精品解析：河南省实验中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年河南省实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，该几何体的左视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的三视图的定义是解题的关键．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线，故选项C符合题意． 故选：C． 2. 袋中有50个除颜色外其余均相同的小球，从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，准确理解题意是解题的关键．根据频率估计概率进行计算即可． 【详解】解：设红球的个数为个， 由题意得：， 解得． 故选C． 3. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D． ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=9.6(cm)． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 4. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 5. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． D、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 6. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先分别求出，，的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解∶∵在反比例函数的图象上有三个点，，， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，点为菱形的对角线， 的交点，点，分别为边，的中点，连接，若， ，则菱形的周长为（　　） A. B. 12 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质可得，再结合菱形的性质可得，，，然后在中由勾股定理计算出的值，即可获得答案． 【详解】解：∵点，是，的中点，即是的中位线， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴菱形的周长为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 8. 综合实践课上，嘉嘉设计了“利用已知矩形，用尺规作有一个内角为角的平行四边形”．他的作法如下： 如图1，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F，作直线； （2）如图2，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； （3）如图3，以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形，其中． 根据上述作图过程，判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键，根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 9. 如图，点是线段的黄金分割点)，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和 ，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，进而判断即可． 【详解】解：因为点是线段的黄金分割点)， 所以，， 故选：C 10. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 【答案】A 【解析】 【分析】可设，将点代入函数解析式，即可求得的值，再代入求的值，最后根据增减性判断最值． 【详解】解：由图象可知，符合反比例函数， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得：， ∴该函数解析式为． 若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出关系式． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握设k法是解题的关键．根据比例关系设参数，代入分式求值． 【详解】解：由，设，（）， ． 故答案为：． 12. 方程有两个相等的实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，若，，则的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据全等的矩形的对角线相等得出，根据勾股定理得出，进而证明是等腰直角三角形，根据三角形的面积进行计算即可求解． 【详解】在中，， 四边形，为全等的矩形， ，，， 在和中， ， ， ，， 点、、共线， ， ， 是等腰直角三角形， 的面积为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 15. 如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，先由勾股定理得到，由折叠的性质可得，，设，则，再分当时，，当时，，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程讨论求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设，则， ∵， ∴当时，， ∴，即 解得， ∴， ∵， ∴三点共线，即此时点F与点C重合， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据所给方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）利用求根公式法解方程即可； （2）先移项再进行因式分解即可解方程． 【小问1详解】 ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 17. 2024年10月19日河南省实验中学举办首届“创意无界 梦绘校园”校园文创设计大赛，在校园文创产品素材征集中推出四种素材：A．服饰（如：衣服、帽子、胸针）、B．纪念品（如：学校标志性建筑模型、摆件、徽章、光影画）、C．生活用品（如：书包、水杯、台历、雨伞、钥匙扣）、D．文化用品（如：文具、本、纸、文件夹、公文包、手提袋），参赛学生可自由选择自己擅长的素材进行设计．为了解学生最喜欢哪一类素材，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　　　人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在征集的“纪念品”素材作品中，甲、乙、丙、丁四件作品较为优秀，现决定从这四件作品中任选两件校内展览，用树状图或列表法求出恰好选中甲、乙两件作品的概率． 【答案】（1）200 （2） 条形统计图补充为： （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率． （1）用选择素材B的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出选择素材C的人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出同时选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生总人数为： （人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 选择素材C的人数为： （人）， 【小问3详解】 画树状图： 共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两位同学的结果数为2， 所以恰好选中甲、乙两件作品的概率为． 18. 实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． （1）画出绕点B顺时针旋转后的； （2）点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． （3）以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转的对应点，然后再顺次连接即可； （2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可． （3）根据位似的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点是的中点， 点是的中点， 根据作图可知：，， 点的坐标为； 【小问3详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）已知P为反比例函数的图象上一点，，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点代入反比例函数，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）利用，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得：， ∴， 把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，，当时，，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点为双曲线上一点， ∴当时，；当时，， ∴或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 20. 某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过棵．如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ （1）设多种x桃树后，桃树有______棵，桃子的产量为______个； （2）请求出多种的桃树． 【答案】（1）（）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设多种x棵桃树，则桃树的总共有棵，每棵桃树的产量减少个，进而可求总产量； （2）依题意得，（），计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设多种x棵桃树，则桃树的总共有棵，每棵桃树的产量减少个， ∴总产量是个， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意得，（）， 整理得，， ， 解得，（舍去）． 答：多种的桃树棵． 21. 如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高． 【答案】电视塔的高的长为． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 答：电视塔的高的长为． 22. 如图1，的各内角的平分线分别相交于点，，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）如图2，当为矩形时， ①四边形的形状为　　　； ②若，四边形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）①正方形② 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形综合， （1）根据平行四边形的邻角互补，以及角平分线平分角，得到四边形的四个内角均为，即可得证； （2）①由（1）可知，四边形为矩形，根据矩形的性质以及角平分线平分角，得到均为等腰直角三角形，进而推出，得到四边形为正方形；②根据正方形的面积为6，得到正方形的边长为，利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①四边形为正方形； 证明：同（1）法可得：四边形为矩形； ∵为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 即：， 又∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； 故答案为：正方形； ②由①得：， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理．熟练掌握平行四边形的邻角互补，是解题的关键． 23. “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，是的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________． 【答案】 （1）小明的思路： 过点作，如下图所示， 平分， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ； 选择小红的思路： 过点作，过点作，过点作，如图所示， 平分， ， ， ，， ， 又，， ， ； （2）； （3）6 【解析】 【分析】（1）小明的思路：过点作，根据平行线的性质可证，根据对顶角相等可得，所以可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； 小红的思路：过点作，过点作，过点作，根据高相等的两个三角形的面积比等于它们的底边之比可得：，，从而可证结论成立； （2）根据（1）中的结论可得，根据折叠的性质可知：，，从而得到，设，则有，在中利用勾股定理可以求出的长度； （3）根据垂直平分线的性质可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，从图中可以看出，所以可证，再根据，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如下图所示， 由（1）可知， 根据折叠的性质可知：，， 点为的中点， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为； （3）解：如下图所示， 为的角平分线， 由（1）可知， ，，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，解决本题的关键是根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质找出图中相等的角，从而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，该几何体的左视图是 （ ） A. B. C. D. 2. 袋中有50个除颜色外其余均相同的小球，从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 3. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 6. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为菱形的对角线， 的交点，点，分别为边，的中点，连接，若， ，则菱形的周长为（　　） A. B. 12 C. D. 16 8. 综合实践课上，嘉嘉设计了“利用已知矩形，用尺规作有一个内角为角的平行四边形”．他的作法如下： 如图1，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F，作直线； （2）如图2，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； （3）如图3，以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形，其中． 根据上述作图过程，判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 9. 如图，点是线段的黄金分割点)，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 10. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则______． 12. 方程有两个相等的实数根，则___________． 13. 如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是______． 14. 把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，若，，则的面积为_____. 15. 如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 2024年10月19日河南省实验中学举办首届“创意无界 梦绘校园”校园文创设计大赛，在校园文创产品素材征集中推出四种素材：A．服饰（如：衣服、帽子、胸针）、B．纪念品（如：学校标志性建筑模型、摆件、徽章、光影画）、C．生活用品（如：书包、水杯、台历、雨伞、钥匙扣）、D．文化用品（如：文具、本、纸、文件夹、公文包、手提袋），参赛学生可自由选择自己擅长的素材进行设计．为了解学生最喜欢哪一类素材，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　　　人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在征集的“纪念品”素材作品中，甲、乙、丙、丁四件作品较为优秀，现决定从这四件作品中任选两件校内展览，用树状图或列表法求出恰好选中甲、乙两件作品的概率． 18. 实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． （1）画出绕点B顺时针旋转后的； （2）点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． （3）以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）已知P为反比例函数的图象上一点，，求点P的坐标． 20. 某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过棵．如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ （1）设多种x桃树后，桃树有______棵，桃子的产量为______个； （2）请求出多种的桃树． 21. 如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高． 22. 如图1，的各内角的平分线分别相交于点，，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）如图2，当为矩形时， ①四边形的形状为　　　； ②若，四边形的面积为，求的长． 23. “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，是的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $