m，四边形BEDF为矩形， ∴BE＝DF＝1600m， 设DE＝5x m， ∵， ∴AE＝12x m，BF＝5x m， ∵tan∠CAB， 解得：x＝100， ∴AE＝1200m，DE＝500m， ∴AD1300m， 答：楼梯AD的长度为1300米； （2）选择路线①能赶在表演前到达点C处． 理由：按照路线①需要：35.6＞30， ∴选择路线①不能赶在表演前到达点C处， 按照路线②需要：24.5＜30， ∴选择路线②能赶在表演前到达点C处． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的意义，勾股定理是解题的关键． 8．（2024•叙永县模拟）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 【分析】（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，根据题意可得：DH＝QE，AD∥PQ，从而可得∠DPQ＝∠ADP＝45°，然后在Rt△DPQ中，利用锐角三角函数的定义求出PQ的长，从而求出QE，DH的长，即可解答； （2）当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，先在Rt△DPQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，从而求出PF的长，进行比较即可解答． 【解答】解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q， 由题意得：DH＝QE，AD∥PQ， ∴∠DPQ＝∠ADP＝45°， 在Rt△DPQ中，PD米， ∴PQ＝PD•cos45°1（米）， ∵PE＝1.2米， ∴DH＝QE＝PE﹣PQ＝1.2﹣1＝0.2（米）， ∴点D到地面的距离DH的长为0.2米； （2）轿车能驶入小区， 理由：当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时， ∵AD∥PQ， ∴∠ADP＝∠DPQ＝36°， ∵QE＝0.2米， ∴PQ＝PE﹣QE＝1.6﹣0.2＝1.4（米）， 在Rt△DPQ中，DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米）， ∴PF＝3﹣1.022＝1.978（米）， ∵1.978＞1.8， ∴轿车能驶入小区． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 $$