4.3.1等比数列课件（第2课时）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念（第2课时） 人教A版选择性必修第二册 复习巩固 类比等差数列学习了等比数列的定义和通项公式，我们知道等差数列存在很多性质，例如 思考：等比数列中是否有类似的性质 观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……说出16是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律？ 根据上面的实例，猜想等比数列的性质 探究 等比数列常用的性质 等比数列的性质1 ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立的； ap.aq=as.at 在等比数列{an}中，由 p+q=s+t 常数列 特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2 ②a1an a2 an-1 a3 an-2 …___ ai an+1-i = = = = 等比数列的性质 证明： 类比等差数列性质的证明，你能证明等比数列性质1吗？ 练习 已知{an}为等比数列.若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； 解：由等比中项，化简条件得 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0， ∴a6＋a8＝7. 例5 已知数列{ an }的首项a1=3. (1)若数列{ an }为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列； 课本P32 (2)若数列{ an }为等比数列，公比q= ，证明数列{}为等差数列. 思考3：已知b>0且b≠1，如果数列{an }是等差数列，那么数列{ }是否一定是等比数列？如何证明？ 证明： 设等差数列{an }首项为a1 ，公差为d， 则 ， 所以数列{ }是以 为首项， 为公比的等比数列. 如果数列{an }是各项均为正的等比数列，那么数列{logban }是否一定是等差数列？如何证明？ 证明： 设各项为正的等比数列{an }首项为a1 ，公比为q， 则 ，所以数列{logban }是以logba1 为首项， logbq为公差的等差数列. 性质2. 数列{an }是等差数列 数列{}是等比数列 数列{an }是各项为正的等比数列 数列{logban }是等差数列 例 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列{anbn}还是等比数列吗？试证明你的观点. 证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则 课本34页练习 例4 用10000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.4％的复利利息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度 利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的 利息（精确到10-5）？ 等比数列实际应用 课本31页例4 解： (1)设这笔钱存n个月以后的本金利息和组成一个数列{an }， 则{an }是等比数列， 首项a1=104(1+0.4％)，公比q=1+0.4%, 所以a12=a1q11=104(1+0.4％)12≈491（元） . 分析：实际问题 数学问题 “ 用10000元购买某个理财产品” 本金a=10000 “ 月利率0.4% r=0.4% 12个月能获得的本金利息和 a12 “12个月能获得的利息” a12-a 应用探究 解： (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金利息和组 成一个数列{bn }，则{bn }也是一个等比数列. 首项b1=104(1+r)，公比1+r，于是b4=104(1+r)4 . 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 [104(1+r)4 -104]元. 解不等式104(1+r)4 -104 ≥491，得r≥1.206% 所以，当季度利率不小于1.206％时，按季结算得利息不少于按 月结算得利息. 应用探究 确定“本金 ”、“利率 ”、“本利和 ”、 “利息 ”对应的数学式子 对实际问题抽象、简化 梳理出变量之间的关系 将复利问题转化为相应的等比数列模型 用数学方法解决实际问题 应用等比数列解决实际问题的方法 总结反思 请小组讨论你本节课的收获 $$