精品解析：天津市滨海新区塘沽紫云中学2024-2025学年高三上学期第二次学情检测数学试题

2024-2025学年度第一学期高三年级第二次学情检测数学学科试题 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】中，若，则，但时，，充分性不成立， 若，若，满足，但，必要性也不成立． 应是既不充分也不必要条件． 故选：C． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础． 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再通过特殊值，利用排除法，得到正确答案. 【详解】因为， 所以， 即为奇函数，排除A、B； 又当时，时， 当时，时，排除D. 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数的运算性质，求得，由，结合对数函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】根据对数的运算性质，可得， 由， 又由，可得， 所以. 故选：A 5. 下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（ ） ①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 ②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱； A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程的基本特征，相关系数与线性关系的强弱，残差及决定系数与模型拟合效果的关系，对每一个命题逐项判断即可. 【详解】解：由题意得： 样本中心点在回归直线上，故①正确； 越大拟合效果越好，故②不正确； 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故③正确； 用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越强，故④不正确． 故选：D 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得和，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于，利用诱导公式可求得结果. 【详解】是等比数列 是等差数列 本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题. 7. 正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得， ∴． 正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为， 则由得，解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 8. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】依题意可得，，， 再根据五点法作图可得，解得，． 因为，所以的图象关于点对称，故①正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故②正确； 将的图象向左平移个单位长度得到， 故③错误； 因为，当时且，， 因为函数在上有且只有两个极值点， 所以，解得，即的最大值为，故④正确； 故选：C 9. 已知函数，给出下列命题： ①，都有成立； ②存在常数恒有成立； ③的最大值为； ④在上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】①，为奇函数，正确； ②，为周期函数，正确； ③，令，则，令，得，且为最大值，错误； ④当时，，所以在上为增函数，正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i是虚教单位，若复数是纯虚数，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，根据复数是纯虚数求出的值，即可得到复数的模. 【详解】由题意得，. ∵是纯虚数，∴，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 11. 的展开式中的含x的项是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】， 令，得：， 所以含x的项是， 故答案为： 12. 某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件的乘法公式计算即可． 【详解】该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，即前两个是绿灯，第三个是红灯，所以概率为 故答案为： 13. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 顶点到底面四边形的距离为， 由四棱锥的体积公式可得：. 【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 已知正数x，y满足，则的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为正数满足，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 15. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 16. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当时，方程即， 整理可得：， 很明显不是方程的实数解，则， 当时，方程即， 整理可得：， 很明显不是方程的实数解，则， 令， 其中， 原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象， 同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件， 结合观察可得，实数的取值范围是. 点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 设函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间，对称轴； （2）当时，函数的最大值为，求函数的最小值及对应的x的值． 【答案】（1） 所以的递增区间为，对称轴为. （2）最小值为2； 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换求得函数解析式，再根据周期公式及单调递增区间，对称轴公式求解即可. （2）利用换元法结合正弦函数的单调性求出的最大值，结合题意可求出的值，继而即可求解. 【小问1详解】 所以最小正周期为， ， 解得， 所以的递增区间为， ，解得， 所以的对称轴为. 【小问2详解】 由（1）知， ，所以， 令， 则在上单调递增，在单调递减， 所以，， 所以，所以， 所以当，即时，. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 19. 平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小. 【答案】（1）证明:中，， 由余弦定理得，， ，， 平面平面，平面平面＝，平面， 平面，. （2）； （3）﹒ 【解析】 【分析】(1)证明AC⊥AB，从而得AC⊥平面ABEF即可； (2)以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，则点到平面的距离为在方向投影的绝对值； (3)根据E、H、F三点共线，表示出H点坐标，根据可求出H坐标，求出平面法向量，利用向量即可求出直线与平面成角的大小﹒ 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 则，， 设平面的法向量为， 则，即，取， ∴点到平面的距离； 【小问3详解】 ，，，， 设点坐标，， ∵E、H、F三点共线，∴， ，∴， ∴， 解得， ， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设直线与平面成的角为， ， ∴直线与平面成的角为. 20. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明数列{}为等差数列； （3）设数列{cn}的通项公式为：cn=，其前n项和为Tn，求T2n. 【答案】（1） （2）数列{an}满足a2=4b1，解得b1=1， 由于nbn+1-（n+1）bn=n2+n， 所以（常数）. 所以数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）由等比数列的基本量法求解； （2）求得，再证为常数即可； （3）先并项，设，然后有，用错位相减法计算． 【小问1详解】 由于等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2=2a2-2，S3=a4-2， 所以S3-S2=a4-2a2=a3， 整理得， 由于a2≠0， 所以q2-q-2=0，由于q>0， 解得q=2. 由于a1+a2=2a2-2，解得a1=2， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列. 所以，解得 由于数列{cn}的通项公式为：cn=， 所以令==（4n-1）4n-1. 所以①， 4②， ①-②得：-（4n-1）4n， 整理得， 故：. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查用定义法证明等差数列，考查并项求和与错位相减法求和．数列中数列求和是一个难点，如果数列的项中出现正负相间，可能考虑并项求和法或分组求和法．在数列的项是一个等差数列与一个等比数列的项相乘所得时，用错位相减法求和，如果项是等差数列相邻两项积的倒数，则用裂项相消法求和． 21. 设函数． （1）若，求的单调区间和最小值； （2）在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数； （3）若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是，最小值 （2）仅有一个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案. （2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论. （3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 由解得． 与在区间上的情况如下：    –               ↘     ↗ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是； 在处取得极小值，无极大值， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由（1）知，在区间上的最小值为． 因为存在零点，所以，即，从而． 当时，在区间上单调递减，且， 所以是在区间上的唯一零点． 当时，在区间上单调递减，且， ，所以在区间上仅有一个零点． 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 【小问3详解】 设，． ①若，则，符合题意． ②若，则，故当时，，在上单调递增． 所以，存在，使得的充要条件为 ，解得． ③若，则，故当时，； 当时，． 在上单调递减，在上单调递增． 所以，存在，使得的充要条件为， 而，所以不合题意． 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用导数确定函数的单调性、单调区间，进而确定函数的最值从而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高三年级第二次学情检测数学学科试题 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（ ） ①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 ②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱； A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①③ 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 A. 1 B. C. D. 7. 正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数，给出下列命题： ①，都有成立； ②存在常数恒有成立； ③的最大值为； ④在上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i是虚教单位，若复数是纯虚数，则____________． 11. 的展开式中的含x的项是____________． 12. 某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为__________． 13. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________. 14. 已知正数x，y满足，则的最小值为____________． 15. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 16. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 设函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间，对称轴； （2）当时，函数的最大值为，求函数的最小值及对应的x的值． 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 19. 平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小. 20. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明数列{}为等差数列； （3）设数列{cn}的通项公式为：cn=，其前n项和为Tn，求T2n. 21. 设函数． （1）若，求的单调区间和最小值； （2）在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数； （3）若存在，使得，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $