山东省青岛市2024-2025学年高三部分学生11月调研监测数学试卷

青岛市2024年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2024.11 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，都是实数，那么“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 4.已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5.函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3后加1.不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.若n经过5次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的和为（ ） A.16 B.32 C.37 D.5 7.若正数满足，则（ ） A.128 B.108 C.2 D.1 8.定义在上的函数对，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知三条直线，，和三个平面，，，则（ ） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 10.已知函数，则（ ） A.的定义域（） B.是图象的一条对称轴 C.在区间上单调递增 D.的最大值为 11.已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已知等差数列（）中，，成等比数列，，则__________. 13.已知曲线在处的切线与曲线相切，则__________. 14.已知集合（，），若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分） 设的内角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，内切圆半径，求a. 16.（15分） 已知数列满足：，，. （1）求数列的通项公式； （2）记表示不超过x的最大整数，，求 17.（15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，平面平面，平面与平面夹角为45°. （1）点均在同一球面上，求该球的体积； （2）点分别在棱上，当为等边三角形时，求直线与平面所成角的正弦值 18.（17分） 已知函数（且），当时，. （1）求； （2）若为的极小值，求的取值范围； （3）证明：. 19.（17分） 如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加､乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加､乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：角都是可解角. （1）判断，，是否为可解数（无需说明理由）； （2）证明：角是可解角； （3）已知每个可解数都是某些整系数多项式函数（）的零点，这些多项式中，的最高次数最小，且系数，，，…，的最大公约数为1的多项式函数称为的最小多项式函数.任一可解数的最小多项式函数中x的最高次数必为（）.例如：的最小多项式函数不是，而是.证明：角不是可解角，并求整数度数的锐角中最小的可解角. 青岛市2024年高三年级部分学生调研检测 数学参考答案及评分标准 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1-8CBDA ACBB 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.AD 10.ABD 11.BC 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.25或13 13. 14. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15.（13分） 解：（1）由正弦定理得 因为，所以 所以 即，且，所以 （2） 又因为 所以，即，所以① 由余弦定理得② 解得 16.（15分） 解：（1）由题知： 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以，所以 （2）因为， 两式作差得 所以 易求得，， 因为，所以是递减数列， 当时，， 所以 综上， 17.（15分） 解：（1）因为底面ABCD为矩形，所以 又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面PCD，所以，同理： 又因为，所以平面ABCD 由题知，由平面ABCD为矩形知：， 所以，所以，ABCD为正方形， 记PB中点为0，可求得：， 所以O为该球的球心，其半径 因此，该球的体积 （2）若平面EFG与平面PAC不平行， 依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置， 则，，不合题意 若平面平面，则， 所以，所以为等边三角形， 又因为平面平面PAC，两平面的法向量共线， 所以直线与平面所成角等于与平面所成角 下面提供向量法和几何法两种参考解法： （法1）以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，得 显然，设与平面所成角为， 则 （法2）连结AC，BD交于点O＇，在直角中，过D做， 因为，，，PD，平面PBD， 所以平面PBD， 所以，又因为，， 所以平面， 所以为与平面所成角 在直角中，，解得， 设与平面所成角为，则 18.（17分） 解：（1） 由知，的最小值为 所以 解得，即 （2）显然为偶函数，只需研究的情况， 若，则，令， 则， 所以在上单调递增 所以，在上单调递增， 依对称性，在上单调递减， 故为极小值 若，，令，， 令，即， 解得（舍）， 所以 因为， 当时，，在上单调递减， 所以在上均小于0 所以在上单调递减，而，故不合题意， 综上，k的取值范围为 （3）结合（2）：令，则， 解得 令，即，得， 则， 解得， 所以 19.（17分） 解：（1）是可解数，是可解数，不是可解数 （2）设，则 又 因为，所以， 解方程， 得是可解数， 又显然是可解数，所以角是可解角 （3）先证明角不是可解角. 因为 所以， 即是的零点 根据已知结论，若是可解数，那么它的最小多项式函数最高次项次数只能是1或2， 即有整系数一次或二次因式， （法1）假设，整数a，b，c的最大公约数为1，整数p，q互质，不妨令，，（，完全同理） 则 若，，当时，，则且，无解； 若，，当时，，则且，无解； 若，，当时，，则且，无解； 若，，当时，，则且，无解； 同理，若，，也均无解 说明不可能是可解数，角不是可解角 （法2）有整系数一次或二次因式， 说明存在有理零点 设它的有理零点为，m，n是互质的整数. 于是，， 所以，得到m整除， ，，，，同理n整除，. 得到，，，， 显然这些都不是的零点， 说明不可能是可解数，20°角不是可解角 设，是可解角，则，，，都是可解数， 容易看到可解数的加､减､乘以及开二次方根的结果还是可解数， 于是，， 也是可解数，因此可解角的和､差､半角还是可解角 因为角不是可解角， 若角是可解角，则多次相加后，角也是可解角，矛盾! 同理，角也不是可解角 利用，是可解角， 因此是整数度数的锐角中的最小可解角 学科网（北京）股份有限公司 $$