第2章 直线与圆的位置关系（单元测试）（题型专练）数学浙教版九年级下册

第2章：《直线与圆的位置关系》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级______________ 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•南京期中）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由2cm＜3cm，可知圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相交，则直线l与⊙O有两个交点，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，且2cm＜3cm， ∴圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点， 故选：C． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，根据圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径证明直线l与⊙O相交是解题的关键． 2．（2024秋•香洲区校级期中）已知圆的直径是6cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【分析】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案． 【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣1（不合题意舍去）， ∵圆的直径是6cm，即圆的半径为3cm，4＞3， ∴直线l与圆O的位置关系是相离， 故选：B． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定． 3．（2024•甘南州）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　） A．18° B．36° C．48° D．72° 【分析】连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，再由切线长定理得BD＝DC，从而得∠DBC＝∠DCB＝90°−18°＝72°，进而即可求解． 【解答】解：连接BC， ∵DB、DE分别切⊙O于点B、C， ∴BD＝DC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB＝90°−18°＝72°， ∴∠D＝180°﹣72°×2＝36°． 故选：B． 【点评】本题主要考查切线长定理和圆周角定理的推论，掌握切线长定理，是解题的关键． 4．（2023秋•城关区校级期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．10 【分析】根据切线长定理得到PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，PA＝6， ∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE， ∴△PCD的周长＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 5．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用S阴影＝SRt△OCD﹣S扇形BOC即可解答． 【解答】解：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°， ∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， ∵∠OCD＝90°， ∴， ∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC2． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键． 6．（2023秋•衡水月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A．OC∥AE B．∠OAC＝∠CAE C．∠OCA＝∠CAE D．OA＝AC 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质，逐项判定即可得到答案． 【解答】解：A、∵AE⊥CD， ∴∠AED＝90°， 当OC∥AE时，则∠OCD＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵AE⊥CD， ∴∠AED＝90°，则∠CAE+∠ACE＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 当∠OAC＝∠CAE时，则∠OCA+∠ACE＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意； C、当∠OCA＝∠CAE时，OC∥AE， ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝90°， ∴∠OCD＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意； D、当OA＝AC时，由OA＝OC得到OA＝OC＝AC，则△OAC是等腰三角形，无法确定∠OCD＝90°，不能得到CD切⊙O于点C，该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，圆周角定理，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 7．（2024秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切时，AM的长度是（　　） A．3 B．4 C．2 D．6 【分析】根据一次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出OA和OB的长，根据勾股定理求出AB，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，PB，设PD＝PO＝PM＝x，根据S△AOB＝S△APB+S△PBO列出关于x的方程，求出x，即可求出答案． 【解答】解：当x＝0时，yx+6＝6， 当y＝0时，x+6＝0， ∴x＝﹣8， ∵一次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A（﹣8，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， 在Rt△AOB中， AB10， 如图，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，PB， ∴PD⊥AB，PD＝PO＝PM， 设PD＝PO＝PM＝x， ∵S△AOB＝S△APB+S△PBO． ∴OA•OBAB•PDPO•OB， ∴6×8＝10x+6x， 解得x＝3， ∴AM＝OA﹣PM﹣PP＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 8．（2024•临邑县一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　） A．9 B．10 C．8 D．12 【分析】连接OE，延长EO交BF于点M，设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，由勾股定理得出（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，则得出答案． 【解答】解：连接OE，延长EO交BF于点M， ∵C'D'与⊙O相切， ∴∠OEC′＝90°， 又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'， ∴∠EMB＝90°， ∴BM＝FM， ∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′， ∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8， ∴四边形EMBC'为矩形， ∴ME＝8， 设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x， ∵OM2+BM2＝OB2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， ∴AB＝CD＝10． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点． 9．（2023秋•安新县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【分析】根据题意CD与⊙P相切分⊙P在直线CD左侧时⊙P在直线CD右侧时，求出⊙P运动的路程，即可根据速度求得时间． 【解答】解：①由题意可知CD与⊙P1相切于点E， ∴P1E⊥CD， ∵⊙P半径为2cm， ∴P1E＝2cm， ∵∠AOD＝30°，P1E⊥CD， ∴P1O＝4cm， ∴PP1＝PO﹣P1O＝10﹣4＝6（cm）， ∴t＝3秒． ②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2＝PO+P2O＝10+4＝14（cm）， 则需要运动的时间为7秒． 综上所述，⊙P与直线CD相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出P1O是解决问题的关键． 10．（2024秋•惠山区校级期中）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则．正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【分析】①用反证法判断即可得出结论． ②想办法证明∠GPD＝∠GDP，可得结论． ③想办法证明AP＝PQ，可得结论． ④说明∠CAP与∠DAB不一定相等，即可判断本结论错误． ⑤证明△AOC是等边三角形，求出OP即可判断． 【解答】解：不妨设∠BAD＝∠ABC，则， ∵， ∴，这个显然不符合题意，故①错误， 连接OD，∵GD是⊙O的切线， ∴OD⊥DG， ∴∠ODG＝90°， ∴∠GDP+∠ODA＝90°， ∵GE⊥AB， ∴∠AEP＝90°， ∴∠PAE+∠APE＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠APE＝∠GPD， ∴∠GDP＝∠GPD， ∴GP＝GD，故②正确， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACP+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°， ∴∠ACE＝∠ABC， ∵， ∴∠CAP＝∠ABC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴PC＝PA， ∵∠AQC+∠CAP＝90°，∠ACP+∠PCQ＝90°， ∴∠PCQ＝∠PQC， ∴PC＝PQ， ∴PA＝PQ， ∵∠ACQ＝90°， ∴点P是△ACQ的外接圆的圆心，故③正确， ∵与不一定相等， ∴∠CAP与∠DAB不一定相等， ∴点P不一定是△AOC的内心，故④错误， ∵DG∥BC，OD⊥DG， ∴OD⊥BC， ∴， ∵， ∴， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∠CAD＝∠DAB＝30° ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∵CE⊥OA， ∴∠ACE＝∠OCE， ∴点P是△AOC的外心， ∴OP＝AP＝PC，故⑤正确， 故选：C． 【点评】本题考查切线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024秋•徐州期中）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于　 　． 【分析】如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为△ABC的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r， 先利用勾股定理计算出AB＝10，根据切线的性质得OD＝OE＝r，OD⊥AC，OE⊥BC，再证明四边形ODCE为正方形，得到CD＝CE＝OE＝r，则AD＝8﹣r，BE＝6﹣r， 然后根据切线长定理得到AF＝AD＝8﹣r，BF＝BE＝6﹣r，于是有8﹣r+6﹣r＝10，然后解方程即可得到r的值． 【解答】解：如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为△ABC的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F， 连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，AB10， 则OD＝OE＝r，OD⊥AC，OE⊥BC， ∵∠C＝90°， ∴四边形ODCE为矩形， 而OD＝OE， ∴四边形ODCE为正方形， ∴CD＝CE＝OE＝r， ∴AD＝8﹣r，BE＝6﹣r， ∵AF＝AD＝8﹣r，BF＝BE＝6﹣r， ∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2， 即这个三角形的内切圆半径等于2． 故答案为2． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了切线的性质与切线长定理；记住直角边为a、b，斜边为c的三角形内切圆半径等于． 12．（2024秋•阜宁县期中）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC的度数为 　 　． 【分析】根据三角形内切圆的性质得出OB、OC、分别平分∠ABC与∠ACB，再根据三角形内角和定理结合角平分线的定义即可求解． 【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心， ∴OB、OC、分别平分∠ABC与∠ACB， ∵∠BAC＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣78°＝102°， ∴∠OBC+∠OCB＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣51°＝129°， 故答案为：129°． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，熟记三角形内切圆的性质是解题的关键． 13．（2024秋•建湖县期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，△ABC的周长为24，则BC的长为 　 　． 【分析】由△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，得AF＝AD＝3，CF＝CE，BD＝BE，所以CF+BD＝BC，由AF+CF+BC+BD+AD＝24，得3+2BC+3＝24，则BC＝9，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3， ∴AF＝AD＝3，CF＝CE，BD＝BE， ∴CF+BD＝CE+BE＝BC， ∵△ABC的周长为24， ∴AF+CF+BC+BD+AD＝24， ∴3+2BC+3＝24， ∴BC＝9， 故答案为：9． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出AF＝AD＝3及CF+BD＝BC是解题的关键． 14．（2024秋•台州期中）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，PA＝5cm，PB＝4cm，则BC＝ 　 　cm． 【分析】根据切线的性质得到∠ABP＝90°，由勾股定理求出AB，再根据三角形面积求出BC即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线， ∴∠ACB＝90°，∠ABP＝90°， 在Rt△ABP中，PA＝5cm，PB＝4cm， ∴AB3cm， ∵S△ABPPA•BCPB•AB， ∴5BC＝3×4， 即BC（cm）， 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，掌握切线的性质，勾股定理以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键． 15．（2023秋•西宁期末）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　 ． 【分析】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论． 【解答】解：如图： ①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°， Rt△OPB中，OB＝2OP， ∴∠A′BO＝30°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠ABA′＝40°； ②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时， 同①，可求得∠A′BO＝30°； 此时∠ABA′＝70°+30°＝100°， 故旋转角α的度数为40°或100°． 故答案为：40°或100°． 【点评】此题主要考查的是切线的性质以及旋转的性质，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解． 16．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点E （4，0），以AO为直径作⊙D，点G是⊙D上一动点，以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF，连接DF，则DF的最大值是　 ． 【分析】如图，连接DG，过点E作EH⊥AE，且DE＝EH，连接DH，FH，由“SAS”可证△GDE≌△HFE，可得GD＝FH＝2，可得点F在以H为圆心，2为半径的圆上，即可求DF的最大值． 【解答】解：如图，连接DG，过点E作EH⊥AE，且DE＝EH，连接DH，FH， ∵点A（﹣4，0），点E （4，0）， ∴AO＝4＝OE， ∵AO是圆D直径， ∴DO＝AO＝2， ∴DE＝6＝EH，且EH⊥AE， ∴DH＝6， ∵等腰直角三角形EGF， ∴GE＝EF，∠GEF＝∠DEH＝90°， ∴∠GED＝∠FEH，且GE＝EF，DE＝EH， ∴△GDE≌△HFE（SAS） ∴GD＝FH＝2， ∴点F在以H为圆心，2为半径的圆上， ∴当点F在DH的延长线上时，DF有最大值， ∴DF的最大值为62， 故答案为：62． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2023秋•任城区校级月考）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 【分析】设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，求出四边形BMON是正方形，求出BM＝BN＝3，根据切线长定理求出EM＝EP，FP＝FN，最后求出△BEF的周长＝BM+BN，代入求出即可． 【解答】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON， 则∠OMB＝∠ONB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∵ON＝OM， ∴四边形MBNO是正方形， ∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆， ∴BM＝BN＝OM＝ONAB6＝3， 由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN， ∴△BEF的周长为BF+EF+BE ＝BF+PF+PE+BE ＝BF+FN+EM+BE ＝BN+BM ＝3+3 ＝6． 【点评】本题考查了切线长定理，正方形的性质和判定，正方形的内切圆的应用，解此题的关键是求出△BEF的周长＝BN+BM和求出BM的长，注意：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 18．（8分）（2024秋•建邺区期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【分析】连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE为⊙O的切线． 【解答】证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD为⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．（8分）（2023秋•荔城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°． （1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABD，而∠ABD＝∠CBD，则∠ODB＝∠CBD，所以OD∥BC，则∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，即可证明CD与⊙O相切； （2）由AB是⊙O的直径，且AB＝4，得OA＝2，∠ADB＝90°，由∠C＝90°，∠CDB＝60°，求得∠ABD＝∠CBD＝30°，则∠AOD＝2∠ABD＝60°，即可根据弧长公式求得． 【解答】解：（1）CD与⊙O相切， 理由：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∵∠C＝90°， ∴∠ODC＝180°﹣∠C＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD， ∴CD与⊙O相切． （2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝4， ∴OAAB＝2，∠ADB＝90°， ∵∠C＝90°，∠CDB＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠CDB＝30°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝60°， ∴， ∴的长为． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直线与圆的位置关系、弧长的计算等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 20．（8分）（2023•丰顺县校级开学）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E． （1）若PA＝4，求△PED的周长； （2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数． 【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论； （2）连接AB，根据切线长定理求证PA＝PB，再三角形内角和定理求出∠PAB和∠PBA的度数，然后再利用BF为圆直径即可求出∠AFB的度数． 【解答】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线， ∴DC＝DA， 同理EC＝EB， ∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴PA＝PB， ∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8， 即三角形PDE的周长是8； （2）连接AB， ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∵∠P＝40°， ∴∠PAB＝∠PBA（180﹣40）＝70°， ∵BF⊥PB，BF为圆直径 ∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20° ∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°． 答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8； （2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°． 【点评】本题考查的是切线长定理，题图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 21．（9分）（2024•旌阳区模拟）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D． （1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）连接BE和OC交于点F，若AB＝4，∠BAC＝30°， ①求证：四边形DEFC是矩形； ②求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）先证明∠BAC＝∠ACO，即可得出AD∥OC，由AD⊥CD可得OC⊥CD，从而得出OC是⊙O的半径； （2）①证明∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°即可得证； ②图中阴影部分的面积＝S梯形OCDE﹣S扇形OCE，分别求出梯形的面积和扇形的面积即可解答． 【解答】（1）解：直线CD与⊙O相切， 理由：连接OC， ∵， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）①证明：∵， ∴OC⊥CE，BF＝EF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°， ∴四边形DEFC是矩形； ②解：∵， ∴∠COE＝∠BOC＝2∠BAC＝60°， 在Rt△OEF中，OEAB＝2， ∴∠OEF＝90°﹣∠COE＝30°， ∴OFOE＝1， ∴CF＝OC﹣OE＝1＝DE， ∴EFCD， ∴S梯形OCDE（DE+OC）•CD， S扇形OCE， ∴图中阴影部分的面积＝S梯形OCDE﹣S扇形OCE． 【点评】本题考查圆的切线，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，扇形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键． 22．（9分）（2024•自贡模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论； （2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，进而依据cos∠DAB＝cos∠COE解答即可； （3）证明△AHF∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD//OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∴； （3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x， ∴， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB， ∴∠E＝∠AFH， ∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴． 【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 23．（10分）（2024•烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长． 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， 又∵∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABEC是⊙O内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°； （2）DI＝AD＝BD， 连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，， ∴， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD， ∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DI＝AD＝BD； （3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， ∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP， ∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°， ∴CF＝CI•cos45°＝2＝CP， ∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°， ∴， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC ＝AB+AF+CF+CP+BP ＝AB+AQ+BQ+2CF ＝2AB+2CF ＝2×13+2×2＝30． 【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24．（12分）（2024•邯郸二模）如图1，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8，点D在射线OC上（不与O点重合），以O为圆心，OD为半径向上作半圆O，半圆O交CO延长线于E点． （1）若OD＝2，M是半圆O上一点，则B、M两点之间距离的最小值为 　 ． （2）如图2，连接OB交半圆O于P点，在接AD交半圆O于F点，若P点恰好是的中点，求的长；【注：，】 （3）连接AC，若半圆O与△ABC的边有两个交点，求tan∠BAD的取值范围． 【分析】（1）连接OB，交圆O于点M，此时B、M两点之间距离最小，结合勾股定理即可作答； （2）AD交OB于点N，P点恰好是的中点，，OB⊥AD，证明△AOB∽△ODA，可得，根据，可得∠BOC＝37°，结合弧长公式即可作答； （3）两个临界点：第一个，设AC与半圆O相切于点G，连接OG，此时半圆O与△ABC的边有一个交点，随着半径的增大，半圆O与△ABC的边有两个个交点，利用面积，在Rt△AOD中，可得；第二个：随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时，此时半圆O与△ABC的边又只有一个交点，结合OD＝OB＝10，在Rt△AOD中，，问题随之得解． 【解答】解：（1）连接OB，交圆O于点M，如图，此时B、M两点之间距离最小， ∵在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8， ∴OA＝BC＝6，AB＝OC＝8，AB∥OC， ∴， ∵OD＝2， ∴OM＝OD＝2， ∴BM＝OB﹣OM＝8， 故答案为：8； （2）AD交OB于点N，如图， ∵P点恰好是的中点， ∴，OB⊥AD， ∴∠OAN+∠AON＝90°， ∵∠ABO+∠AON＝90°， ∴∠ABO＝∠OAN， ∴结合∠AOD＝∠BAO＝90°，有△AOB∽△ODA， ∴， ∴， ∵，， ∴∠BOC＝37°， ∴， ∴； （3）设AC与半圆O相切于点G，连接OG，如图， 此时，半圆O与△ABC的边有一个交点， 随着半径的增大，半圆O与△ABC的边有两个个交点， ∵AC与半圆O相切于点G， ∴AC⊥OG， ∵， 又∵， ∴， ∴OD＝OG＝4.8， ∴在Rt△AOD中，， ∵AB∥OC， ∴∠ADO＝∠BAD， ∴； 随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时，如图， 此时，半圆O与△ABC的边又只有一个交点， 此时有：OD＝OB＝10， ∴在Rt△AOD中，， ∵AB∥OC， ∴∠ADO＝∠BAD， ∴， ∴半圆O与△ABC的边有两个交点时， tan∠BAD的取值范围为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，弧长公式，圆的基本性质，三角函数，勾股定理以及垂径定理的推论等知识，问题的难点在第（3）问，确定临界点，是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章：《直线与圆的位置关系》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级______________ 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•南京期中）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024秋•香洲区校级期中）已知圆的直径是6cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 3．（2024•甘南州）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　） A．18° B．36° C．48° D．72° 4．（2023秋•城关区校级期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．10 5．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•衡水月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A．OC∥AE B．∠OAC＝∠CAE C．∠OCA＝∠CAE D．OA＝AC 7．（2024秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切时，AM的长度是（　　） A．3 B．4 C．2 D．6 8．（2024•临邑县一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　） A．9 B．10 C．8 D．12 9．（2023秋•安新县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 10．（2024秋•惠山区校级期中）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则．正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024秋•徐州期中）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于　 　． 12．（2024秋•阜宁县期中）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC的度数为 　 　． 13．（2024秋•建湖县期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，△ABC的周长为24，则BC的长为 　 　． 14．（2024秋•台州期中）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，PA＝5cm，PB＝4cm，则BC＝ 　 　cm． 15．（2023秋•西宁期末）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　 　． 16．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点E （4，0），以AO为直径作⊙D，点G是⊙D上一动点，以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF，连接DF，则DF的最大值是　 　． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2023秋•任城区校级月考）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 18．（8分）（2024秋•建邺区期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 19．（8分）（2023秋•荔城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°． （1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长． 20．（8分）（2023•丰顺县校级开学）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E． （1）若PA＝4，求△PED的周长； （2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数． 21．（9分）（2024•旌阳区模拟）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D． （1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）连接BE和OC交于点F，若AB＝4，∠BAC＝30°， ①求证：四边形DEFC是矩形； ②求图中阴影部分的面积． 22．（9分）（2024•自贡模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 23．（10分）（2024•烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长． 24．（12分）（2024•邯郸二模）如图1，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8，点D在射线OC上（不与O点重合），以O为圆心，OD为半径向上作半圆O，半圆O交CO延长线于E点． （1）若OD＝2，M是半圆O上一点，则B、M两点之间距离的最小值为 　 　． （2）如图2，连接OB交半圆O于P点，在接AD交半圆O于F点，若P点恰好是的中点，求的长；【注：，】 （3）连接AC，若半圆O与△ABC的边有两个交点，求tan∠BAD的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$