第2章 直线与圆的位置关系 单元模拟全优测评卷 2025-2026学年浙教版九年级下册数学

第2章 直线与圆的位置关系 单元模拟全优测评卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 2．如图，为的直径，延长至点M，使得，过点M作的切线，C为切点，连接，若的半径为2，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 3．如图，已知点A的坐标为（3，4），⊙A的半径为3，延长OA交⊙A于点B，过点B作⊙A的切线，交y轴于点C，则OC长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：；；；，其中一定正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5． 如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，以顶点 C 为圆心，BC 的长为半径画. 交CD 于点 H，过 AB 的中点 P 作扇形 BCH的切线 PE，E为切点，连结 AE 并延长交CD 于点F，则 tan∠DAF 的值为(　　) A． B． C． D． 6．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（　　） A．35° B．45° C．65° D．70° 7．如图为 和一圆的重叠情形，此圆与直线 相切于 点，且与 交于另一点 ．若 ， ，则 的度数为何（　　） A． B． C． D． 8．如图， 分别与 相切于 点，C为 上一点， ，则 （　　） A． B． C． D． 9．下列说法正确的个数是（　　） ①平分弦的直径，必垂直于这条弦；②圆的切线垂直于圆的半径；③三点确定一个圆；④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为 ，已知AB=20.线段PQ在AB上（AP<AQ），PQ=6，以PQ的中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D=90°，CD=3，sin∠DCE=sin∠DCQ= ，设AP=m，当边DE与⊙O有交点时，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA′，若BA′与⊙O相切，则旋转的角度α（0°＜α＜180°）等于　 　． 12．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC.若∠CPA=20°，则∠A的度数为　 　°. 13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B． （1）若OA=3，∠APB=60°，则OP=　 　 （2）若OP=10，OA=5，则∠APB=　 　 （3）若∠APB=80°，则的度数是　 　 14．如图，在菱形ABCD中，E，F是AD，BC上的点，BC，连结DF，与过B，E，F三点的相切于点.已知，则　 　. 15．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若PA=10，则△PCD的周长=　 　 16．如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为　 　. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB． 18．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 19．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20．如图，AB是的切线，为切点，直线AO交于C，D两点，连结BC，BD.过圆心作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G （1）求证：∠D=∠E. （2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积. 21．如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22． （1）如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接， ▲ ．求证： ▲ ． 从①与相切；②；中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，求的长． 23．已知：如图，在中，与AB相切于点C.求证：.小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 24．如图，是的直径，，分别与相切于点，，连接，点在的延长线上，延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25．图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集，即透明条的运动路径为：，假设在同一直线上，，于点D，，P为中点． （1）点B到的距离为　 　． （2）若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为　 　． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12， 即△PCD的周长为12， 故答案为：C. 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案. 2．如图，为的直径，延长至点M，使得，过点M作的切线，C为切点，连接，若的半径为2，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵过点作的切线，为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为2， ∴，， ∴， 故答案为：D． 【分析】连接，根据切线的性质以及直径所对的圆周角是直角得到，求出，由直角三角形斜边上的中线性质得，，最后利用勾股定理即可求出的长． 3．如图，已知点A的坐标为（3，4），⊙A的半径为3，延长OA交⊙A于点B，过点B作⊙A的切线，交y轴于点C，则OC长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D， ∵A的坐标为（3，4），且BC与⊙O相切， ∴AD=3、OD=4，∠ODA=∠OBC=90°， ∴ =5， ∵∠AOD=∠COB， ∴△AOD∽△COB， ∴ = ，即 = ， 解得：OC=10， 故答案为：C． 【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，根据点到坐标轴的距离及切线的性质知AD=3、OD=4，∠ODA=∠OBC=90°由勾股定理得OA的长度，进一步得出△AOD∽△COB，由相似三角形对应边成比例得出结论。 4．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：；；；，其中一定正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】【解答】解：连接AD， ∵D为BC的中点，O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC，故①正确； ∵AB为的直径，∴∠ADB=90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC，∴∠B=∠C，AC=AB=2OA，故②③正确； ∵OD∥AC，DE⊥AC， ∴∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°， ∵OD=OB，∴∠B=∠ODB， ∵∠ODB+∠ODA=90°，∴∠EDA=∠ODB， 即得∠EDA=∠B，故④正确； 故答案为：D. 【分析】连接AD，易得OD为△ABC的中位线，可得OD∥AC，故①正确；由圆周角定理可得∠ADB=90°，即得AD垂直平分BC，可得AB=AC，即得AC=AB=2OA，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，故②③正确；利用平行线的性质可得∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ODB，根据余角的性质可得∠EDA=∠ODB，即得∠EDA=∠B，故④正确. 5． 如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，以顶点 C 为圆心，BC 的长为半径画. 交CD 于点 H，过 AB 的中点 P 作扇形 BCH的切线 PE，E为切点，连结 AE 并延长交CD 于点F，则 tan∠DAF 的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连结 PC，BE，CE，PC 与BE 交于点 G. ∵ 四边形 ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=90°，即AB⊥BC. ∵ BC 是扇形 BCH 的半径， ∴ PB 是扇形 BCH 的切线. ∵ PE 是扇形BCH 的切线， ∴ PB=PE. ∵ BC=CE， ∴ PC 垂直平分BE. ∴∠BGC = 90°. ∴ ∠BCG +∠CBG=90°， ∴∠ABC=90°， ∴∠PBG+∠CBG=90°. ∴∠ABE=∠BCP. ∵ P 是AB的中点， ∴ AP=PB=4. ∴ AP=BP=PE. ∴∠PAE=∠AEP，∠PBE=∠PEB. ∴ ∠BAE+∠ABE =90°. ∵∠BAE+∠DAF=90°， ∴ ∠DAF=∠ABE=∠BCP. ∴ tan ∠DAF = 故答案为：D. 【分析】先利用切线长定理得到线段相等关系，再通过角度转换将∠DAF转化为与∠BCP相等的角，最后在直角三角形中计算正切值. 6．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（　　） A．35° B．45° C．65° D．70° 【答案】D 【解析】【解答】解：∵PA，PB分别是圆的切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，∠BAC=35°， ∴ ∠ABO=∠BAC=35°， ∴∠AOB=180°-35°-35°=110°， 在四边形APBO中，∠OAP=∠OBP=90°， ∠AOB=110°， 则∠ P=360°-（∠OAP+∠OBP+∠AOB）=70°， 故答案为：D. 【分析】利用圆的切线的性质得OA⊥AP，OB⊥BP，可得∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠ABO和∠AOB的度数，然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠P的度数. 7．如图为 和一圆的重叠情形，此圆与直线 相切于 点，且与 交于另一点 ．若 ， ，则 的度数为何（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】∵∠A=70°，∠B=60°， ∴∠C=50°． ∵此圆与直线BC相切于C点， ∴弧CD的度数=2∠C=100°． 故答案为：C． 【分析】利用三角形的内角和定理，求出∠C的度数，再根据切线的性质，可得出弧CD的度数等于弦切角∠C度数的2倍。 8．如图， 分别与 相切于 点，C为 上一点， ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：连接OA，OB， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点， ∴∠OAP=90°，∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-66°=114°， 由圆周角定理得，∠C= ∠AOB=57°， 故答案为：A． 【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理得到∠OAP=90°，∠OBP=90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，最后根据圆周角定理解答． 9．下列说法正确的个数是（　　） ①平分弦的直径，必垂直于这条弦；②圆的切线垂直于圆的半径；③三点确定一个圆；④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦； ②圆的切线垂直于过切点的半径； ③平面内不共线三点确定一个圆； ④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等或互补. 故没有正确的. 故答案为：A 【分析】 根据垂径定理的推论、切线的性质、三点共圆的条件及弧、弦、圆周角的关系只有判断即可. 10．李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为 ，已知AB=20.线段PQ在AB上（AP<AQ），PQ=6，以PQ的中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D=90°，CD=3，sin∠DCE=sin∠DCQ= ，设AP=m，当边DE与⊙O有交点时，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】 解：如图，当DE于圆0于左侧相切时，过点O作OM⊥AB于R，OH⊥DE于H，过H作HG⊥AB于G，过点O作OM⊥HG于M，延长ED交AB于N， cos∠DCE=， sin∠DCE=sin∠DCQ= ， ∴∠DCE=∠DCQ，即∠DCE=∠DCN， 在Rt△DCN和Rt△DCE中，DC公用，∠DCE=∠DCN， ∴Rt△DCN≌Rt△DCE(ASA)， ∴CN=CE=5， 在Rt△OMH中，MH=OHcos∠OHM=OHcos∠HNG=4， OM=OH∠OHM=5×=3， ∴CG=GN-CN=， 则AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG=10-3+=. ∴AP=AC-PC= 如图，当DE在圆O右侧，E在圆上时，过点E作EG⊥AB于G，过点O作OH⊥AB于H，过点E作EM⊥OH于M，延长ED交AB于N， 在Rt△CDE中，易求DE=4，CE=5， ∴EN=2DE=8，CN=CE=5， 在Rt△EGN中，易求GN=，EG=， ∴CG=GN-CN=，MH=EG=， ∴OM=OH-MH=3，从而HG=ME=4， ∴AP=AC-PC=AH+HG+GC-PC=10+4+-3=， 综上所述，m的取值范围为. 故答案为：A. 【分析】如图1所示，当DE在圆O左侧有交点时，DE与圆O相切，延长ED至AB上于点N，记切点为点H，过点O作OH⊥AB，根据已知条件得到△ECF为等腰三角形，求得CE=CN=5，再由三角函数求得OM和MH，进而推得CG，则AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG，求得AC，从而由AP=AC-PC求得AP；如图2所示，当DE在圆O右侧有交点时，点E在圆O上，延长ED交AB的延长线于点N，过点O作OH⊥AB，过点E作EG⊥AB，EM⊥OH，由三角函数的定义得到DE=DN=4，CE=CN=5，在Rt△EGN中，由三角函数求得GN、EG，进而求得CG和MH，由三角函数求得ME，则HG长度可求，进一步求得HG，由AP=AC-PC=AH+HG+GC-PC求得AP，即可得到结论． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA′，若BA′与⊙O相切，则旋转的角度α（0°＜α＜180°）等于　 　． 【答案】60°或120° 【解析】【解答】解：如图； ①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90°； Rt△OPB中，OB=2OP， ∴∠A′BO=30°； ∴∠ABA′=60°； ②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时； 同①，可求得∠A′BO=30°； 此时∠ABA′=90°+30°=120°； 故旋转角α的度数为60°或120°． 【分析】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论． 12．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC.若∠CPA=20°，则∠A的度数为　 　°. 【答案】35 【解析】【解答】解：连接OC， ∵PC切半圆O于点C， ∴PC⊥OC，即∠PCO=90°， ∵∠CPA=20°， ∴∠POC=70°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=35°. 故答案为35. 【分析】根据切线的性质得出∠PCO=90°，再利用三角形内角和定理得出∠POC=70°，再利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出答案. 13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B． （1）若OA=3，∠APB=60°，则OP=　 　 （2）若OP=10，OA=5，则∠APB=　 　 （3）若∠APB=80°，则的度数是　 　 【答案】（1）6 （2）60° （3）100° 【解析】【解答】解：（1）∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=60°， ∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=30°， ∵OA=3， ∴OP=2OA=2×3=6， 故答案为：6； （2）∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB， ∵OP=10，OA=5， ∴在Rt△APO中，sin∠APO=， ∴∠APO=30°， ∴∠APB=2∠APO=60°， 故答案为：60°； （3）∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠APB=80°， ∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=100°， 故答案为：100°. 【分析】（1）利用切线长性质可得∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OP=2OA=2×3=6； （2）利用切线长性质可得∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB，再求出sin∠APO=，可得∠APO=30°，最后求出∠APB=2∠APO=60°即可； （3）利用切线长性质可得∠PAO=∠PBO=90°，再结合∠APB=80°，利用四边形的内角和求出∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=100°即可. 14．如图，在菱形ABCD中，E，F是AD，BC上的点，BC，连结DF，与过B，E，F三点的相切于点.已知，则　 　. 【答案】15° 【解析】【解答】解：如图，连接BE，OF， ∵∠BFE=90°， ∴BE是直径； ∵AE=FC，四边形ABCD是菱形， ∴ED=BF，ED∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵OF⊥FD， ∴OF⊥BE， ∵OB=OF， ∴∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°， ∵∠A=120°， ∴∠ADC=∠ABC=60°， ∴∠ADF=∠ADC-∠EDF=60°-45°=15°， 故答案为：15°. 【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可判断出BE经过圆心，再证明四边形DEBF是平行四边形，从而根据平行四边形的性质可推出OF⊥BE，算出∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°，从而得到答案. 15．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若PA=10，则△PCD的周长=　 　 【答案】20 【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PB=PA=10，CA=CE，DB=DE， ∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20． 故答案为：20． 【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB． 16．如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ， ∴ ， ∵ ， ∴sin∠AOD= ， ∴ ， ， ， ∴ ， 连接 ， ， ∵点 为 的内心， ∴ ， ， ∴ ， ∵点 为优弧 上动点， ∴ 始终等于 ， ∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动， 设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ， 连接 ， ，则 ， ∵ ， ∴ ， 连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 点 移动的路径长 . 故答案为： . 【分析】连接OB，OA，过O 作OD⊥AB ，根据垂径定理可得AD的长，根据余弦的定义、特殊角三角函数值及圆周角定理求出∠P的度数，连接IA、IB ， 根据三角形的内心的性质得 ， ，由三角形内角和定理求出，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O' ，连接O'A，O'B ，则∠AO'B=120° ，根据等腰三角形的性质得∠O'AB=∠O'BA=30°，连接O'D，可得O'D⊥AB，利用解直角三角形求出AO'的长，利用弧长公式计算即可. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB． 【答案】解：如图，连接OC交AB于点D∵CA、CB分别是⊙O的切线∴CA=CB，OC平分∠ACB∴OC⊥AB∵AB=6∴BD=3在Rt△OBD中∵OB=∴sin∠BOD=∴∠BOD=60°∵B是切点∴OB⊥BC∴∠OCB=30°∴∠ACB=60°． 【解析】【解答】我们可通过构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC交AB于点D，那么我们不难得出BD是AB的一半，CD平分∠ACB，那么只要求出∠COB的度数就能求出∠ACB的度数，已知了OB的长，BD（AB的一半）的长，这样在直角三角形ODB中根据三角函数我们不难得出∠DOB的值，也就能求出∠ACB的度数了． 【分析】此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有切线性质，解直角三角形，根据三角函数求角的度数. 18．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为5． 【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，则，由直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，由切线判定定理即可求出答案. （2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，由正切定义可得，根据勾股定理可得BP，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案. 19．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵AB为圆O直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 即. （2）解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 【解析】【分析】（1）先利用直径所对的圆周角的性质可得，再结合OE//BC，可得，从而可证出； （2）连接，先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BC的长即可. 20．如图，AB是的切线，为切点，直线AO交于C，D两点，连结BC，BD.过圆心作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G （1）求证：∠D=∠E. （2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积. 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°， ∵OE∥BC， ∴∠DGO＝∠DBC＝90°， ∴BD⊥OF， ∴， ∴F是的中点； （2）证明：连接OB， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠OBE＝90°， ∴∠E+∠BOE＝90°， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∴∠D+∠DCB＝90°， ∵OE∥BC， ∴∠BOE＝∠OBC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠BOE＝∠OCB， ∴∠D＝∠E； （3）解：∵F为OE的中点，OB＝OF， ∴OF＝EF＝6， ∴OE＝12， ∴BOOE， ∵∠OBE＝90°， ∴∠E＝30°， ∴∠BOG＝60°， ∵OE∥BC，∠DBC＝90°， ∴∠OGB＝90°， ∴OG＝3，BG＝3， ∴S△BOGOG•BG3，S扇形BOF6π， ∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝6π． 【解析】【分析】（1）首先根据圆的切线的性质和平行线的性质得出BD⊥OF，利用垂径定理得出，即可解答； （2）连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE＝90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB＝90°，由此可得出∠BOE＝∠OCB，即可解答； （3）先求出∠BOG的度数，由S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG，然后利用三角形面积公式及扇形的面积公式代入即可解答． 21．如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图1，过点作于点， ， 是的切线，是的直径， ， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ， 又∵为半径，， ∴是的切线. （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）知是的切线， ∵和分别是的切线， ， ， ， ， ， ， 都是的切线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得，， ， ， 平分， ， ， ， ∴是等边三角形， ． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）过点作于点，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得OF=OB，再结合为半径，，即可证出是的切线； （2）过点作于点，先证出 四边形是矩形， 可得， 利用线段的和差求出CG的长，再利用勾股定理求出DG的长，再证出是等边三角形， 最后利用等边三角形的性质可得. 22． （1）如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接， ▲ ．求证： ▲ ． 从①与相切；②；中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，求的长． 【答案】（1）解：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下： 如图，连接， ， ， 弦平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接， ，， ，， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 【解析】【分析】(1)连接，根据等边对等角和角平分线的定义求出，进而得到，再根据平行线的性质可得，最后根据圆的切线的判定证出即可； (2)连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定得到是等边三角形，进而得到的长，求出EF即可. 23．已知：如图，在中，与AB相切于点C.求证：.小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】解：证法错误； 证明：连结OC， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BC． 【解析】【分析】连结OC，根据切线的性质得到OC⊥AB，进而根据等腰三角形的性质（三线合一）判断即可求解。 24．如图，是的直径，，分别与相切于点，，连接，点在的延长线上，延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，， ，均为的切线， ，， 在和中， ， ≌， ， 为等腰三角形， ， 为直径， ， ， ； （2）解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】 （1）连接BD，OD，先证明△ODC和△OBC全等得∠OCD和∠OCB相等，再结合已知条件推导出AF∥CO； （2）先求出CE，AE，OE，再结合平行线分线段成比例求出EF，AF。 25．图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集，即透明条的运动路径为：，假设在同一直线上，，于点D，，P为中点． （1）点B到的距离为　 　． （2）若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为　 　． 【答案】； 【解析】【解答】解：（1）过点B作交的延长线于H，如图（2）所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ∴点B到的距离为， 故答案为：； （2）过点A作于F，如图（2）所示， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵点P是的中点， ， 由题意得，切于N，连接， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ， 记线段与的交点为E，则点E到点B的距离最小， ， ， ∴当点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为： 故答案为：． 【分析】（1）过点B作交的延长线于H，先求出，可得BH=3CH，再利用勾股定理可得，最后求出BH的长，即可得到点B到的距离为； （2）过点A作于F，先求出，，，再求出，即可得到答案. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $