第1章 解直角三角形 单元检测题 2025-2026学年浙教版九年级数学下册

九年级数学下册 第1章 解直角三角形 单元检测题 浙教版 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） A．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离 2．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 4．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 6．如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 7．如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 10．如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（　　）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是　 　． 12．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为　 　． 13．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为　 　． 14．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为　 　． 15．如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为　 　． 16．如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为　 　． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．已知，为的弦，且． （1）如图1，若，求阴影部分的面积； （2）如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的切线． 18．如图，在中，． （1）尺规作图：作，使得经过点C，并且与边都相切；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则的半径为　 　． 19．如图，是的外接圆，为直径，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 20．如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为 （1）当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度； （2）若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标． 21．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． （1）求证：是的角平分线； （2）若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 22．有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 （1）如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； （2）如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； （3）如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 23．如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． （1）的长为　 　； （2）将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 24．在平面直角坐标系中，点的半径为2．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”．其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． （1）如图1，如果点，线段OH是的“关联线段”，那么它的“关联角”为　 　； （2）如图2，点，线段AB　 　的“关联线段”（填“是”或“不是”）； （3）点，若线段DE是的“关联线段”，则的取值范围是　 　； （4）点为平面内一点，若存在以为端点，长度为4的线段是的“关联线段”，则点M的横坐标的取值范围是　 　． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：的半径为，圆心到直线的距离为， 且， 直线与的位置关系是相交． 故选：． 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定求解即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 【分析】根据直线和相交即d<r，即可判断. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧， ∴长度相等的弧不一定是等弧，故A不符合题意； ∵平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ∴平分弦的直径垂直于弦这一说法是错误的，故B不符合题意； ∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴相等的圆心角所对的弦相等这一说法是错误的，故C不符合题意； ∵三角形的内心是与三角形的三边都相切的圆的圆心 ∴三角形的内心到三角形三条边的距离相等，故D符合题意， 故选：D． 【分析】等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，由此可判断A不符合题意；由平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，可知"平分弦的直径垂直于弦"这一说法是错误的，可判断B不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可知"相等的圆心角所对的弦相等"这一说法是错误的，可判断C不符合题意；三角形的内心是与三角形的三边都相切的圆的圆心，所以三角形的内心到三角形三条边的距离相等，可判断D符合题意，于是得到问题的答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 【分析】根据切线长定理可求出BF，CF的长，进而可求出BC的长. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵O为的内心， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等， ∴、面积的比． ∵的面积为25， ∴的面积为15． 故选：C． 【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△ABO、△BCO、△ACO面积的比实际为AB，BC，AC三边的比. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：连接，如图， 为的切线， ， ， 的直径为4， ，， 在中，，， ， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵ ， 而， ， ，即， 解得． 故选：D． 【分析】连接OE，如图，先根据切线的性质得到∠OEC=90°，利用勾股定理可计算出，再根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后证明△ABD∽△COE，于是利用相似比可求出AD的长. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【分析】设O与AC、BC、AB分别相切于E、F、H，连接OE、OF，可证明四边形OECF是正方形，由∠ACB=90°，AC=6，BC=8，求得∠CAB+∠CBA=90°，AB=10，由AE=AH，BF=BH，求得AE+BF=AB=10，则CE+CF=2CE=AC+BC-(AE+BE)=4，则OE=CE=2，由，， 求得∠OAB+∠OBA=45°，则∠AOB=135°，所以阴影部分扇形的圆心角为225°，根据扇形的面积公式即可求解. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：连接， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【分析】连接OP，OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当时PO⊥AB，线段OP最短，即线段PQ最短，利用直角三角形的面积公式即可求得OP的值，进而得到PQ的值. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：连接，，过作于交于，如图： 两圆的外公切线切于点，切于点， ，， 四边形是矩形， ，， 和的半径分别是和， ，， ，， ， 的面积， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故选：C． 【分析】连接BD，CE，过B作BK⊥CE于K，BK交AF于L，由切线的性质推出BD⊥DE，CE⊥DE，判定四边形BDEK是矩形，得到EK=BD=3，BK//DE，由勾股定理求出cm，求出△BCK的面积cm2，判定△FAH~△BCK，推出，即可求出△AHF的面积. 11．【答案】相交 【解析】【解答】解：∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵圆心到直线的距离为3，， ∴直线与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【分析】求出⊙O的半径，进而根据直线与圆的位置关系作答即可. 12．【答案】68 【解析】【解答】解：连接， 为切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】根据切线的性质得∠OBC=90°，则利用OC⊥OA得到∠AOC=90°，则可计算出∠OAD=22°，由于∠DBA=∠DAB=22°，则可利用互余计算出∠ABC的度数. 13．【答案】 【解析】【解答】解：与相切于点， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【分析】利用切线定理可知，再利用平行线的判定与性质证明，再利用相似的对应边性质可得，，再利用勾股定理，进而即可求解. 14．【答案】16 【解析】【解答】解：∵、分别切于、， ∴， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：16． 【分析】根据切线长定理得到PA=PB，AE=EC，FC=FB，即可求出△PEF的周长. 15．【答案】或 【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵F是的中点， ∴， 当与直线相切时，如图，设切点为，连接，则， ∴四边形是矩形． ， 在中，， ， 点E的运动时间t为 当与直线相切时，如图， ∵， ∴切点为， 此时，， 在中，， ∴， 解得 点E的运动时间t为， 综上，点E的运动时间t为或， 故答案为：或． 【分析】分当⊙F与直线AD相切时，⊙F与直线AB相切时两种情况讨论，在Rt△EFC中利用勾股定理计算即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【分析】连接OA、OB，AP，作OM⊥AB，如图所示，由翻折可知，从而∠OAB=∠OBA=30°，∠AOB=120°，∠APB=∠AOB=120°，∠APC=60°，由圆周角定理可知∠C=60°，可判定△ACP为等边三角形，连接AQ，又Q为CP中点，由三线合一性质可得AQ⊥CP，由垂径定理可得M为AB中点，在Rt△AQB中，QM为斜边AB上的中线，故有，又OQ≥QM-OM，当Q、O、M三点共线时取等号，进而即可求解. 17．【答案】（1）解：半径，， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． （2）解：如图所示， 连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线． 【解析】【分析】(1)阴影部分的面积是圆的面积减去三角形AOB的面积，由此即可求解； (2)AO⊥BO，点B在圆上，连接AO并延长交⊙O于点E，连接ED，OC并延长交于点F，由此即可求解. 18．【答案】（1）解：如图，即为所求， （2） 【解析】【解答】解：（2）设与AB相切于点E，连接OE，设OC=OE=r. ∵∠BCO=∠BEO=90°，∠OBC=∠OBE，BO=BO， ∴△OBC≌△OBE(AAS)， ∴BC=BE=4， ∵， ∴AE=AB-BE=5-4=1， 在Rt△AOE中，(3-r)2=r2+12， 解得， 故答案为：. 【分析】(1)作BO平分∠ABC，交AC与点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可； (2)如图，设⊙O与AB相切于点E，连接OE，设OC=OE=r，利用勾股定理构建方程求解. 19．【答案】（1）证明：连接并延长交于点F，连接， ∵， ∴为线段的垂直平分线. ∵为的直径， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵点O，F分别为的中点， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 【解析】【分析】(1)连接OB并延长交AD于点F，连接OD，先说明BF为线段AD的垂直平分线，再说明∠ADC=90°，可得四边形BEDF为矩形，进而得∠EBF=90°，则此题可证； (2)先根据中位线的性质得，再求出OB=OD，然后说明∠DOF=∠DBA，最后根据可得答案. 20．【答案】（1）解：过点A作于F，连接，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ∴， 的长度为； （2）解：设与直线相切于点H，连接， 设点A的坐标为， 则， ， ， ∽， ， ， ， 或1， 点A的坐标为或 【解析】【分析】(1)过点A作AF⊥BC于F，连接AD，AE，由三线合一的性质得出EF=DF，由等面积法得出AF，再根据勾股定理求出DF，进而可求出DE； (2)设⊙A与直线BC相切于点H，连接AH，设点A的坐标为(m，0)，则AH⊥BC，证明△BOC~△BHA，由相似三角形的性质得出，代数数值计算即可得出答案. 21．【答案】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 【解析】【分析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，进而证明OD//AC，得到∠CAD=∠ODA，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，进而得到∠CAD=∠OAD，即可证明AD是∠BAC的角平分线； (2)①设OA=OD=r，根据30度角的性质得到OB=2r，AB=2AC=6，可得3r=6，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积. 22．【答案】（1）解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴=． （2）解：①如图，连接，， 由题意，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 由图可知，， ， ∴裁出的两块木料的周长之和为； ②400π-384． （3）解：连接OE，OA，如图， 则OA=OB=OE=OM=ON， 设OC=x，OF=y， ∵CM=DN， ∴OC=OD=x， ∴CF=x+y， DF=x-y， ∵CF·DF=m， ∴(x+y)(x-y)=m， ∴x2-y2=m. ∵OA2=AC2+OC2=n2+x2， ∴OE2=OA2=n2+x2， ∵EF2=OE2-OF2=n2+x2-y2=n2+m ∴ 【解析】【解答】解：②由①可知，AC=OD，OC=BD， ∴CM+AC+BD+DN=CM+OD+OC+DN=MN ∵AC+CM=48cm， BD+DN=32cm， ∴MN=80cm， ∴OA=OB=OM=ON=40cm， 设DN=xcm， 则BD=(32-x)cm， OD=(40-x)cm， ∵OD2+BD2=OB2， ∴(40-x)2+(32-x)2=402， ∴x=8或x=64(不合题意，舍去)， ∴DN=8cm， BD=24cm， OD=32cm， ∴OC=BD=24cm， AC=OD=32cm， ∴(cm2) ∵扇形OAM的面积+扇形OBD的面积(cm2)， ∴裁出的两块木料的面积之和=扇形OAM的面积+扇形OBD的面积-(S△OAC+S△OBD)=(400π-384)cm2. 故答案为：400π-384. 【分析】(1)连接OA，OB，利用圆的有关性质，全等三角形的判定与性质和圆周角定理解答即可； (2)①连接OA，OB，利用全等三角形的判定与性质得到AC=OD，OC=BD，再利用等式的性质解答即可得出结论； ②连接OA，OB，利用①的方法求得MN=80cm，设DN=xcm， 则BD=(32-x)cm，OD=(40-x)cm，利用勾股定理求得OC=BD=24cm，AC=OD=32cm，再利用裁出的两块木料的面积之和=扇形OAM的面积+扇形OBD的面积-(S△OAC+S△OBD)解答即可； (3)连接OE，OA，则OA=OB=OE=OM=ON， 设OC=x，OF=y，利用同圆的半径相等的性质，勾股定理解答即可得出结论. 23．【答案】（1） （2）解：①∵，连接，如图 ∴， ∴， ∵切圆O于点P，切圆O于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②过点O作于N，连接，如图 有，， ∵， ∴， ∴，即． ③ 【解析】【解答】解：⑴连接，如图 ∵切半圆O于点M，， ∴． ∴． 故答案为：． ⑵③如图所示 ∵，点H是的中点， ∴， ∴， ∵点H是的中点，半圆O绕D顺时针旋转，长度为8， ∴点H的轨迹是以D为中心、半径为的圆弧， 即点H的轨迹为， ∵C为定点，G是的中点， ∴点G的轨迹是H轨迹的缩放， 即点G的运动路径长为． 故答案为：. 【分析】(1)连接BO， 求出∠BMO=90°，，再根据勾股定理，得到，即可解答； (2)①AB//CD，AD⊥CD，连接OB、OT，求出∠ABD=90°-∠ADB=60°，∠BPO=90°，推导出OB=2PO=8， 则，得到，即可解答； ②过点O作ON⊥BD于N，连接OE、OF，求出，则，即，即可解答； ③先求出，确定点H的轨迹是以D为中心、半径为的圆弧，即点H的轨迹为，推导出点G的轨迹是H轨迹的缩放，进而即可求解. 24．【答案】（1）60 （2）不是 （3） （4） 【解析】【解答】解：（1）过C作垂直旋转后的直线于D，设交y轴与点E，连接，如图， ∵，的半径为2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴线段与的“关联角”为， 故答案为：60. （2）设直线与相切于点F，连接，过C作于点G， 则， ∵， ∴轴，， ∴， 由旋转知，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 当点在点上方时，点F不在线段上； ∴不是的“关联线段”， 当点在点下方时， ∵， ∴点F也不在线段上， ∴不是的“关联线段”， 综上，线段不是的“关联线段”； 故答案为：不是； （3）如图， ∵，， ∴O、D、E点三点共线， ∵线段是的“关联线段”， ∴线段绕原点O逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，设切点为F， ∴直线与相切， ∴，， ∵， ∴， ∵点F在线段上， ∴， 即， ∴， 结合图象可知，点E应在点D的左侧或右侧， 若点E在点D的左侧， t的取值范围是或； 若点E在点D的右侧，此时点在点的上方，点F不在线段上，线段不是的“关联线段”． 故答案为：. （4）设长度为4的线段为是的“关联线段”， 连接， 当点为切点，点落在y轴上，， 取得最大值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，在x轴上，点M横坐标取得最小值，为， 当轴时，点的横坐标取得最小值， 当时，点、M关于原点成中心对称， 点M的横坐标取得最大值，， ∵，切点在上， ∴点M的横坐标的取值范围为． 故答案为：． 【分析】(1)过C作CD垂直旋转后的直线于D，设交y轴于点E，连接DE，证明△CDE是等边三角形，得∠OCD=60°，得∠COD=30°，即得∠DOH=60°，线段OH与⊙C的"关联角"为60°； (2)设直线A'B'与⊙C相切于点F，连接CF，OA'，过C作CG⊥OA'于点G，证明四边形A'FCG是矩形，得A'F=CG，A'G=CF=2，得OG=1，得，当点B'在点A'上方时，当点B'在点A'下方时，可判定F不在线段A'B'上，线段AB不是⊙C的"关联线段"； (3)由题意可知点O、D、E点三点共线，根据线段DE是⊙C的"关联线段"，得出直线D'E'是⊙C相切，设切点为F，利用切线的性质和勾股定理求出，若点E应在点D的左侧，；若点E应在点D的右侧，点F不在线段D'E'上，线段DE不是⊙C的"关联线段"，得； (4)连接OM、ON、OM'、ON'、CM'、CN'，当点N'为切点，点M'落在y轴上，OM'取得最大值，，得，当α=90°时，OM在x轴上，点M横坐标取得最小值，当CM'//x轴时，点M'的横坐标取得最小值，当α=180°时，点M的横坐标取得最大值，，进而即可得出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $