精品解析：山东省日照市五莲县北京路中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学上学期期中阶段性测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 一元二次方程，配方为，则的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C D. 5. 正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先沿水平方向向左平移1个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（　　） A B. C. D. 7. 如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 9. 设，，是抛物线上三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤；⑥．下列结论一定成立的是（ ） A. ①②④⑥ B. ①②③⑥ C. ②③④⑤⑥ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果． 13. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 14. 在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 _________________． 15. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 16. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，连结，则的周长为___________． 17. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 18. 如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 三、解答题：本题共6小题，共66分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤． 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 20. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数根，使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 23. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 24. 如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图2，若点N是第四象限内抛物线上一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标． （3）若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期期中阶段性测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意； B，是轴对称图形，是中心对称图形，故B符合题意； C，是轴对称图形，不是中心对称图形．故C不符合题意； D，不是轴对称图形，不是中心对称图形．故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）和中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形），熟练掌握这些知识点是解题关键． 2. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数． 根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 3. 一元二次方程，配方为，则的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故选：C． 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 5. 正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答． 【详解】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形， ∴顶点处的周角被分成四个相等的角，， ∴这个正方形绕着它的中心旋转的整数倍后，就能与它自身重合， 因此这个角度至少是． 故选C． 6. 将抛物线先沿水平方向向左平移1个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，抛物线的平移法则“将抛物线向左（或右）平移个单位长度，再向上（或向下）平移个单位长度所得新抛物线的解析式为：，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减）”是解答本题的关键． 先将抛物线的解析式配方，再根据“抛物线的平移法则”进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的解析式为：， 故选：D． 7. 如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本定义，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．先利用为，得出，再利用直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为， ∴， ∴， ∵是弦的弦心距， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出，，的值，再比较即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中． 连接，并延长交于点F，连接，根据弦切角的性质，得，再由已知条件可得，从而求出． 【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示： ∴， ∴， 是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 11. 如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作轴于 E，轴于 H，连接 ，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，由切线长定理可知．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键． 【详解】解：如图，作 轴于 E， 轴于 H，连接， ∵，， ∴，， 轴， ∴为的切线， ∵直线与切于点C， ∴，， 在 和 中 ， ∴， ∴，， 设 ，则，， 在 中，，即， 解得， ∴，， ∵ ∴， ∴=， 在 中，， ∴C点坐标为，． 故选：C． 12. 如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤；⑥．下列结论一定成立的是（ ） A. ①②④⑥ B. ①②③⑥ C. ②③④⑤⑥ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：①由图象可得，， ，故①正确， ②与轴的交点是， ∴方程的根是，故②正确， ③当时，，故③正确， ④∵该抛物线的对称轴是直线 ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， ⑤则,那么，故⑤错误， ⑥∵抛物线与x轴两个交点， ∴，故⑥正确， 正确的为. ①②③⑥ 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果． 13. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； ②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故答案为：②④⑤． 14. 在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 _________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴ ∴弦所对优弧的度数为，所对劣弧的度数为， 故答案为：或 15. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于 的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围． 【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集， 实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于的值时x的取值范围， 由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，连结，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，，则可判断为等边三角形，所以，证明，求出，，然后判断为等边三角形，从而得到的长，于是得到结论．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理． 【详解】解：∵绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上， ∴，， ，， 为等边三角形， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∵ 等边三角形， ， 的周长为， 故答案为：． 17. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接、． ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 18. 如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 三、解答题：本题共6小题，共66分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤． 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 因式分解得：， ∴或， 解得：． 20. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数根，使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再由，可得关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 解得： 即：的取值范围为：； 【小问2详解】 解：存在， 由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 21. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”即可得w与x之间的函数关系式；（3）将所得函数解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可解答． 【详解】（1）∵与满足一次函数关系. ∴设与的函数表达式为 . 将，代入中，得 解得 ∴与之间的函数表达式为. （2）由题意，得. ∴与之间的函数表达式为. （3）. ∵，∴抛物线开口向下. 由题可知：， ∴当时，有最大值，元. 答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 22. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 23. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键． （1）先证，再根据证明即可； （2）①连接，同（1）可证，推出，，进而可证，再用勾股定理解即可； ②分“点N在线段上”和“点M在线段上”两种情况，画出图形，结合前面的结论，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：和都是等腰直角三角形 ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， ； ②分两种情况，当点N在线段上时，连接，过点O作于点H， 同（1）可得， 和都是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ； 当点M在线段上时，连接，过点O作于点H， 同①可证， ， 和都是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ． 综上可知，的长为或． 24. 如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标． （3）若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。 【答案】（1）， （2）面积的最大值为， （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论； （1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可； （2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）设点坐标为，，，分为①当时，②当时，③当时，分别求解即可； 【小问1详解】 解：把点和点，点 代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 故； 【小问2详解】 由（1）知抛物线的顶点为， 设直线的解析式为令，将代入， 得，解得， ∴直线解析式为：， 设点，则 ∴ ∴面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时； 【小问3详解】 设点坐标为， ∵， ∴，， ①当时，即， ∴， 解得(不合题意，舍去)， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得(不合题意，舍去)， ∴点的坐标为或； ③当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$