4.3.2 第2课时 等比数列的前n项和公式的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列的前n项和公式的应用 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　利用等比数列的前n项和公式解决有关几何问题 内容索引 知识点2　等比数列前n项和公式的实际应用 知识点3　等比数列前n项和公式的综合应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　利用等比数列的前n项和公式解决有关几何问题 等比数列的前n项和公式为Sn= 　如图,有边长为1的正方形,取其对角线的一半,构成新的正方形,再取新正方形对角线的一半,构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列. (1)求这一系列正方形的面积所构成的数列,并证明它是一个等比数列. [分析]　(1)根据题意依次写出新正方形的面积,即得数列,由所得数列特点即可证结论. 例1 [解]　(1)原正方形面积为a1=1,由题意新正方形面积依次为a2=,…,an=, 故数列为1,,,…,, 所以数列是首项为1,公比为的等比数列. (2)从原始的正方形开始,到第9次构成新正方形时,共有10个正方形,求这10个正方形面积的和. [分析] (2)(3)由等比数列前n项和写出面积和,结合极限判断全部正方形面积相加“最终”会达到数值. [解]　(2)由(1)知:这10个正方形面积的和S10=. (3)如果把这一过程无限制地延续下去,你能否预测一下,全部正方形面积相加“最终”会达到多少? [分析] (2)(3)由等比数列前n项和写出面积和,结合极限判断全部正方形面积相加“最终”会达到数值. [解]　(3)同(2),Sn=,当n无限增大时趋近于0, 所以Sn趋近于2,故全部正方形面积之和将趋近于2. 解决等比数列前n项和公式有关问题时应注意 1.首先将题目问题转化为等比数列问题. 2.当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系. 思维提升 1.如图,画一个边长为2的正方形,再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形,以此类推,记第n个正方形的面积为an,数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 025. 跟踪训练 解:记第n个正方形的边长为bn,由题意可知,则an=an-1,所以数列{an}是以a1=4为首项,以q=为公比的等比数列, 即an=4×=23-n. S2 025=. 知识点2　等比数列前n项和公式的实际应用 　去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中8万吨垃圾以填埋方式处理,12万吨垃圾以环保方式处理,为了确定处理生活垃圾的预算,预计从今年起,每年生活垃圾的总量递增10%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨. (1)请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量cn的表达式; [分析]　(1)由题意直接写出cn的表达式; 例2 [解]　(1)由题意可知cn=20×(1+10%)n-(12+5n). (2)求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和Sn; [分析]　(2)利用分组求和方法求Sn; [解] (2)由(1)可知 Sn=20(1.1+1.12+…+1.1n)-(17+22+…+12+5n)= 20·化简可得Sn=220·(1.1n-1)-. (3)预计今年起9年内,哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾. [分析]　(3)求出使得cn<0时n的值即可. [解] (3)当n=1时,cn=20×1.11-(12+5×1)=5>0, 当n=2时,cn=20×1.12-(12+5×2)=2.2>0, 当n=3时,cn=20×1.13-(12+5×3)<0, … 当n=9时,cn=20×1.19-(12+5×9)<0, 所以第3到第9年不需要. 1.解实际应用问题的核心是建立等比数列数学模型. 2.一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型. 3.注意问题是求什么(n,an,Sn). 思维提升 2.《算法统宗》是中国古代数学名著,程大位著,共17卷,书中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”大致意思是:有一个人要到距离出发地378里的地方,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为(　　) A.96　　　　　　　　　 B.126 C.192 D.252 跟踪训练 C 由题意得,该人每天走的路程形成以a1为首项,以为公比的等比数列, 因为该人6天后到达目的地,则有S6==378, 解得a1=192,所以该人第1天所走路程里数为192. 3.复印纸按照幅面的基本面积,把幅面规格分为A系列、B系列、C系列,其中B系列的幅面规格为:B0,B1,B2,…,B8,所有规格的纸张的长度(以x表示)和幅宽(以y表示)的比例关系都为x∶y=∶1;将B0纸张沿长度方向对开成两等分,便成为B1规格;将B1纸张沿长度方向对开成两等分,便成为B2规格;…,如此对开至B8规格.现有B1,B2,…,B8纸各一张,已知B0纸的幅宽为1 m,则B1,B2,…,B8这8张纸的面积之和是(　　) A. m2 C. m2 C 由题意,可得B0的长、宽分别为,1,B1的长、宽分别为1,,B2的长、宽分别为,,…,所以B1,B2,…,B8的面积是首项为,公比为的等比数列,所以B1,B2,…,B8这8张纸的面积之和为 m2. 知识点3　等比数列前n项和公式的综合应用 　某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5 000万元,并将其全部投入生产,到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金t(t≤2 500)万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1)判断是否为等比数列?并说明理由. [分析]　(1)首先根据题意得出每一年与前一年剩余资金的递推关系,根据递推关系进行构造,结合等比数列定义即可进行证明; 例3 [解]　(1)由题意可得:a1=5 000(1+50%)-t,a2=a1(1+50%)-t, 进而可知:an=an-1(1+50%)-t(n∈N*,n≥2), 由此可得:an-2t=(an-1-2t),即:(n∈N*), 当t<2 500时,a1-2t=7 500-3t>0, 故得证:是以7 500-3t为首项,为公比的等比数列. 当t=2 500时,a1-2t=7 500-3t=0,故不是等比数列. (2)若企业每年年底上缴资金t=1 500,第m(m为正整数)年年底企业的剩余资金超过21 000万元,求m的最小值. [分析] (2)首先根据第一问的结论,求出数列的通项公式,借助通项公式即可求解满足剩余资金超过21 000万元时m的最小值. [解]　(2)当t=1 500时,由(1)可知:是以3 000为首项,为公比的等比数列, 故an-3 000=3 000·,an=3 000·+3 000, 由于第m年年底企业的剩余资金超过21 000万元, 即:am=3 000·+3 000>21 000,由于为递增数列,且a5=18 187.5<21 000,a6=25 781.25>21 000, 综上可知:m的最小值为6. 遇到数列应用题,首先定义数列,注意挖掘数列中的等比或等差关系、递推关系. 思维提升 4.某牧场今年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1,a2,a3,….(参考数据:1.088≈1.850 9,1.089≈1.999 0,1.0810≈2.158 9.) (1)写出一个递推公式,表示an+1与an之间的关系; 跟踪训练 解:(1)因为某牧场今年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛, 所以a1=1 200,且an+1=1.08an-100. (2)将(1)中的递推关系表示成an+1-k=r(an-k)的形式,其中k,r为常数; 解: (2)将an+1-k=r(an-k)化成an+1=ran-rk+k, 因为an+1=1.08an-100, 所以比较系数,可得 所以(1)中的递推公式可以化为an+1-1 250=1.08(an-1 250). (3)求S9=a1+a2+a3+…+a9的值(精确到1). 解: (3)由(2)可知,数列是以-50为首项,1.08为公比的等比数列, 则(a1-1 250)+(a2-1 250)+…+(a9-1 250)=≈ -624.4. 所以S9=a1+a2+a3+…+a9=1 250×9-624.4=10 625.6≈10 626. 〈课堂达标·素养提升〉 1.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题.“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例为“衰分比”.现有38石粮食,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石粮食,则“衰分比”为(　　) A. C. A 设“衰分比”为q,则18+18q+18q2=38,解得q=(舍去). 2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(　　) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 B 设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列. 由=381,得x=3. 3.如图,正方形ABCD的边长为5,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD开始,连续10个正方形的面积之和等于(　　) A.50 C. A 依题意,将正方形面积按作法次序排成一列得数列,a1=25, 因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的,因此an+1=an,即数列是等比数列,公比q=, 所以前10个正方形的面积之和S10=. 4.有一个人进行徒步旅行,他6天共走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半.则此人第4天和第7天共走了　　　　　 里.  27 由题意知,此人每天走的里数构成公比为的等比数列, 设等比数列的首项为a1,则有S6==378⇒a1=192, a4=a1·=24,a7=a4·=3,所以有a4+a7=27. 所以此人第4天和第7天共走了27里. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知某公司第1年的销售额为a万元,假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍,则该公司从第1年到第11年(含第11年)的销售总额为(参考数据:取1.211=7.43)(　　) A.35.15a万元　　　　　　　 B.33.15a万元 C.34.15a万元 D.32.15a万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 设第i(i=1,2,…,11)年的销售额为ai万元, 依题意可得数列(i=1,2,…,11)是首项为a,公比为1.2的等比数列, 则该公司从第1年到第11年的销售总额为=32.15a万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题:“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里.”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了700里路,则该马第五天走的里程数约为(　　) A.2.76 B.5.51 C.11.02 D.22.05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 设该马第n(n∈N*)天行走的里程数为an, 由题意可知,数列的等比数列, 所以,该马七天所走的里程为=700,解得a1=. 故该马第五天行走的里程数为a5=a1·≈22.05. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.如图,已知正三角形A1B1C1的边长为1,取正三角形A1B1C1各边的中点A2,B2,C2,得到第二个正三角形A2B2C2,然后再取正三角形A2B2C2各边的中点A3,B3,C3,得到第三个正三角形A3B3C3,依此方法一直进行下去,则从第一个正三角形A1B1C1开始,前10个正三角形的面积之和为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 设△AnBnCn的面积为an,n∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},则可得数列, 由已知An为线段Bn-1Cn-1的中点,Bn为线段An-1Cn-1的中点, 所以AnBn=An-1Bn-1. 又因为△AnBnCn,△An-1Bn-1Cn-1都为等边三角形,所以an=an-1,又因为a1=, 所以数列为等比数列,公比为, 所以前10个正三角形的面积之和为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2023年)该公司该产品的销售额为100万元,则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为(参考数据:1.310≈13.79)(　　) A.3 937万元 B.3 837万元 C.3 737万元 D.3 637万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 设a1=100,an+1=1.3an-3,an+1-10=1.3(an-10), 所以数列是首项为90,公比为1.3的等比数列, 所以an-10=90×1.3n-1,an=90×1.3n-1+10, 则S10=a1+a2+…+a10=+10×10=300×1.310-200≈300×13.79-200=3 937(万元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”出自《庄子·天下》,其中蕴含着数列的相关知识,已知长度为4的线段AB,取AB的中点C,以AC为直径作圆(如图①),该圆的面积为S1,在图①中取CB的中点D,以CD为直径作圆(如图 ②),图②中所有圆的面积之和为S2,以此类推,则Sn=　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可知,S1=π,后一个圆的半径为前一个圆半径的一半, 故各圆的面积是以π为首项,为公比的等比数列, 故Sn=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出　　　　　万元资金进行奖励.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 046 13 设第十名到第一名得到的奖金分别是a1,a2,…,a10, 则an=Sn+1,∴a1=2,an-an-1=an(n≥2,且n∈N*),∴an=2an-1(n≥2,且n∈N*). 则每人所得奖金数组成一个以2为首项,公比为2的等比数列, ∴S10==2 046. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足S3=7,S6=63. (1)求数列{an}的通项公式; 解:(1)由题意知S6≠2S3,q≠1,且q≠-1, 由等比数列的前n项和等距分段的性质知, q3==8,故q=2, ∴S3==7,代入q可得a1=1, ∴an=2n-1. (2)若bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由(1)知bn=2n-1+n-1, ∴Tn=(1+2+…+2n-1)+[1+2+…+(n-1)] =2n+-1. 8.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为Sn万元,旅游业总收入为Tn万元,写出Sn,Tn的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)第1年投入为800万元, 第2年投入为800×万元, …, 第n年投入为800×万元, 所以,n年内的总投入为: Sn=800+800×+…+800× =4 000×. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第1年旅游业收入为400万元, 第2年旅游业收入为400×万元, …, 第n年旅游业收入400×万元, 所以,n年内的旅游业总收入为 Tn=400+400×+…+400×=1 600×. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此Tn-Sn>0, 即1 600×>0, 化简得5×-7>0, 令x=,代入上式得5x2-7x+2>0, 解得x<或x>1(舍去), 即,由此得n≥5. 故至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知正项等比数列的前n项积为Tn,且a1>1,则下列结论正确的是(　　) A.若T6=T8,则T14=1 B.若T6=T8,则Tn≤T7 C.若T6<T7,则T7<T8 D.若T6>T7,则T7>T8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 不妨设正项等比数列的公比为q,q>0,所以an=a1·qn-1,n∈N*; 对于A,若T6=T8,则a7a8=1,由等比数列性质可得a1a14=a2a13=…=a7a8=1, 所以可得T14=a1a2…a7a8…a13a14=1,即A正确; 对于B,若T6=T8,可得a7a8=a1·q6·a1·q7=·q13=1,又因为a1>1,所以0<q<1, 所以a8<a7,又因为a7a8=1,可得a7>1,a8<1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因此可得a1>1,a2>1,…,a7>1,a8<1,即Tn≤T7,所以B正确; 对于C,若T6<T7,可得a7=a1·q6>1,又因为a1>1,因此q的大小无法判断,所以C错误; 对于D,若T6>T7,可得a7=a1·q6<1,又因为a1>1,所以可得0<q<1,即数列为递减数列, 可得=a8<a7<1,即T7>T8,所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.5G是第五代移动通信技术的简称,其意义在于万物互联,即所有人和物都将存在有机的数字生态系统中,它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信,将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6 500米.从全国范围看,中国5G发展进入了全面加速阶段,基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站,从第二个工程队开始,每个工程队承建的基站数都比前一个工程队少,则第一个工程队承建的基站数(单位:万个)约为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 设第一个工程队承建的基站数为m万个, 依题意,每个工程队承建的基站数由大到小依次排成一列构成等比数列,n∈N*,n≤8,数列,a1=m,前8项和S8=10, 因此S8=m=10,解得m=, 所以第一个工程队承建的基站数万个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知等比数列的前n项和为Sn,公比为2,且S4=15,则a1=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 依题意,a1+a2+a3+a4=15,故a1+2a1+4a1+8a1=15,解得a1=1. 12.某市利用省运会的契机,鼓励全民健身,从7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台,B型健身器材64台,计划8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%.若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 74 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设B型健身器材这6个月投放量为{bn},则{bn}是以b1=64为首项,q=的等比数列.∵q≠1,∴其前6项和为S6==1 330,∴5a+300+1 330≥ 2 000,解得a≥74,故a的最小值为74. 13 [C组　素养培优练] 13.某企业2023年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2025年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2024年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2024年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元. (1)设从2024年起的第n年(以2024年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为an万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为bn万元,求an和bn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意得是等差数列,a1=500,d=-20, 所以an=520-20n,由题意得b1=750,bn+1=bn+250, 所以bn+1-500=(bn-500), 所以是首项为250,公比为的等比数列, 所以bn-500=250,所以bn=500+. 13 (2)设从2024年起的第n年(以2024年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元,依上述预测,从2 024年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)An是数列的前n项和,所以An=500n+×(-20)=490n-10n2, Bn是数列的前n项和减去600, 所以Bn=500-600 =500-100, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Bn-An=500n--100-(490n-10n2)=10n2+10n--100, 又因为当n∈N*时,函数y=10n2+10n-100,y=-单调递增, 所以函数y=Bn-An单调递增,且n=1,2,3时Bn-An<0,n=4,5,6…时Bn-An>0, 所以至少经过4年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 13 $$